3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 优化训练
1．不在3x＋2y＜6表示的平面区域内的点是( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
答案：D
2．不等式组表示的平面区域是一个( )
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
解析：选C.画出不等式组所表示的平面区域即可．
3．原点O(0,0)与点集A＝{(x，y)|x＋2y－1≥0，y≤x＋2,2x＋y－5≤0}的关系是________，点M(1,1)与集合A的关系是________．
解析：将点(0,0)代入集合A中的三个不等式，不满足x＋2y－1≥0，故O?A，同样将M点代入，得M∈A.
答案：O?A M∈A
4．画出下列不等式组表示的平面区域：
(1)
(2)
解：
一、选择题
1．图中表示的区域满足不等式( )
A．2x＋2y－1＞0 B．2x＋2y－1≥0
C．2x＋2y－1≤0 D．2x＋2y－1＜0
答案：B
2．不等式组表示的平面区域是下列图中的( )
答案：D
3．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B.2x－y＋4≤0在直线2x－y＋4＝0上及左上方，故D错，A、C均缺y≥0，A还缺x≤0.
4．设点P(x，y)，其中x，y∈N，则满足x＋y≤3的点P的个数为( )
A．10 B．9
C．3 D．无数
解析：选A.当x＝0时，y可取0,1,2,3有4个点；
当x＝1时，y可取0,1,2有3个点；
当x＝2时，y可取0,1有2个点；
当x＝3时，y可取0，有1个点，故共有10个点，选A.
5．已知点(－3,1)和(0，－2)在直线x－y－a＝0的一侧，则a的取值范围是( )
A．(－2,4) B．(－4,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选D.(－3－1－a)(0＋2－a)＞0，
即(a＋4)(a－2)＞0，∴a＞2或a＜－4.
6．在平面直角坐标系中， 若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
解析：选D.如图，
由
得A(1，a＋1)，
由得B(1,0)，
由得C(0,1)．
∵△ABC的面积为2，
∴S△ABC＝(a＋1)＝2，
∴a＝3.
二、填空题
7．下面四个点中，位于表示的平面区域内的点是______．
(1)(0,2) (2)(－2,0)
(3)(0，－2) (4)(2,0)
答案：(3)
8．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是________．
解析：不等式组表示的平面区域是三角形，如图所示，则该三角形的面积是×4×2＝4.
答案：4
9．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是__________．
解析：画出直线2x－3y＋6＝0如图，再作直线x＝－2，与直线2x－3y＋6＝0交于点A(－2，)．因为点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t＞.
答案：t＞
三、解答题
10．在△ABC中，各顶点坐标分别为A(3，－1)、B(－1,1)、C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
解：如图所示．
可求得直线AB、BC、CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.
由于△ABC区域在直线AB右上方，
∴x＋2y－1≥0；在直线BC右下方，
∴x－y＋2≥0；在直线AC左下方，
∴2x＋y－5≤0.∴△ABC区域可表示为
11．画出不等式组所表示的平面区域并求其面积．
解：如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域．
由得A(1,3)．
同理得B(－1,1)，C(3，－1)．
∴|AC|＝＝2，
而点B到直线2x＋y－5＝0距离为
d＝＝，
∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
12．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品的资源需求如下表
品种
电力/kW·h
煤/t
工人/人
甲
2
3
5
乙
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW· h的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围．
解：设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t，生产x t甲产品和y t乙产品的用电量是(2x＋8y) kw·h，根据条件，有2x＋8y≤160；用煤量为(3x＋5y) t，根据条件有3x＋5y≤150；用工人数为(5x＋2y)≤200；另外，还有x≥0，y≥0.综上所述，
x、y应满足不等式组
