3.2.1 一元二次不等式及其解法 训练
1．若16－x2≥0，则( )
A．0≤x≤4 B．－4≤x≤0
C．－4≤x≤4 D．x≤－4或x≥4
答案：C
2．不等式(x－2)(2x＋1)＞0的解集是( )
A．(－，2) B．(－2，)
C．(－∞，－2)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(2，＋∞)
答案：D
3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是__________．
答案：{x|1＜x＜3}
4．解不等式0≤x2－x－2≤4.
解：原不等式等价于
解x2－x－2≥0，得x≤－1或x≥2；
解x2－x－2≤4，得－2≤x≤3.
所以原不等式的解集为
{x|x≤－1或x≥2}∩{x|－2≤x≤3}
＝{x|－2≤x≤－1或2≤x≤3}．
一、选择题
1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：B
2．不等式x(2－x)＞3的解集是( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－3或x＞1} D．?
解析：选D.将不等式化为标准形式x2－2x＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x(2－x)＞3的解集为?.
3．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B是( )
A．{1,2,3} B．{1,2}
C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：选B.A＝{x|－＜x＜3}，B＝{1,2,3,4,5}，
∴A∩B＝{1,2}，故选B.
4．不等式组的解集是( )
A．{x|－1C．{x|0解析：选C.原不等式组等价于：
??05．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为( )
A．{x|x＞3或x＜－2} B．{x|x＞2或x＜－3}
C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－3＜ x＜2}
解析：选C.二次函数的图象开口向下，故不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
6．若0＜t＜1，则不等式(x－t)(x－)＜0的解集为( )
A．{x|＜x＜t} B．{x|x＞或x＜t}
C．{x|x＜或x＞t} D．{x|t＜x＜}
解析：选D.∵0＜t＜1，∴＞1，∴t＜
∴(x－t)(x－)＜0?t＜x＜.
二、填空题
7．函数y＝的定义域为__________．
解析：由题意知x2－2x－8≥0，
∴x≥4或x≤－2，
∴定义域为{x|x≥4或x≤－2}．
答案：{x|x≥4或x≤－2}
8．当a＜0时，关于x的不等式(x－5a)(x＋a)＞0的解集是________．
解析：∵a＜0，∴5a＜－a，
由(x－5a)(x＋a)＞0
得x＜5a或x＞－a.
答案：{x|x＜5a或x＞－a}
9．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．
解析：由题意，k2－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
又k≠0，
∴k的取值范围是k≥4或k≤2且k≠0.
答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)
三、解答题
10. 求下列关于x的不等式的解集：
(1)－x2＋7x＞6；
(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0.
解：(1)∵－x2＋7x＞6，
∴－x2＋7x－6＞0，
∴x2－7x＋6＜0，
∴(x－1)(x－6)＜0.
∴1＜x＜6，
即不等式的解集是{x|1＜x＜6}．
(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0，
因式分解得(x－m)[x－(m＋1)]＜0.
∵m＜m＋1，∴m＜x＜m＋1.
即不等式的解集为{x|m＜x＜m＋1}．
11．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2.
(1)求a、b的值；
(2)解不等式ax2＋bx－1＞0.
解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，
由根与系数的关系，得，
解得a＝－2，b＝3.
(2)由(1)知，
ax2＋bx－1＞0变为－2x2＋3x－1＞0，
即2x2－3x＋1＜0，
解得＜x＜1.
∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|＜x＜1}．
12．求不等式ax＋1＜a2＋x(a∈R)的解集．
解：将原不等式化为(a－1)x＜a2－1.
①当a－1＞0，即a＞1时，x＜a＋1.
②当a－1＜0，即a＜1时，x＞a＋1.
③当a－1＝0，即a＝1时，不等式无解．
综上所述，
当a＞1时，不等式的解集为{x|x＜a＋1}；
当a＜1时，不等式的解集为{x|x＞a＋1}；
当a＝1时，不等式的解集为?.
