课件10张PPT。高中数学 必修5复习正弦定理：
探索1 还有其他途径将向量等式数量化吗？
余弦定理探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．余弦定理也可以写成如下形式：探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 例1例2练习练习（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ）
A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形
C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形练习课件12张PPT。 高中数学 必修5复习余弦定理：一、二、探讨：实际生活中有哪些问题可以利用余弦定理来解决？例1例2 在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流．一渡船在江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达江北岸B码头．设 为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东 ，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到 ，速度精确到0.1km/h)?例3
例4
例5练习练习练习练习1.1.2 余弦定理 同步练习
选择题
1．在△ABC中，，则角Ｃ为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２．在△ABC中，已知ＡＢ＝，，ＡＣ边上的中线ＢＤ＝，则sinＡ的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３．在△ABC中，若，并有sinA＝２sinBcosC,那么△ABC是（ ）
Ａ．直角三角形 Ｂ．等边三角形 Ｃ． 等腰三角形 Ｄ．等腰直角三角形
二、填空题
４．△ABC中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，Ｓ△ABC＝４，则ＡＣ＝_________
5. 在△ABC中，已知,Ｓ△ABC＝,则_________
三、解答题
6．在△ABC中，角A、B、C对边分别为，证明。
7．已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＣＤ＝ＤＡ＝４，求四边形ＡＢＣＤ的面积
参考答案
1．Ａ 2．Ｃ 3．Ｂ
4． 5．
6．解 由余弦定理,知
∴
7．解 连结ＢＤ，则四边形面积
Ｓ＝Ｓ△ABD+Ｓ△BCD
=
∵A+C=1800
∴sinＡ= sin C
∴Ｓ＝
=16 sinＡ
由余弦定理,知在△ABC中，
在△CDB中,
∴
又
∴Ａ＝1200
∴Ｓ＝16sinＡ＝
1.2 余弦定理（1）
教学目标：
1. 掌握余弦定理及其证明方法；
2. 初步掌握余弦定理的应用；
3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．
教学重点：
余弦定理及其应用．
教学难点：
用解析法证明余弦定理．
教学方法：
发现教学法．
教学过程：
一、问题情境
在上节中，我们通过等式的两边与（为中边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．
．
探索1 还有其他途径将向量等式数量化吗？
二、学生活动
向量的平方是向量数量化的一种手段．
因为（如图1），所以
即 ，
同理可得 ，
．
上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．
三、建构数学
对任意三角形，有余弦定理：
，
，
．
探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．
师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法．
方法一：如图2建立直角坐标系，则．
所以
．
同理可证：，
．
方法二：若是锐角，如图3，由作，垂足为，则．
所以，
，
即，
类似地，可以证明当是钝角时，结论也成立，而当是直角时，结论显然成立．
同理可证 ，．
方法三：由正弦定理，得．
所以
．
同理可证 ，．
余弦定理也可以写成如下形式：
，
，
．
探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？
利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
四、数学运用
1．例题．
例1 在中，
（1）已知，求；
（2）已知求最大角的余弦值．
解 （1）由余弦定理，
得 ，
所以 ．
（2） 因为，所以为最大角，
由余弦定理，得．
例2 用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．
证明：当为锐角时，，由余弦定理得
即 ；
同理可证，当为钝角时，．
2．练习．
（1）在中，已知，求．
（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ）
A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形
C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形
（3）在中，已知，试求的大小．
练习答案：
（1） （2） （3）
五、要点归纳与方法小结
本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
1.2 余弦定理（2）
教学目标：
1. 掌握余弦定理．
2. 进一步体会余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，体会数学中的转化思想．
教学重点：
余弦定理的应用．
教学难点：
运用余弦定理解决判断三角形形状的问题．
教学过程：
一、复习回顾余弦定理的两种形式
（一），
，
．
（二），
，
．
二、学生活动
探讨实际生活中有哪些问题可以利用余弦定理来解决．
三、数学应用
1．例题．
例1 两地之间隔着一个水塘，先选择另一点，测得，求两地之间的距离（精确到1）．
解 由余弦定理，得
所以，．
答：两地之间的距离约为168．
例2 在长江某渡口处，江水以5的速度向东流．一渡船在江南岸的码头出发，预定要在后到达江北岸码头．设为正北方向，已知码头在码头的北偏东，并与码头相距．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度精确到）？
解 如图，船按方向开出，方向为水流方向，以为一边、为对角线作平行四边形，其中
．
在中，由余弦定理，得
所以．
因此，船的航行速度为．
在中，由正弦定理，得
，
所以
所以 ．
答：渡船应按北偏西的方向，并以的速度航行．
例3 在中，已知，试判断该三角形的形状．
解 由正弦定理及余弦定理，得
，，
所以 ，
整理，得
因为，所以．因此，为等腰三角形．
例4 在中，已知，试判断的形状．
解 由及余弦定理，得
，
整理，得，
即 或，
所以 或，
所以 为直角三角形．
例5 如图，是中边上的中线，求证：
．
证明：设则，
在中，由余弦定理，得
．
在中，由余弦定理，得
．
因为，,
所以,
因此，．
2. 练习．
（1）在中，如果,那么等于（ ）
A． B． C． D．
（2）如图，长7的梯子靠在斜壁上，梯脚与壁基相距，梯顶在沿着壁向上6的地方，求壁面和地面所成的角(精确到)．
（3）在中，已知，试判断此三角形的形状．
（4）在中，设＝a，＝ｂ，且|a|＝2，|ｂ|=，a·ｂ＝－，求的长（精确到0.01）．
练习答案：
（1）D （2） （3）锐角三角形 （4）1.88
四、要点归纳与方法小结
这节课，我们进一步学习了余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，对于三角形中边角关系，我们有了进一步地了解，在后面的学习中，我们将继续研究．