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)：
3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域
教学目标：
1．知识目标：准确画出二元一次不等式表示的平面区域；
2．能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力；
3．情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识．
教学重点：
二元一次不等式表示的平面区域．
教学难点：
准确画出二元一次不等式表示的平面区域．
教学方法：
引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等．
教学手段：
利用多媒体技术优化课堂教学，体现辅助功能．
教学过程：
一、问题情境
本节导入部分为实际应用问题的求解过程．
第一步：研究本节其中的约束条件，确定数对的范围．
第二步：在第一步得到的数对的范围中，找出使P达到最大的数对．
先讨论第一步．
如图3-3-1（1），直线将平面分成上、下两个半平面区域，直线上的点的坐标满足方程，即，直线上方的平面区域中的点的坐标满足不等式，直线下方的平面区域中的点的坐标满足不等式．
因此，在平面上表示的是直线及直线下方的平面区域，即图3－3－1（2）中的阴影部分（包括边界直线）
一般地，直线把平面分成两个区域（如图）：
表示直线上方的平面区域；表示直线下方的平面区域．
问 对于二元一次不等式，如何确定它所表示的平面区域？
二、例题选讲
例1 画出下列不等式所表示的平面区域．
（1） （2）
解 （1），（2）两个不等式所表示的平面区域如图3－3－3（1），（2）所示：
例2 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（图3－3－4（1）中的区域不包括轴）：
解 （1）．
（2）．
（3）．
补充：确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域．
三、课堂练习
1．判断下列命题是否正确．
（1）点在平面区域内；
（2）点在平面区域内；
（3）点在平面区域内；
（4）点在平面区域．
2．不等式表示直线（ ）．
A．上方的平面区域 B．下方的平面区域
C．上方的平面区域（包括直线） D．下方的平面区域（包括直线）
3．用“上方”或“下方”填空．
（1）若，
不等式表示的区域是直线的
不等式表示的区域是直线的
（2）若
不等式表示的区域是直线的
不等式表示的区域是直线的
4．画出下列不等式所表示的平面区域．
（1） （2）
（3） （4）
5．将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来：
课件13张PPT。高中数学 必修5 本节导入部分实际应用问题的求解过程． 第二步 在第一步得到的数对的范围中，第一步 研究本节其中的约束条件，确定数对的范围． 找出使P达到最大的数对如图3-3-1（1），直线将平面分成上、下两个半平平面直线上方的平面区域中的点的坐标满足不等式 直线上的点的坐标满足方程， 直线下方的平面区域中的点的坐标满足不等式一般地，直线把平面分成两个区域: 表示直线上方的平面区域; 表示直线下方的平面区域.问：对于二元一次不等式， 如何确定它所表示的平面区域？ 例题选讲例1 画出下列不等式所表示的平面区域: (1) （2） 例2 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来 （1）中的区域不包括轴 （1） （2）（3） 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域． 补充：课堂练习1．判断下列命题是否正确在平面区域在平面区域在平面区域在平面区域 （1）点（2）点（3）点（4）点内内内内2．不等式表示直线 A．上方的平面区域
B．下方的平面区域
C．上方的平面区域（包括直线） D．下方的平面区域（包括直线） （ ）3．用“上方”或“下方”填空；（1）若不等式表示的区域是直线的＿＿＿＿， 不等式表示的区域是直线 的＿＿＿＿＿； （2）若不等式表示的区域是直线的＿＿＿＿＿； 表示的区域是直线 的＿＿＿＿＿． 不等式4．画出下列不等式所表示的平面区域：（1）（2）（3）（4）5.将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来：3.3.2 二元一次不等式组表示的平面区域
教学目标：
1．掌握二元一次不等式表示的平面区域．
2．掌握判断平面区域的方法．
教学重点：
二元一次不等式（组）表示的平面区域．
教学难点：
判断平面区域的方法．
教学过程：
一、复习表示的平面区域．
例
二、建构数学
判断方法（一）
∴表示直线及其下方区域．
判断方示（二）（选点法）将原点（0，0）代入
∴（0，0）所在的一侧即为表示的区域．
三、数学运用
例1 二元一次不等式组表示怎样的几何意义？
例2 画出下列不等式组所表示的平面区域．
（1） （2）
思考：如何寻找满足（2）中不等式的整数解？
例3 如图，△ABC三个顶点坐标为A（0，4），B（－2，0），C（2，0），求△ABC内任一点（）所满足的条件．
四、练习
1．画出下列不等式表示的区域
（1） （2）
2．求不等式表示的平面区域的面积.
