§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(一)
一、基础过关
1．如图，A、N两点之间的距离为________．
2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为_______km
3．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是________ n mile.
4．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为______ m.
5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/小时．
6．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为________．
7．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．
8．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．
二、能力提升
9．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为________小时．
10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.
11.如图所示，在斜度一定的山坡上一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m到达B点，从B点测得斜度为β，设建筑物的高为h m，山坡对于地平面的倾斜角为θ，求证：cos θ＝.
三、探究与拓展
12．在海岸A处，发现北偏东45°的方向，距离A (－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
答案
1．40 2.a 3.5 4.30＋30 5．20(－) 6.
7．解 如图所示，在△ACD中，
∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝ (km)．
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝＝ (km)．
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝()2＋2－2××cos 75°＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝ (km)．
∴A、B之间的距离为 km.
8．解 如图所示：
∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.
∵AB＝30 (m)，
∴BC＝30 (m)，BD＝＝30 (m)．
在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，
∴CD＝30 (m)，即两船相距30 m.
9．1
解析 设t小时后，B市处于危险区内，则由余弦定理得
(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°≤302.
化简得4t2－8t＋7≤0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
从而|t1－t2|＝＝1.
10.
11．证明 在△ABC中，由正弦定理，
可知＝，
即＝.
∴AC＝.
在△ADC中，由正弦定理，
知＝.
又∠CDA＝90°＋θ，
∴＝.
整理，得cos θ＝.
12．解 如图所示，设缉私船用t h在D处追上走私船，
则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，
∵AB＝－1，AC＝2，
∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos 120°＝6，
∴BC＝ (n mile)，
且sin∠ABC＝·sin∠BAC
＝×＝.
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
课件8张PPT。 高中数学 必修5复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三角形的要求和常用方法． 1．正弦定理、三角形面积公式：
2．正弦定理的变形：
（1）
（2）
（3）3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其
他的边和角．4．余弦定理： 5．应用余弦定理解以下两类三角形问题： （1）已知三边求三内角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角．例１ 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点
C，D ，测得∠ A DC ＝８５°，∠ B DC ＝６０°，∠ A CD ＝４７°，
∠ B CD ＝７２°， CD ＝１００ｍ．设A，B ，C，D在同一平面内，
试求A，B之间的距离（精确到１ｍ）． 例２ 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为１０ｎｍｉｌｅ的C处，并测得渔轮正沿方位角为１０５°的方向，以９ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以２１ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到０.１°，时间精确到１ｍｉｎ）． 例３ 作用于同一点的三个力Ｆ1，Ｆ2，Ｆ3平衡．已知Ｆ1＝３０Ｎ，Ｆ2＝５０Ｎ，Ｆ1与Ｆ2之间的夹角是６０°，求Ｆ3的大小与方向（精确到 0.１°）．练习：课本P21习题1.3第2，4题．课题小结： 解斜三角形问题即用正余弦定理求解，已知三角形边角的三个量（至少一条边），即可求其余所有量．注意解的个数． §1.3 正弦定理、余弦定理的应用(二)
一、基础过关
1.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB ＝45°，则圆O的
面积为________．
2．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6
＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.
3．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为________．
4．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为________．
5．平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是________．
6．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为________．
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若c＝1，求a的值．
8．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝且AD＝BD，求△ABC的面积．
二、能力提升
9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC＝________.
10．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
11．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D是BC上的一点，且＝，则AD的长为______．
12．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
三、探究与拓展
13．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．
(1)求最大角的余弦值；
(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
答案
1．8π 2．6 3. 4.－19 5.16 6.
7．解 (1)因为cos ＝，
所以cos A＝2cos2－1＝，
sin A＝.
又由·＝3，得bccos A＝3，
所以bc＝5.
因此S△ABC＝bcsin A＝2.
(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5.
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，
所以a＝2.
8．解 设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，
在△CAD中，由余弦定理可知
cos∠CAD＝＝.
解得x＝1.
在△CAD中，由正弦定理可知
＝，
∴sin C＝·
＝4＝，
∴S△ABC＝AC·BC·sin C
＝×4×5×＝.
所以三角形ABC的面积为.
9. 10. 11．4(3－)
12．解 在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.
由正弦定理，得＝，
sin∠ABC＝＝＝.
∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，
于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝.
同理，在△ABD中，AB＝5，
sin∠BAD＝，∠ADB＝45°，
由正弦定理：
＝，
解得BD＝.故BD的长为.
13．解 (1)设这三个数为n，n＋1，n＋2(n∈N*)，最大角为θ，
则cos θ＝<0，
化简得n2－2n－3<0?－1又∵n∈N*且n＋(n＋1)>n＋2，
∴1＜n＜3，∴n＝2.
∴cos θ＝＝－.
(2)设此平行四边形的一边长为a，则夹θ角的另一边长为4－a，平行四边形的面积为
S＝a(4－a)·sin θ＝(4a－a2)
＝[－(a－2)2＋4]≤.
当且仅当a＝2时，Smax＝.
