3.4.1 基本不等式的证明（1）
教学目标：
一、知识与技能
1．探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； 2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；
3．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握
定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
4．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几
何解释．
二、过程与方法
1.通过实例探究抽象基本不等式；
2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃．要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点．变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础．两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质．
三、情感、态度与价值观
1．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；
2．培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力．
教学重点：
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式?的证明过程．
教学难点：
理解基本不等式?等号成立条件及?“当且仅当时取等号”的数学内涵．
教学方法：
先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式；从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动学生的学习热情；定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案．
教学过程：
一、问题情景
1.提问：与哪个大？
2.基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．
二、学生活动
问题1 我们把“风车”造型抽象成上图．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
生答：.
问题2 那4个直角三角形的面积和呢？
生答 .
问题3 好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，.什么时候这两部分面积相等呢？
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有.
三、建构数学
1．重要不等式：一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立．
问题4：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明：
所以
注意强调：当且仅当时,
注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；
（2） 公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛．
问题5：将降次为,降次为,则由这个不等式可以得出什么结论？
2．基本不等式：对任意正数、，有当且仅当时等号成立．（学生讨论回答证明方法）
证法1：当且仅当即时，取“”．
证法2：要证，只要证，只要证，只要证．因为最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当即时，取“=”号．
证法3：对于正数有，
说明： 把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
注意：（1）基本不等式成立的条件是：；
（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）；
（3）的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径
基本不等式几何意义是：“半径不小于半弦”；
（4）当且仅当时，取“”的含义：一方面是当时取等号，即
；另一方面是仅当时取等号，即；
（5）如果，那么（当且仅当时取“”）；
（6）如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
四、数学运用
1．例题．
例1 设为正数，证明下列不等式成立：（1）；（2）.
证明 （1）∵为正数，∴也为正数，由基本不等式得∴原不等式成立．
（2）∵均为正数，由基本不等式得，∴原不等式成立．
例2 已知为两两不相等的实数，求证：.
证明 ∵为两两不相等的实数，∴，，，
以上三式相加：，
所以，．
例3 已知都是正数，求证.
证明 由都是正数，得： ，，
∴，即.
2．练习．
（1）已知都是正数，求证： ；
（2）已知都是正数，求证：；
（3）思考题：若，求的最大值.
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．算术平均数与几何平均数的概念；
2．基本不等式及其应用条件；
3．不等式证明的三种常用方法．
小结 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
六、课外作业
课后练习第2题、第3题；习题3.4第1题、第2题、第3题．
