1.1.1 正弦定理 同步练习
选择题
1．在△ABC中，已知，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．在△ABC中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 ( )
Ａ. Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．△ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m, 则m的取值范围是（ ）
Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞）
二、填空题
４．在△ABC中，若sinA＝２cosBsinC,则△ABC的形状是______ ___
５．在△ABC中，已知，Ｓ△ABC＝，则_________
三、解答题
６．已知方程的两根之积等于两根之和，且为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状
7．在△ABC中，，求sinB的值。
参考答案
1．Ｃ 2．Ａ 3．Ｂ
4．等腰三角形 5．
6．由方程两根之积为，方程两根之和为，∴
由正弦定理，得
即
∵
∴Ａ－Ｂ＝０
∴Ａ＝Ｂ
∴三角形为等腰三角形
7．解 由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB
由
得
即
即
∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝
∴Ｂ＝－（Ａ＋Ｃ）
∴
∴
∵ ∴
∴
∴
1.1 正弦定理
教学目标：
掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量
问题；
2. 通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自主探索能力；
3. 提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣．
教学重点：
正弦定理及其证明过程．
教学难点：
正弦定理的推导和证明．
教学过程：
一、问题情境
从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．
探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt中，设，那么边角之间有哪些关系？
，，，，，，，,,……
探索2 在Rt中，我们得到，对于任意三角形，这个结论还成立吗？
二、学生活动
把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立．
学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立．
教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理．
图1
三、建构数学
探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设为最大角，若为直角，我们已经证明结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论成立？
师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下证法．
证法一 若为锐角（图2（1）），过点作于，此时有,，所以,即．
同理可得,所以．
（1） 图2 （2）
若为钝角（图2（2）），过点作，交的延长线于，此时有，且，同理可得．综上可得，结论成立．
证法二 利用三角形的面积转化，先作出三边上的高、、，则，，．
所以= =，每项同时除以，
得
探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？
在中，有，设为最大角，过点作于，（图3），于是，设与的夹角为，则，其中，当为锐角或者直角时，；当为钝角时，．故可得，即．同理可得．因此．
这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式，我们运用不同的方法证明了三角形中的一个重要定理．
探索5 这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中的哪些类型的问题？
三个式子：
，，．
每个式子中都有四个量，如果已知其中三个可求出第四个．
正弦定理可以解决两类三角形问题：
（1）已知两角与任一边，求其他两边和一角（两角夹一边需要先用三角形内角和定理求出第三角，再使用正弦定理）；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
四、数学运用
例题 在中：
（1）已知，，，求，，；
（2）已知，，，求，，；
（3）已知，，，解这个三角形．
解 （1）由正弦定理得，即，
因此
所以 ，或．
由于
故 也符合要求，从而本题有两个解或．
①当时，，
．
②当时，
．
（2）由正弦定理得，即
所以,或．
由于，故不符合要求，
从而本题只有一解
，
．
（3）由正弦定理得，所以无解．
学生思考：已知三角形的两边和其中一边的对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？
巩固练习：
1.（口答）一个三角形的两角和边分别是和，若角所对边的长为8，那么角所对边的长是 .
2.(板演) 在中：
（1）已知，求，；
（2）已知，求，．
3.（板演）根据下列条件解三角形：
（1），，
（2），，
五、回顾小结
本节课同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理．正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，其关系式和谐、对称．它可以解决斜三角型中这样的几类问题：已知三角形中两边与一边的对角，可求另一边的对角，进而求出其他的边和角；已知三角形中的两角与任意一边，可求出其他的边和角；已知三角形中两边与它们的对角这四个元素中的两个元素，可研究出另外两个元素的关系．
六、课外作业
课本P10习题1.1第1，2题．
课件10张PPT。 高中数学 必修5复习引入：，， … …复习引入：，， 那么对于其他的三角形，这个关系是否成立呢？即正弦定理你能证明吗？利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（1）已知两角与任一边，求其他两边和一角（两角夹一边需要先用三角形内角和定理求出第三角，再使用正弦定理）；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．例1
例2
练习：1.（口答）一个三角形的两角分别是 和 ，若角 所对边的长为8，那么角 所对边的长是 .练习2.总结：1.本节课同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，其关系式和谐、对称．
2.它可以解决斜三角形中这样的几类问题：
（1）已知三角形中两边与一边的对角，可求另一边的对角，进而求出其他的边和角；
（2）已知三角形中的两角与任意一边，可求出其他的边和角；
（3）已知三角形中两边与他们的对角这四个元素中的两个元素，可研究出另外两个元素的关系．