3.2 一元二次不等式（1）
教学目标：
1．经历从实际情境抽象出一元二次不等式模型的过程；
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；
3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图．
教学重点：
一元二次不等式的解法．
教学难点：
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．
教学方法：
数形结合．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：由不等关系中得到的这样的不等式．
2．问题：如何求解此类不等式？
二、学生活动
1．探索一元二次方程和相应二次函数的关系；
2．画出二次函数图象，分析相应一元二次不等式的解集；
3．以上情境中以为例，学生自己总结求解此不等式的步骤方法．
建构数学
1．引入一元二次不等式得概念．
2．引导学生分析一元二次方程与相应二次函数的联系，进而引出一元二次不等式和相应二次函数的联系．
1．引导学生总结解一元二次不等式的方法和步骤；
2．分析与的解集；
3．列出对照表格，学生自行填空，老师加以补充．
数学应用
1. 例题：
例1 解不等式
（1） ； （2）；
（3） ； （4）．
例2 将求解一元二次不等式的过程用流程图表示．
练习：
（1）不等式的解集为 ；
（2）解不等式：
① ； ②；
③ ； ④．
（3）用流程图表示求解一元二次不等式的过程．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．一元二次不等式的概念；
2．一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的联系；
求解一元二次不等式的方法和步骤．
课件8张PPT。 高中数学 必修5情境：由不等关系中得到的 这样的不等式． 问题：如何求解此类不等式？ 我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？ 一元二次不等式二次函数画出二次函数 的图象．根据图象，写出一元二次不等式 的解集． 我们再对一般的一元二次不等式 与 来进行讨论．为简便起见，暂只考虑 的情形． 例题 例1 解不等式例2 将求解一元二次不等式 的过程用流程图表示． 练习不等式 的解集为 解不等式用流程图表示求解一元二次不等式 的过程．3.2 一元二次不等式（2）
教学目标：
1. 进一步巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；会解简单的分式不等式，简单的含参数的不等式；掌握简单的含有参数的一元二次不等式恒成立问题；
2. 渗透数形结合，分类讨论的数学思想.
教学重点：
初步掌握含有参数的一元二次不等式的求解和恒成立问题.
教学难点：
解含有参数的一元二次不等式.
教学方法：
合作探究.
教学过程：
一、问题情境
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
2．问题：写出关于的不等式解集；
3．问题：写出关于的不等式解集.
二、学生活动
1.学生合作探究，给出结论，教师点评，并给出新问题：
（1）解关于的不等式；
（2）解关于的不等式．
三、建构数学
1. 学生合作探究，并给出具体思路；
2. 呈现课题：简单的含参数的一元二次不等式.
四、数学运用
1．例题.
例1. 若关于的不等式的解集为，求实数.
例2. 关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
2．练习.
（1）函数的定义域为R，求实数的取值范围.
（2）若关于的不等式的解集为，求实数.
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1. 解简单的分式不等式以及含有参数的一元二次不等式，进一步巩固了一元二次不等式、一元二次方程以及二次函数的关系；
2．含有参数的一元二次不等式的恒成立问题的处理.