课件5张PPT。 高中数学 必修5 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？1. 重要不等式 ：一般地，对于任意实数 ，我们有 ，当且仅当 时，等号成立．2. 基本不等式：对任意正数 ，有 当且仅当 时等号成立．例2 已知 为两两不相等的实数，
求证：例1 设 为正数，证明下列不等式成立：
（1） ；（2）
例3 已知 都是正数，求证： 练习
（1）已知 都是正数，求证：
（2）已知 都是正数，求证：
（3）思考题：若 ，求 的最大值．3.4.1 基本不等式的证明（2）
教学目标：
一、知识与技能
1.进一步掌握基本不等式；
2.学会推导并掌握均值不等式定理；
3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三等四同．
4.使学生能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用．
二、过程与方法
通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．
三、情感、态度与价值观
引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．
教学重点：
均值不等式定理的证明及应用．
教学难点：
等号成立的条件及解题中的转化技巧．
教学方法：
先让学生回顾两个重要不等式，然后由两个具体问题入手让学生分组讨论得到两个最值定理（其证明可由学生完成），然后通过一些例题来讲解如何利用最值定理求最值，并让学生从中体味出如何创设情境用定理．
教学过程：
一、问题情境
提问：我们上一节课已经学习了两个重要的不等式，请同学们回忆一下，这两个重要不等式叙述的内容是什么，“等号”成立的条件是什么？
学生回答：
1．如果
2．如果,是正数，那么
老师总结：
我们称的算术平均数，称的几何平均数，成立的条件是不同的：前者只要求,都是实数，而后者要求,都是正数．
二、学生活动
提问：
问题1：已知都是正数，若，那么有无最大值，若有求出最大值（允许学生交流）．
生答：有，最大值为4．
问题2：如何求出最大值的呢，何时取到最大值的．
生答：，当且仅当时取“＝”．
问题3：如果将问题1中条件改为，那么有无最值呢？
生答：有最小值4．当且仅当时取到．
问题4：请同学们分组讨论能否由问题1及问题3推广至更一般的结论出来，学生讨论完后，在学生回答的基础上得出以下最值定理．
三、建构数学
最值定理：已知都是正数， ①如果积是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值．
证明：∵， ∴ ，
①当 (定值)时， ∴，
∵上式当时取“”，
∴当时有；
②当 (定值)时， ∴，∵上式当时取“”∴当时有．
说明：最值定理是求最值的常用方法，但应注意以下几点：
①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；
②用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”．
③函数式中各项必须都是正数;
④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数时才能用最值定理求最值．
四、数学运用
1．例题．
例1 （1）求 的最值，并求取最值时的的值．
解 ∵∴ ，于是，
当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值是，此时．
（2）若上题改成，结果将如何？
解 ∵ ，于是，
从而，∴的最大值是，此时．
例2 （1）求的最大值，并求取最大值时的的值．
（2）求的最大值，并求取最大值时的值
解 （1）∵，∴．∴．
则，当且仅当，即时取等号．∴当时，取得最大值4．
（2）∵0∴，
∴当且仅当，
即
∴当
例3 已知是正实数，若，求的最小值．
解 ∵是正实数，，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴当时，取最小值
变题：若，求的最小值．
解 ，，
．
．
例4 求下列函数的值域:（1）；（2）．
解 （1），．
（2），当时，；当时，，
．
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4) 写出正确答案.
2. 练习．
（1）已知，求的最大值并求相应的值．
（2）已知，求的最大值，并求相应的值．
（3）已知，求函数的最大值，并求相应的值．
（4）已知求的最小值，并求相应的值．
五、要点归纳与方法小结：
1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；
2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：
（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；
（2）配凑出和为定值；
（3）配凑出积为定值；
（4）将限制条件整体代入．
一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及其变形的应用．
课件9张PPT。 高中数学 必修5问题一：我们上一节课已经学习了两个重要的不等式，请同学们回忆一下，这两个重要不等式叙述的内容是什么，“等号”成立的条件是什么？ 最值定理：已知 都是正数，
①如果积 是定值 ，那么当 时，和 有最小值 ；
②如果和 是定值 ，那么当 时，积
有最大值 ． 说明：最值定理是求最值的常用方法，但应注意以下几点：
①最值的含义；
②用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.
③函数式中各项必须都是正数;
④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数时才能用最值定理求最值．例1（1）求 的最值，并求
最值时 的 的值.（2）若上题改成 ，结果将如何？例2 （1）求 的最大值，并求取最大值时的 的值.