3．若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则的值为 ．
五、要点归纳
1．二元一次不等式（组）表示的平面区域及判断方法．
2．平面区域用二元一次不等式（组）表示．
课件8张PPT。 高中数学 必修5一、复习表示的平面区域 例1．二元一次不等式组表示怎样的几何意义？例2．画出下列不等式组所表示的平面区域．例3．如图，△ABC三个顶点坐标为A（0，4），B（－2，0），C（2，0），求△ABC内任一点所满足的条件.二、练习 画出下列不等式表示的区域．（1）（2）三、要点归纳
1．二元一次不等式（组）表示的平面区域及判断方法.
2．平面区域用二元一次不等式（组）表示.3.3.2 简单的线性规划问题 优化训练
1．目标函数z＝4x＋y，将其看成直线方程时，z的几何意义是( )
A．该直线的截距
B．该直线的纵截距
C．该直线的横截距
D．该直线的纵截距的相反数
解析：选B.把z＝4x＋y变形为y＝－4x＋z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距．
2．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
答案：B
3．若实数x、y满足则s＝x＋y的最大值为________．
解析：可行域如图所示，
作直线y＝－x，当平移直线y＝－x
至点A处时，s＝x＋y取得最大值，即smax＝4＋5＝9.
答案：9
4．已知实数x、y满足
(1)求不等式组表示的平面区域的面积；
(2)若目标函数为z＝x－2y，求z的最小值．
解：画出满足不等式组的可行域如图所示：
(1)易求点A、B的坐标为：A(3,6)，B(3，－6)，
所以三角形OAB的面积为：
S△OAB＝×12×3＝18.
(2)目标函数化为：y＝x－，画直线y＝x及其平行线，当此直线经过A时，－的值最大，z的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z的最小值为3－2×6＝－9.
一、选择题
1．z＝x－y在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )
A．(0,1) B．(－1，－1)
C．(1,0) D．(，)
解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x＝0，y＝1时，z＝－1；当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝，y＝时，z＝0.排除A，B，D.
2．(2010年高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A．9 B.
C．1 D.
解析：选A.画出可行域如图：
令z＝x＋y，可变为y＝－x＋z，
作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大．
由得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.
3．在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m＝y－x的取值范围为( )
A．[1,3] B．[－3,1]
C．[－1,3] D．[－3，－1]
解析：选C.直线m＝y－x的斜率k1＝1≥kAB＝，且k1＝1＜kAC＝4，
∴直线经过C时m最小，为－1，
经过B时m最大，为3.
4．已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内运动，则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－2，－1] B．[－2,1]
C．[－1,2] D．[1,2]
解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，
∵z＝x－y，∴y＝x－z.
由图知截距－z的范围为[－2，1]，∴z的范围为[－1,2]．
5．设动点坐标(x，y)满足则x2＋y2的最小值为( )
A. B.
C. D．10
解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x＝3，y＝1时，x2＋y2的最小值为10.
6． 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
解析：选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z＝5x＋3y.
由题意得
可行域如图阴影所示．
由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
二、填空题
7．点P(x，y)满足条件则P点坐标为________时，z＝4－2x＋y取最大值________．
解析：可行域如图所示，
当y－2x最大时，z最大，此时直线y－2x＝z1，过点A(0,1)，(z1)max＝1，故当点P的坐标为(0,1)时z＝4－2x＋y取得最大值5.
答案：(0,1) 5
8．已知点P(x，y)满足条件(k为常数)，若x＋3y的最大值为8，则k＝________.
解析：作出可行域如图所示：
作直线l0∶x＋3y＝0，平移l0知当l0过点A时，x＋3y最大，由于A点坐标为(－，－)．∴－－k＝8，从而k＝－6.
答案：－6
9． 铁矿石A和B的含铁率a，，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b/万吨
c/百万元
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z＝3x＋6y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图所示：
由图可知，目标函数z＝3x＋6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin＝3×1＋6×2＝15
答案：15
三、解答题
10．设z＝2y－2x＋4，式中x，y满足条件，求z的最大值和最小值．
解：作出不等式组的可行域(如图所示)．
令t＝2y－2x则z＝t＋4.
将t＝2y－2x变形得直线l∶y＝x＋.
则其与y＝x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大；当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小．
∴zmax＝2×2－2×0＋4＝8，
zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
11．已知实数x、y满足约束条件(a∈R)，目标函数z＝x＋3y只有当时取得最大值，求a的取值范围．
解：直线x－ay－1＝0过定点(1,0)，画出区域让直线x－ay－1＝0绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平面区域．平移直线x＋3y＝0，观察图象知必须使直线x－ay－1＝0的斜率＞0才满足要求，故a＞0.
