北师大版九年级数学上册 第2章一元二次方程单元综合测试题

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x3+1＝x2 B．x2+x﹣1＝0 C．x﹣3＝0 D．
2．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
3．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
4．若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝4 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝﹣2，x2＝2
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为（　　）
A．2 B．m＞0 C．1 D．0
6．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程x2﹣17x+70＝0的根，则此三角形的周长是（　　）
A．10 B．17 C．20 D．17或20
7．个税改革新政出台后，锦江税务迅速组织干部多形式多途径进行个税专项培训，对个税新政进行讲解和辅导．2019年全年某企业员工享受个税红利共计约200万，2021年全年该企业员工享受个税红利共计约450万，且该企业员工享受个税红利总额的年增长率相同．设该企业员工享受个税红利总额的年增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A．200x2＝450
B．450（1﹣x）2＝200
C．200（1+x）2＝450
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝450
8．某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为　 　．
10．若（x2+y2﹣1）2＝4，则x2+y2＝　 　．
11．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 　 　．
12．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解　 　．
13．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　 　．
14．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2＝0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为 　 　．
15．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为　 　．
16．已知a是方程x2﹣2021x+1＝0的一个根，则a3﹣2021a2﹣＝　 　．
三．解答题（共6小题，满分48分）
17．解方程：
（1）用配方法解方程：2x2﹣6x+3＝0；
（2）选用适当的方法解方程：（x﹣3）2+（x﹣6）2＝9．
18．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．
19．已知x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，并且x1≠x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值；
（3）若|x1﹣x2|＝6，求的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
21．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
22．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．
（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．
①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A、方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．解：∵x2﹣8x＝1，
∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：C．
3．解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，
解得a≥﹣2且a≠0．
故选：C．
4．解：把方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0看作关于x﹣1的一元二次方程，
而关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，
所以x﹣1＝﹣1或x﹣1＝3，
所以x1＝0，x2＝4．
故选：C．
5．解：设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
法二：∵x2﹣4mx+3m2＝（x﹣m）（x﹣3m），
∴关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的两根分别为x1＝m，x2＝3m，且x2＞x1，
∴x2﹣x1＝2m＝2，
∴m＝1，
故选：C．
6．解：∵x2﹣17x+70＝0，
∴（x﹣10）（x﹣7）＝0，
∴x1＝10，x2＝7，
∵4+6＝10，无法构成三角形，
∴此三角形的周长是：4+6+7＝17，
故选：B．
7．解：依题意得：200（1+x）2＝450．
故选：C．
8．解：设每瓶该饮料售价为x元，
根据题意，得（x﹣6）[160﹣20（x﹣10）]＝700，
解得x＝11或x＝13（不合题意，舍去），
答：每瓶该饮料售价为11元．
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
10．解：两边开方得x2+y2﹣1＝±2，
∴x2+y2＝3或x2+y2＝﹣1，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝3．
故答案为3．
11．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+a2﹣4＝0的常数项为0，
∴a﹣2≠0且a2﹣4＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
13．解：由题意得a＝k+1，b＝﹣4，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×（k+1）×1＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
解得k≤3，
又∵k+1≠0，
∴k≠﹣1，
故答案为：k≤3且k≠﹣1．
14．解：由根与系数的关系可知：
α+β＝，α β＝2，
而2α2+β2+β﹣3
＝2α2+β2+（α+β）β﹣3
＝2（α2+β2）+αβ﹣3
＝2（α+β）2﹣3αβ﹣3
＝2×10﹣3×2﹣3
＝11．
故填空答案：11．
15．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1．
∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020
＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2020
＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2020
＝﹣（a+1﹣a）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
故答案为：2019．
16．解：∵a是方程x2﹣2021x+1＝0的一个根，
∴x2﹣2021x+1＝0，即a2+1＝2021a，a2﹣2021a＝﹣1，
则a3﹣2021a2﹣＝a（a2﹣2021a）﹣＝﹣a﹣＝﹣＝﹣＝﹣2021．
故答案是：﹣2021．
三．解答题（共6小题，满分48分）
17．解：（1）方程整理得：x2﹣3x＝﹣，
配方得：x2﹣3x+＝﹣，即（x﹣）2＝，
开方得：x﹣＝±，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：x2﹣6x+9+x2﹣12x+36＝9，
整理得：2x2﹣18x+36＝0，即x2﹣9x+18＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，
所以x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得：x1＝3，x2＝6．
18．解：（1）由题意得Δ＝[﹣2（k﹣3）]2﹣4×（k2﹣4k﹣1）≥0
化简得﹣2k+10≥0，解得k≤5．
（2）将1代入方程，整理得k2﹣6k+6＝0，解这个方程得，．
（3）设方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0的两个根为x1，x2，
根据题意得m＝x1x2．又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝k2﹣4k﹣1，
那么m＝k2﹣4k﹣1＝（k﹣2）2﹣5，所以，当k＝2时m取得最小值﹣5．
19．解：（1）依题意得Δ＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得：k＜；
（2）因为k＜且k为正整数，
所以k＝1或2，
当k＝1时，方程化为x2+2x﹣2＝0，Δ＝12，此方程无整数根；
当k＝2时，方程化为x2+2x＝0 解得x1＝0，x2＝﹣2，
故所求k的值为2；
（3）∵x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1 x2＝2k﹣4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1 x2＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k，
∵|x1﹣x2|＝6，
∴20﹣8k＝36，
∴k＝﹣2，
∴x1 x2＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，
∴＝36+3×（﹣8）﹣5＝7．
20．（1）证明：
∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，
∴Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：△ABC为等腰三角形，
∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，
①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，
∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，
当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，
∴三角形的三边长为4、6、6，
当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，
∴三角形的三边长为6、6、10，
②当b＝c时，则方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
还可采取以下方法：
由x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0得到（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0，
解得x＝2k或k+1，
当a＝b＝2k＝6时，则a＝b＝6，k＝3，此时，三角形的边长为6，6，4；
当a＝c＝k+1＝6时，则a＝c＝6，k＝5，则x＝2k＝10＝b，此时，三角形的边长为6，6，10；
当b＝c时，即2k＝k+1，解得k＝1，则b＝c＝2，此时，三角形的边长，2，2，6（构不成三角形，舍去）
∴综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
21．（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．
22．解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为y，
依题意，得：100（1+y）2＝256，
解得：y1＝0.6＝60%，y2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．
（2）①设售价应降低x元，则每天可售出（200+45x）千克；
②依题意，得：（20﹣10﹣x）（200+45x）＝2125，
整理，得：9x2﹣50x+25＝0，
解得：x1＝5，x2＝．
∵要尽量减少库存，
∴x＝5．
答：售价应降低5元．