课件6张PPT。 高中数学 必修51．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
2．问题：写出关于x的不等式 解集；
3．问题：写出关于的不等式(x-1)(x-a)<0解集.回顾（1）解关于x的不等式
（2）解关于x的不等式 （x-a)(x-a2)<0
例1 若关于x的不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|1（1）函数y=lg(x2-2x+k2-1)的定义域为R，求实数k的取值范围．（2）若关于x的不等式x>ax2+ 的解集为{x|2
教学目标：
一、知识与技能
1. 进一步熟悉求解一元二次不等式的方法、步骤；
2. 提高分析问题、构建函数模型、解决问题的能力．
二、过程与方法
1. 让学生在解决应用题的过程中，体会应用题的求解思路，掌握求解应用题的方法．
2. 培养学生数学应用意识和分析问题、解决问题的能力以及表达交流能力．
教学重点：
通过构建函数模型解应用题．
教学难点：
建立函数模型．
教学方法：
在教师的引导下学生自主分析、转译、建立函数模型．
教学过程：
一、问题情境
如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少？
二、学生活动
1. 让学生分组讨论，通过尝试解决问题，暴露和发现可能存在的问题．
2. 通过问题求解，让学生总结求解应用题的基本思路和程序．
三、建构数学
引导学生自己总结出求解一元二次不等式应用题的基本思路：
（1）阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
（2）引进数学符号，用不等式表示不等关系．
（3）解不等式．
（4）回归实际问题．
四、数学运用
1．例题．
例1 用一根长为的绳子能围成一个面积大于的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？
解 设矩形一边的长为，则另一边的长为，．由题意，得，即．解得．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于的矩形．
用表示矩形的面积，则．
当时，取得最大值，此时．即当矩形的长、宽都为 时，所围成的矩形的面积最大．
例2 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件与货价元／件之间的关系为，生产件所需成本为元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？
解 由题意，得，化简得，解之得．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．
例3 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：．问：甲、乙两车有无超速现象？
解 由题意知，对于甲车，有，即，解得（不合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h．但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h．
对于乙车，有，即，解得（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h，超过规定限速．
点评：从现实中抽象出来的问题，由两车的刹车距离来推测车速，从而确定事故的主要责任方，这里实际上仅考虑了车速因素，现实生活中的交通事故认定，往往要考虑许多因素．
2．练习
（1）国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．已知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约销售100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率），则每年的销售量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万元，R应怎样确定？
（2）制作一个高为20cm的长方体容器，底面矩形的长比宽多10cm，并且容积不少于4000cm3．问：底面矩形的宽至少应为多少？
五、回顾小结
本节的主要内容是建立函数模型，解应用题．一元二次不等式应用题常以二
次函数为模型．解题时要理清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解．
六、课后作业
1．用24米长的竹篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场,中间有一道竹篱笆,要使养鸡场的面积最大,问矩形的边长应为多少米?
2．某旅店有200张床位,若每床一晚上租金为27元,则可全部出租;若将出租收费标准每晚提高10的整数倍,则出租的床位会减少10的相应倍数张,若要该旅店某晚的收入超过10000元,则每个床位的出租价格应定在什么范围内？
课件12张PPT。 高中数学 必修5问题：
如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少？例1 用一根长为 的绳子能围成一个面积大于 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？[思路点拨]
解 设矩形一边的长为 ，则另一边的长为 由题意，得 ,即 ．解得 ．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于
的矩形．
用 表示矩形的面积，则 ．
当 时， 取得最大值，此时 ．即当矩形的长、宽都 为 时，所围成的矩形的面积最大．[课堂笔记] 例2 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量 件与货价 元／件之间的关系为 ，生产 件所需成本为 元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？[课堂笔记] 解 由题意，得 ，化简得 ，解之得 ．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．例3 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离 与车速 之间分别有如下关系： ．问：甲、乙两车有无超速现象？[课堂笔记] 解 由题意知，对于甲车，有 ，
即 ，解得 （不合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h．但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h．
对于乙车，有 ，即 ，解得 （不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h，超过规定限速．总结 :
求解一元二次不等式应用题一般可按如下四步进行：
(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系．
(3)解不等式．
(4)回归实际问题．
⑴ 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策。已知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约销售100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率 ），则每年的销售量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万元，R应怎样确定？
⑵ 制作一个高为20cm的长方体容器，底面矩形的长比宽多10cm，并且容积不少于4000 ．问：底面矩形的宽至少应为多少？课后作业: 1．用24米长的竹篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场,中间有一道竹篱笆,要使养鸡场的面积最大,问矩形的边长应为多少米?
2．某旅店有200张床位,若每床一晚上租金为27元,则可全部出租;若将出租收费标准每晚提高10的整数倍,则出租的床位会减少10的相应倍数张,若要该旅店某晚的收入超过10000元,则每个床位的出租价格应定在什么范围内?