12．某家具厂有方木料90 m3 ，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元；出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所获利润最大？
解：由题意可画表格如下：
方木料(m3)
五合板(m2)
利润(元)
书桌(个)
0.1
2
80
书橱(个)
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x张，可获利润z元，
则??x≤300，x∈N*.
目标函数为z＝80x.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则
??y≤450，y∈N*.
目标函数为z＝120y.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则
?
目标函数为z＝ 80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ，即可行域(图略)．
作直线l∶80x＋120y＝0，即直线l∶2x＋3y＝0(图略)．
把直线l向右上方平移，当直线经过可行域上的直线x＋2y＝900,2x＋y＝600的交点时，此时z＝80x＋120y取得最大值．
由解得交点的坐标为(100,400)．
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56000(元)．
因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所获利润最大．
3.3.3 简单的线性规划问题（1）
教学目标：
1．让学生了解线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．
2．让学生掌握线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值与最小值．
教学重点：
用图解法求线性规划问题的最优解．
教学难点：
对用图解法求解简单线性规划问题的最优解这一方法的理解和掌握．
教学方法：
1．在学生的独立探究和师生的双边活动中完成简单的线性规划的数学理论的构建，在实践中掌握求解简单的线性规划问题的方法——图解法．
2．渗透数形结合的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：我们先考察生产中遇到的一个问题：（投影）
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、B种原料12t，产生的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t，产生的利润为1万元．现有库存A种原料10t，B种原料60t，问如何安排才能使利润最大？
为理解题意，可以将已知数据整理成下表：（投影）
A种原料（t）
B种原料（t）
利润（万元）
甲种产品（1t）
4
12
2
乙种产品（1t）
1
9
1
现有库存（t）
10
60
设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y，根据题意，A、B两种原料分别不得超过10t和60t，即，即．
这是一个二元一次不等式组，此外，产量不可能是负数,所以 ③
于是上述问题转化为如下的一个数学问题：在约束条件④下，求出x，y，使利润（万元）达到最大．
2．问题：上述问题如何解决？
二、学生活动
①让学生探究解决这个问题分几个步骤；
②让学生分组讨论：如何在不等式组确定的区域中找到取得最大值的数对（x，y）；
③由学生整理解决这个问题的思路．
（投影）首先，作出约束条件所表示的区域．其次，考虑的几何意义，将变形为，它表示斜率为－2，在y轴上截距为P的一条直线．平移直线，当它经过两直线与的交点A（1.25，5）时，直线在y轴上的截距P最大．
因此，当时，取得最大值，即甲、乙两种产品分别生产1.25t和5t时，可获得最大利润7.5万元．
三、数学建构（投影）
1．目标函数，线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域，最优解．
诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，我们把它称为目标函数．由于又是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题．
那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在问题中，可行域就是阴影部分表示的区域．其中可行解（一般是区域的顶点）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．
2．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）列出线性约束条件及写出目标函数；
（2）画出线性约束条件所表示的平面区域；
（3）通过平面区域求出满足线性条件下的可行解；
（4）用图形的直观性求最值；
（5）检验由（4）求出的解是否为最优解或符合问题的实际意义．
3．应用线性规划的图解方法，一般必须具备下列条件：
（1）能够将目标函数表示为最大化或最小化的要求；
（2）要有不同选择的可能性存在，即所有可行解不止一个；
（3）所求的目标函数是受条件约束的；
（4）约束条件应明确地表示为线性不等式或等式；
（5）约束条件中所涉及的变量不超过3个．
四、数学运用
例1 若已知满足求的最大值和最小值．
解 约束条件，是关于的一个二元一次不等式组；
目标函数：是关于的一个二元一次函数；
可行域：是指由直线和所围成的一个三角形区域（包括边界）（如图）；
可行解 所有满足［即三角形区域内（包括边界）的点的坐标的实数都是可行解；
最优解 ，即可行域内一点，使得一组平行线为参数）中的z取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标就是线性规划的最优解．当直线，即过三角形区域，且纵截距取最值时，z有最值，即目标函数z有最值．由图知，当l过B（1,1）点和A（5,2）时，z有最小值和最大值．
，
．
例2 已知满足不等式组求使取最大值的整数的值．
解 不等式组的解集为三直线：
所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为A，B，C，则A，B，C坐标分别为．
作一组平行线平行于，
当l往l0右上方移动时，t随之增大，
∴当l过C点时最大为，但不是整数解．
又由知x可取1，2，3，
当x＝1时，代入原不等式组得y＝－2，∴ x＋y＝－1；
当x＝2时，得y＝0或－1， x＋y＝2或1；
当x＝3时，y＝－1， x＋y＝2．
故x＋y的最大整数解为或．
练习：
设，式中x，y满足条件求z的最大值或最小值．
五、回顾反思
本节课的主要内容为：
1．目标函数，线性目标函数线性规划问题、可行解、可行域、最优解；
2．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤；
3．应用线性规划的图解方法，必须具备的条件．