（2）求 的最大值，并求取最大值时的 值.例3 已知 ，若 ，求
的最小值. 例4 求下列函数的值域: 练习：课堂小结：1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件：
一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；
2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：
（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；
（2）配凑出和为定值；
（3）配凑出积为定值；
（4）将限制条件整体代入．
一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及其变形的应用．3.4.2 基本不等式的应用
教学目标：
一、知识与技能
1． 能利用基本不等式解决最值问题；
2． 会利用基本不等式解决与三角有关问题．
二、过程与方法
1． 通过实例体会基本不等式在最值问题中的应用；
2． 通过实例体会总结基本不等式在应用中需要注意的问题．
三、情感、态度与价值观
通过亲历解题的过程，体会基本不等式的应用价值，培养学生敢于思考的科学精神．
教学重点：
利用基本不等式解决最值问题．
教学难点：
利用基本不等式需要注意的问题．
教学方法：
从函数的最值问题入手,逐步提高难度,让学生在循序渐进的学习过程中,通过小组合作探究体会并掌握基本不等式在最值问题中的应用．
教学过程：
一、问题情景
1． 函数的最小值是什么?取得最小值时的值是什么？
2．若都是正实数,且,则的最大值是什么？
二、学生活动
1．小组合作解决问题情境中的两道题目．
2．总结解决问题所用的主要方法以及需要注意的事项．
三、建构数学
总结应用基本不等式求最值时需要注意的问题．
（1）、的取值必须为正；
（2）或必须有一为定值；
（3）当且仅当时等号成立．
四、数学运用
1．例题．
例1 已知,求函数的最小值．
解
已知,且,求的最小值．
解 ，
又，
，当且仅当a＝b＝时取等号．
故的最小值是9．
在中,角所对的边是且．
求面积的最大值．
解 由可得
，
又为的内角,所以．
故．
又，
．
解得．
，
当且仅当时, 有最大值．
2．练习
（1）已知求的最小值；
（2）求周长为的直角三角形的面积的最大值；
（3）在中,角所对的边是且,求面积的最大值．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．利用基本不等式解决最值问题；
2． 利用基本不等式解决与三角有关问题；
3．利用基本不等式时需要注意的问题．
课件7张PPT。 高中数学 必修51. 函数 的最小值是什么?取得最小值时 的值是什么? 2.若 都是正实数,且 ,则 的最大值是什么?想一想说一说 例1 解： 例2 例3 练一练3.4 基本不定式 优化训练
1．若xy＞0，则对＋说法正确的是( )
A．有最大值－2 B．有最小值2
C．无最大值和最小值 D．无法确定
答案：B
2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是( )
A．400 B．100
C．40 D．20
答案：A
3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋有最小值____．
答案：2 4
4．已知f(x)＝＋4x.
(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；
(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．
解：(1)∵x＞0，∴，4x＞0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x＞0时，f(x)的最小值为8.
(2)∵x＜0，∴－x＞0.
则－f(x)＝＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8.
一、选择题
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A．x＋ B．x2－1＋
C．2x＋2－x D．x(1－x)
答案：C
2．函数y＝3x2＋的最小值是( )
A．3－3 B．－3
C．6 D．6－3
解析：选D.y＝3(x2＋)＝3(x2＋1＋－1)≥3(2－1)＝6－3.
3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是( )
A．200 B．100
C．50 D．20
解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．
4．给出下面四个推导过程：
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴＋≥2＝2；
②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴＋a ≥2＝4；
④∵x，y∈R，，xy＜0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2.
其中正确的推导过程为( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴，∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；
②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的；
③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的；
④由xy＜0得，均为负数，但在推导过程中将全体＋提出负号后，(－)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．
5．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
解析：选C.∵＋＋2≥＋2≥2＝4.当且仅当时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.
6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有( )
A．最大值64 B．最大值
C．最小值64 D．最小值
解析：选C.∵x、y均为正数，
∴xy＝8x＋2y≥2＝8，
当且仅当8x＝2y时等号成立．
∴xy≥64.
二、填空题
7．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
答案：1
8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．
解析：1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤.
答案：大
9．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
解析：∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.
当且仅当＝时取等号．
答案：3
三、解答题
10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋＋6的最小值；
(2)求函数y＝(x＞1)的最值．
解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋＋6＝x＋1＋＋5
≥2 ＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，取等号．
∴x＝1时，函数的最小值是9.
(2)y＝＝＝(x＋1)＋
＝(x－1)＋＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.
∴(x－1)＋＋2≥2＋2＝8.
当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，
∴y有最小值8.
11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)·(－1)·(－1)≥8.
证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝＝＋≥，
同理－1≥，－1≥，
以上三个不等式两边分别相乘得
(－1)(－1)(－1)≥8.
当且仅当a＝b＝c时取等号．
12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．
解：设污水处理池的长为x米，则宽为米．
总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200
＝800×(x＋)＋12000
≥1600＋12000
＝36000(元)
当且仅当x＝(x＞0)，
即x＝15时等号成立．