课件7张PPT。 高中数学 必修5一、知识回顾： （1）正弦定理：
（2）余弦定理：
①边 角
②角 边
（3）推论：正余弦定理的边角互换功能． （4）三角形中的基本关系式： ．二、数学运用例1． 如图1-3-4，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？图1-3-4例2． 如图，有两条相交成 角的直线 、 ，交点是 ，甲、乙分别在 、 上，起初甲离 点3千米，乙离 点1千米．后来两人同时用每小时4千米的速度，甲沿 方向，乙沿 方向步行．
（1）起初，两人的距离是多少？
（2）用包含 的式子表示 小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？如图，已知 为定角， 分别在 的两边上， 为定长．当 位于什么位置时， 的面积最大？
三、课堂练习
1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1）
教学目标：
1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形中的有关问题；
2．能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及
相关的三角公式解决这些问题；
3．通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如．
教学重、难点：
能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两
个定理，应用自如．
教学过程：
一、复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三角形的要求和常用方法．
1．正弦定理、三角形面积公式：
；
．
2．正弦定理的变形：
（1）；
（2）；
（3）．
3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角．
4．余弦定理：．
5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：
（1）已知三边求三内角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角．
二、例题
（学生自主学习讨论后到黑板板演，教师规范解题格式）
例1 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D，测得∠ADC＝85°，∠BDC＝60°，∠ACD＝47°，∠BCD＝72°，CD＝100m．设A，B，C，D在同一平面内，试求A，B之间的距离（精确到1 m）．
解 在△ADC中，∠ADC＝85°，∠ACD＝47°，则∠DAC＝48°．
又DC＝100，由正弦定理，得
≈134.05（m）．
在△BDC中，∠BDC＝60°，∠BCD＝72°，则∠DBC＝48°．
又DC＝100，由正弦定理，得
≈116.54（m）．
在△ABC中，由余弦定理，得
AB２＝AC２＋BC２－2AC·BCcos∠ACB
＝134.05２＋116.54２－2×134.05×116.54cos25°≈3233.95，
所以 AB≈57（m）．
答 A，B两点之间的距离约为57 m．
例2 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9n mile／h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21n mile／h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min）．
解 设舰艇收到信号后x h在B处靠拢渔轮，则AB＝21x，BC＝9x，又AC＝10，∠ACB＝45°＋（180°－105°）＝120°．
由余弦定理，得AB２＝AC２＋BC２-2AC·BCcos∠ACB，
即（21x）２＝10２＋（9x）２－2×10(9xcos120°．
化简，得36x２－9x－10＝0，
解得x＝（h）＝40（min）（负值舍去）．
由正弦定理，得，
所以∠BAC≈21.8°，方位角为45°＋21.8°＝66.8°．
答 舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行，经过40min就可靠近渔轮．
例3 作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30N，F2＝50N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向（精确到0.1°）．
解 F3应和F1，F2的合力F平衡，
所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．
如图，在△OF1F中，由余弦定理，得
．
再由正弦定理，得，
所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°．
答 F3为70N，F3和F1间的夹角为141.8°．
三、课题小结
解斜三角形问题即用正余弦定理求解，已知三角形边角的三个量（至少一条边），即可求其余所有量，注意解的个数．
四、练习
课本P21习题1.3第2，4题．
五、布置作业
课本习题．
1.3 正弦定理、余弦定理的应用（2）
教学目标：
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算、最值探求有关的实际问题.
2. 能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题.
教学重点：
正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．
教学难点：
正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．
教学方法：
讲练结合．
教学过程：
一、复习引入
（一） 主要知识：
1. 正弦定理：．
2. 余弦定理：
3. 推论：正余弦定理的边角互换功能．
① ，，
②，，
③ ==
④
4. 三角形中的基本关系式：
（二）总结解斜三角形的要求和常用方法：
1. 利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其他的边和角.
2. 应用余弦定理解以下两类三角形问题：
①已知三边求三内角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角.
二、问题情境
利用正弦定理、余弦定理解三角形在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，今天我们继续来研究正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力．下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用．
三、数学运用
1．例题．
例1． 如图1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？
学生活动：
问题1：四边形怎么产生的呢？
生：是定的，动面积变．
师：是的，四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定．
问题2：如何求该四边形的面积？
生：
师：选什么作为自变量呢？
生：四边形的面积随着的变化而变化，可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.
解 设.在中，由余弦定理，得
.
于是，四边形的面积为
.
因为，所以当时，，即时，
四边形的面积最大.
小结：将四边形的面积表示成的函数，利用三角函数的有界性求出四边形面积的最大值.
另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式：
的构造及逆用，应要求学生予以重视.?
例2 如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上，起初甲离点3千米，乙离点1千米，后来两人同时用每小时千米的速度，甲沿 方向，乙沿方向步行，
（1）起初两人的距离是多少？
（2）用包含的式子表示小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？
解 （1）设甲、乙两人起初的位置是，，
则
，
∴AB=km．
∴ 起初两人的距离是 km．
师：如何表示小时后两人的距离呢？
生：还是用余弦定理，但是要分类讨论，因为夹角发生了改变．
（2）设甲、乙两人小时后的位置分别是，则，，
当时，；
当时，，所以， km．
（3），∴当时，即在第分钟末，最短．
答 在第分钟末，两人的距离最短．
2． 练习：
如图，已知为定角，分别在的两边上，为定长．当位于什么位置时，的面积最大？
师：三角形的面积怎么表示？
解 设，
其中为定值，
∴
师：为定值，要求面积的最值，就是求的最值，那么和有什么关系呢？
师：怎样得到的最值呢？
∴
∴当且仅当时取等号．
∴ 时，的面积最大．
小结：本题中用正弦定理表示的面积，然后用余弦定理找到和的关系式，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性．另外，本题还要利用基本不等式．
四、回顾小结
通过本节学习，要求大家在了解正余弦定理在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力．