课件8张PPT。 高中数学 必修5问题情境：
我们先考察生产中遇到的一个问题：（投影）
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、B种原料12t，产生的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t，产生的利润为1万元．现有库存A种原料10t，B种原料60t，问如何安排才能使利润最大？ 目标函数，线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域，最优解．
诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，我们把它称为目标函数．由于又是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题．
那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在问题中，可行域就是阴影部分表示的区域．其最优解一般是区域的顶点,分别使目标函数取得最大值和最小值的解,叫做这个问题的最优解.
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）列出线性约束条件及写出目标函数；
（2）画出线性约束条件所表示的平面区域；
（3）通过平面区域求出满足线性条件的可行解；
（4）用图形的直观性求最值；
（5）检验由（4）求出的解是否为最优解或符合问题实际意义 的解．例1 若已知 满足 , 求 的最大值和最小值．例2 已知 满足不等式组 ,求使 取得最大值的整数 的值． 练习：本节课的主要内容为：
1．目标函数，线性目标函数线性规划问题、可行解、可行域、最优解；
2．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤；
3．应用线性规划的图解方法，必须具备的条件．3.3.3 简单的线性规划问题（2）
教学目标：
一、知识与技能
1．能将实际问题转化为数学问题，从实际情景中抽象解决一些简单的线性规划应用问题的基本思路和主要方法；
2. 在应用中培养分析能力、判断能力、作图能力、计算能力；
3. 通过对线性规划方法的实际应用，进一步加深对线性规划有关知识的理解；
4. 正确进行多种数学语言的转译，增强学生应用数学的意识．
二、过程与方法
经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，培养学生数学建模的能力以及
数学应用意识．
三、情感、态度与价值观
1. 通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，体会不等式对于刻画不等关系的意义和价值；
2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；
3. 通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，培养学生理论联系实际的观点．
教学重点：
线性规划问题的图解法，即根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，并利用图解法求得最优解的主要步骤和基本思路；
教学难点：
把实际问题转化为数学问题，即如何根据实际问题的条件，转化为线性约束条件；如何把实际问题中要的结果转化为线性目标函数；如何根据实际问题的要求确定最优解．
教学方法：
应用多媒体辅助教学，增强动感和直观性，增大教学容量，提高教学效果和教学质量．
采取先师生共同分析、探究解决一两个范例，给学生提供良好有效的解决问题的思路方法以及完整规范的解题格式和程序，再让学生进行模仿练习，在模仿中加深对求解线性规划应用题的思路方法的理解和掌握，逐步提高分析问题、解决问题的能力．
教学过程：
问题情景
1. 提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题，根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，有的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果．在实际生活中，我们也经常遇到需要合理安排资源，以得到最大效益的问题，如：（多媒体显示）．
某校办工厂有方木料，五合板600，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料，五合板2，生产每个书橱需要方木料，五合板1，出售一张书桌可获利润80元，出售一张书橱可获利润120元．
（1）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案．
（2）设生产书桌张，书橱张，利润元，写出x、y应满足的条件以及与x、y之间的函数关系式．
（3）如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？
二、学生活动
让学生思考上面的问题，探究解决这一问题的方案．
生甲：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌300张，可获得利润80300＝24000元，但方木料没有用完．
生乙：若只生产书橱，用完方木料，可生产450张书橱，可获得利润120450＝54000元，但五合板没有用完．
师：在上面两种情况下，原料都没有充分利用，造成了资源浪费，那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？
生丙：设生产书桌张，书橱张，利润元，利用线性规划．
师：应满足什么约束条件呢？目标函数是什么？
生丙：约束条件为目标函数为，这个问题转化为求目标函数的最大值问题．
师：能用前面学过的知识解决这一问题吗？
生丁：作出可行域，作出一组平行直线，
当直线经过点时，直线的纵截距最大，
即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，
有最大利润为元．
师：解决本题的关键在哪儿？
生：根据题意，找出线性约束条件和线性目标函数，利用线性规划图解法求解．
师：哪些应用题可以用线性规划来处理？
生：（讨论，再次观察例题，总结，教师补充）一是人力、物力、财力等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．（即“少投入，多产出”）
三、建构数学
1. 线性规划问题的求解步骤：
（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；
（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；
（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；
（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（5）求：通过解方程组求出最优解； （6）答：回答实际问题．
2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．
四、数学运用
1. 例题.
例1 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润2万元，生产一件乙产品可获利润3万元，则如何安排日生产，可使工厂所获利润最大？
解 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，工厂所获利润z万元
约束条件为，目标函数是．
作出可行域（如图所示），可行域内的每一个整点就代表所有可能的日生产安排．
将目标函数变形为，这是斜率为，
在y轴上的截距为，随着变化的直线族．当最大时，z最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线的交点时，直线在y轴上的截距最大，最大值为，因此，每天生产甲产品4件、乙产品2件时，工厂可得最大利润14万元．
例2 投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900 m，问 应作怎样的组合投资，可获利最大？
分析：
资金（百万元）
场地（百平方米）
利润（百万元）
A产品（百吨）
2
2
3
B产品（百米）
3
1
2
限制
14
9
解 设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，
利润为S百万元，则约束条件为：
目标函数为，
作出可行域（如图所示），将目标函数变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为，随着变化的直线族．当最大时，S最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线的交点时，直线在y轴上的截距最大，此时,因此，生产A产品325t，生产B产品250m时，获利最大，且最大利润为1475万元．
例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少千克？
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
分析
解 设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z元，则线性约束条件为：
(，
目标函数为：
不等式(等价于 (，
作出可行域如图：
考虑可变形为，这是斜率为、随z变化的一组平行直线，是直线在y轴上的截距，当取最小值时，z的值最小，且直线要与可行域相交，由上图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．
解方程组，得M的坐标为，所以．
由此可知，每天食用A食物143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．
2. 练习．
（1）某工厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工一件甲所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400小时/台和500小时/台．如何安排生产可使收入最大？
解 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，
约束条件为，
目标函数是．
作出可行域（如图所示）
将目标函数变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为，随着变化的直线族．当最大时，z最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线的交点时，直线在y轴上的截距最大，最大值为800千元，因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时，工厂可得最大收入800千元．
（2）某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
学段
班级学生数
配备教师数
硬件建设（万元）
教师年薪（万元）
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，高中每人每年可收取学费2700元．因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个），那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？
解 设开设初中班x个，高中班y个，收取学费的总额为z万元．
满足的约束条件为，目标函数为，
可行域如图，把，得到斜率为，在y轴上的截距为，随着变化的直线族．
当最大时，z最大，但直线要与可行域相交．当直线经过可行域上的点M时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
解方程组
所以．
由此可知，开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元．
五、要点归纳与方法小结：
本节课学习了以下内容：
1. 线性规划问题的求解步骤：
（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；
（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；
（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；
（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（5）求：通过解方程组求出最优解； （6）答：回答实际问题．
2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．
3. 本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想．
课件23张PPT。 高中数学 必修5一、问题情景 某校办工厂有方木料90m3,五合板600m2，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一张书橱可获利润120元. （1）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案。
方案一：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌300张，可获得利润80×300=24000元，但方木料没有用完.
方案二：若只生产书橱，用完方木料，可生产450张书橱，可获得利润120×450=54000元，但五合板没有用完.
（2）设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，写出x、y应满足的条件以及Z与x、y之间的函数关系式.
约束条件为 ： 目标函数为：(3)如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？ 方案三、生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为56000元． 在上面两种情况下，原料都没有充分利用，造成了资源浪费，那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？二、线性规划在实际中的应用 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完
成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、
物力、资金等资源来完成该项任务.
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
例题 例1 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润2万元，生产一件乙产品可获利润3万元，则如何安排日生产，可使工厂所获利润最大？分析：将已知数据列成表格
解 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，工厂利润z万元约束条件为： 目标函数是：作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 把目标函数z＝2x＋3y 变形为y
x
O
x+2y-8=0
y=3
x=4
它表示斜率为 随z变化的一组平行直线系
是直线在y轴上的截距，当截距最大时，z的值最大.如图可见，当直线z＝2x＋3y 经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．MM点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmax＝2x＋3y＝14 由此可知，每天生产甲产品4件、乙产品2件时，工厂可得最大最大利润14万元． 例2 投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200m2，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m2，可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元，场地900m2，问：应作怎样的组合投资，可获利最大？分析 将已知数据列成表格 解 设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，则约束条件为
目标函数为作出可行域把目标函数S＝3x＋2y 变形为A
y
2x+y=9
x
O
2x+3y=14
它表示斜率为
随S变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距，当截距最大时，S的值最大．
如图可见，当直线S＝3x＋2y 经过可行域上的点A时，截距最大，即S最大．A点是两条直线的交点，解方程组得A点的坐标为：所以Smin＝3x＋2y＝14.75 由此可知，,生产A产品325t，生产B产品250m时，获利最大，且最大利润为1475万元．例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？分析：将已知数据列成表格解 设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，则线性约束条件为：目标函数为：z＝28x＋21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数z＝28x＋21y 变形为xyo5/75/76/73/73/76/7它表示斜率为
随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截 距，当截距最小时，z的值最小．M如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin＝28x＋21y＝16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．三、练习题 1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，加工一件乙所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h/台和500h/台。如何安排生产可使收入最大？ 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是 Z＝ 3x＋2y 变形为 它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关．XYO400200250500当直线经过点M时，截距最大，Z最大．M解方程组可得M（200，100）Zmax ＝3x＋2y＝800故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元．2.某人准备投资1200万元兴办一所完全中学.对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位） 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个）那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？把上面四个不等式合在一起，得到yx2030402030o 另外，开设的班级不能为负，则x≥0，y≥0.而由于资金限制，26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200 解 设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30yx2030402030o 由图可以看出，当直线Z＝7.2x＋10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即Z最大. 设收取的学费总额为Z万元，则目标函数
Z＝0.16×45x＋0.27×40y＝7.2x＋10.8y.Z＝7.2x＋10.8y变形为
它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关.M 易求得M（20，10），则Zmax＝ 7.2x＋10.8y ＝252 故开设20个初中班和10个高中班，
收取的学费最多，为252万元.四、要点归纳与方法小结 （一）线性规划的两类重要实际问题的解题思路： 1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数． 2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较．） 3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解． （二）线性规划问题的求解步骤：
（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；
（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；
（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；
（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（5）求：通过解方程组求出最优解；
（6）答：回答实际问题．
（三）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，
此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定
其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．
（四）本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想．3.3.3 简单的线性规划问题（3）
教学目标：
1．掌握线性规划问题中整点问题的求解方法．
2．了解线性规划的思想方法在其他方面的应用．
3．通过问题解决，丰富和完善对线性规划问题这一数学模型及其思想方法
的认识和理解，拓宽视野．
4．体会线性规划这一数学模型及其思想方法应用的广泛性、实用性，激发
学习数学的兴趣．
教学重点：
线性规划的应用．
教学难点：
将实际问题转化为线性规划问题，并给予求解．
教学过程：
这节课程我们继续研究线性规划问题在实际生活中的应用．
一、例题讲解
例1 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t．该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低，若只调配A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？
解 设每天调出A型车辆，B型车辆，公司花费成本元，将题中数据整理成如下表格：
A型车
B型车
物资限制
载重（s）
6
10
共180
车辆数
8
4
出车次数
4
3
每车每天运输成本（元）
320
504
则约束条件为 即
目标函数为．
作出可行域：
当直线经过直线与轴的交点（7.5，0）时，有最小值，由于（7.5，0）不是整点，故不是最优解．
由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是，经过的整点是（8，0），它是最优解．
答 公司每天调出A型车8辆时，花费的成本最低，即只调配A型卡车，所花最低成本费（元）；若只调配B型卡车，则无允许值，即无法调配车辆．
例2 学校有线网络同时提供A、B两套校本选修课程．A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分，全学期20周，网络每周开播两次，每次均独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟，两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？
分析 线性规划问题应根据实际情况作具体分析，特别注意求整体、可解性和选择性．
解 设选择A、B两套课程分别为次，为学分，则
图示：
目标函数，
由方程组解得点A（15，25），B（25，12.5）（舍）
答 选A课和B课分别为15次和25次才能获得最好学分成绩
例3 私人办学是教育发展的一个方向，某人准备投资1200万元创办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）：
市场调查表
班级学生数
配备教师数
硬件建设费（万元）
教师年薪（万元）
初中
50
2.0
28
1.2
高中
40
2.5
58
1.6
根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费，初中每生每年可收取600元，高中每生每年可收取1500元，因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个）．教师实行任聘制．初、高中的教育周期均为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？
分析 这是一道线性规划问题，可假设初中编制为个班级，高中编制为个班级，利用题设先列出不等式组，求出目标函数，然后画出它在直角坐标平面内所表示的区域，利用图形法加以求解．
解 设初中编制为个班，高中编制为个班，则依题意有
（★）
又设年利润为s万元，那么
，
即．
现在直角坐标系中作出（★）所表示的可行域，如下图所示
问题转化为在如图所示的阴影部分中，求直线在轴上的截距的最大值，如图，虚线所示的为一组斜率为的直线，显然当直线过图中的A点时，纵截距取最大值．
解联立方程组 得
将代入中，得
设经过年可收回投资，则
第1年利润为
第2年利润为
（万元）
以后每年的利润均为34.8万元，故依题意应有
解得
故学校规模以初中18个班、高中12个班为宜，第一年初中招生6个班约300人，高中招生4个班约160人，从第三年开始年利润为34.8万元，约经过36年可以收回全部投资．
二、课堂小结
通过这节课的学习，使我们对线性规划有了更深刻的理解，拓宽了我们的视野，让我们体会到线性规划问题在现实生活中具有非常广泛的应用．
三、布置作业
要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：
规格
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
课件8张PPT。 高中数学 必修5例1 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t．该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低，若只调配A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？
简单线性规划的应用解 设每天调出A型x车辆，B型y车辆，公司花费成本z元，由题可知约
束条件为 即
目标函数为
作出可行域
当直线 经过直线 与x轴的交点（7.5，0）时，z有最小值,由于（7.5，0）不是整点，故不是最优解。
由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是 ，经过的整点是（8，0），它是最优解。
答 公司每天调出A型车8辆时，花费的成本最低，即只调配A型卡车，所花最低成本费 （元）；若只调配B型卡车，则y无允许值，即无法调配车辆.
例2 学校有线网络同时提供A、B两套校本选修课程。A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分，全学期20周，网络每周开播两次，每次均独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟，两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？ 分析 线性规划问题应根据实际情况作具体分析，特别注意求整体、可解性和选择性．
解 设选择A、B两套课程分别为x、y次，z为学分，则
目标函数
由方程组解得点A（15，25），B（25，12.5）（舍）
答： A套课选15次，B套课选25次才能获得最好学分成绩．例3 私人办学是教育发展的一个方向，某人准备投资1200万元创办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）：
根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费，初中每生每年可收取600元，高中每生每年可收取1500元，因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个）。教师实行任聘制．初、高中的教育周期均为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？ 解：设初中编制为x个班，高中编制为y个班，则依题意有
（★）
又设年利润为s万元，那么
现在直角坐标系中作出（★）所表示的可行域，
如图所示
显然当直线过图中的A点时，纵截距取最大值。
即 时，得
设经过n年可收回投资，则第１年利润为
第２年利润为
以后每年的利润为34.8万元,依题意应有
解得
故学校规模以初中18个班、高中12个班为宜，第一年初中招生6个班约300人，高中招生4个班约160人，从第三年开始年利润为34.8万元，约经过36年可以收回全部投资．
