2.2 等差数列
一、选择题
1．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为-2，公差为4的等差数列。若an=bn,则n的值为（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2．关于等差数列，有下列四个命题
（1）若有两项是有理数，则其余各项都是有理数 （2）若有两项是无理数，则其余各项都是无理数 （3）若数列{an}是等差数列，则数列{kan}也是等差数列 （4）若数列{an}是等差数列，则数列{a2n}也是等差数列
其中是真命题的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3．在等差数列{an}中,am=n,an=m,则am+n的值为（ ）
（A）m+n （B）
（C） （D）0
4.在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为（ ）
（A）30 （B）27 （C）24 （D）21
5．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为（ ）
（A）4∶5 （B）5∶13 （C）3∶5 （D）12∶13
6．在等差数列{an}中，Sm=Sn,则Sm+n的值为（ ）
（A）0 （B）Sm+Sn
（C）2(Sm+Sn) （D）
7.数列{an}的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的（ ）
（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
8．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）
（A）3、8、13、18、23 （B）4、8、12、16、20
（C）5、9、13、17、21 （D）6、10、14、18、22
9．一个凸n边形内角的度数成等差数列，公差为5°，且最大角为160°，则n的值为（ ）
（A）9 （B）12 （C）16 （D）9或16
10．在等差数列{an}中，Sp=q,Sq=q,Sp+q的值为（ ）
（A）p+q （B）-(p+q) （C）p2-q2 （D）p2+q2
11.已知等差数列{an}满足a1+a2+……+a99=0,则（ ）
（A）a1+a99>0 （B）a2+a98<0 （C）a3+a97=0 （D）a50=50
12.若数列{an}为等差数列，公差为，且S100=145，则a2+a4……+a100的值为（ ）
（A）60 （B）85 （C） （D）其它值
13．若a1,a2, ……,a2n+1成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（ ）
（A）4 （B）5 （C）9 （D）11
14．无穷数列1，3，6，10……的通项公式为（ ）
（A）an=n2-n+1 （B）an=n2+n-1
（C）an= （D）an=
15.已知数列{an}的前n项和为an2+bn+c，则该数列为等差数列的充要条件为（ ）
（A）b=c=0 （B）b=0 （C）a、c=0 （D）c=0
16．已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n+1(4n-3),则它的前100项之和为（ ）
（A）200 （B）-200 （C）400 （D）-400
17．若数列{an}由a1=2,an+1=an+2n(n)确定，则a100的值为（ ）
（A）9900 （B）9902 （C）9904 （D）9906
18．已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
19．已知等差数列{an}的公差为d,d0,a1d,若这个数列的前20项的和为S20=10M，则M等于（ ）
（A）a4+a16 （B）a20+d （C）2a10+d （D）a2+2a10
20.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四个根可以组成首项为的等差数列，则a+b的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
数列{an}中，a1=p,a2=q,an+2+an=2an+1，则a2n= 。
在等差数列{an}中，已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8= 。
在等差数列{an}中，S4=6,S8=20,则S16= 。
在等差数列{an}中，S3=S8,S2=Sn,则n= 。
某露天剧场共有28排座位，第一排有24个，后一排比前一排增加两个座位，则全剧场共有座位 个。
成等差数列的四个数之和为26，第一个数与第四个数积为22，则这四个数为 。
打一口深20米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每深一米都要比前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用 小时，打完这口井总共用 小时。
在等差数列{an}中， =，则当Sn最大时的n为 。
9.在项数为n的等差数列{an}中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n= 。
10．已知数列{an}的通项公式an= ,bn=,则{bn}的前n项和为 。
三、解答题
已知数列{an}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。
已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+C(C为常数)，求数列{a0}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列。
设等差数列{an}的前n项和为Sn,bn=，且a3b3=，S5+S3=21,求bn。
已知数列{an}为首项a10，公差为d0的等差数列，求Sn=。
求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。
用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
已知等差数列{an},a1=29,S10=S20,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值。
8.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7
(1)设f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列。
(2)设f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成{bn}，求{bn}的前n项和。
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
B
C
A
D
C
A
B
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
C
B
C
C
D
B
B
B
C
D
9．·n160°+
13.S奇=。
14．a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…an-an-1=n,累加得an-a1=2+3+4+…+n,故an=
18.an=4n-1(n35),bk=7k-5(k21),4n-1=7k-5,故4(n+1)=7k,由于4与7互质，令k=4t,t5,故n=7t-1,t=1,2,3,4,5时，出现公共项。
20．四根之和为2，则四根为。
a=得a+b=。
二、填空题
1.p+(2n-1)(q-p) 2.14 3.72 4.9 5.1428 6.2,5,8,11或11,8,5,2。 7。。
8．8或9a1+3d=-(a1+13d),得a1=-8d 由 得
9．10
a1+a2+a3=12,an-2+an-1+an=132,相加得3（a1+an）=144,a1+an=48,求得Sn==240,n=10。
10．。
三、解答题
1．
S50-S30=a31+a32
+…+a50==30-50=-20。
∴a1+a80=-2 ∴S80=。
2．当n=1时，a1=S1=1+c
当n时，an=Sn-Sn-1=(n2+c)-[(n2+c)]-[(n-1)2+C]=2n-1。
∴an=
若C=0，an=2n-1,此时an-an-1=2(n){an}为等差数列。
若C0,C+11,{an}不为等差数列。
3． 由①，得a1=d。由②，得8a1+13d=1。
故a1=d=1。
∴Sn=
4.
∴Sn=
=。
5.设S表示从1到100的所有整数之和。S1表示从1到100中所在能被3整除的整数的和。
S2表示从1到100中所有能被5整除的整数的和。
S3表示从1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整数的和。
则S=。
由99=3+（n-1）×3,得n=33。 。
由100=5+(n-1) ×5,得n=20。
S3表示15，30，45，…，90之和 S3=
从1到100中所有不被3及5整除的整数之和为S-S1-S2+S3=2632。
6.购买时付了150元，欠款1000元。每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{an},则
a1=50+1000×0.01=60
a2=50+(1000-50) ×0.01=60-0.5
a3=50+(1000-50×2) ×0.01=60-0.5×2
类推,得
a10=60-0.5×9=55.5
an=60-0.5(n-1)(1n20)。
∴ 付款数{an}组成等差数列，公差d=-0.5,全部贷款付清后，付款总数为
S20+150=（元）。
7．由S20=S10得2a1+29d=0d=-2,an=a1+(n-1)d=-2n+31
Sn==-n2+30n=-(n-15)2+225 ∴当n=15时，Sn最大，最大值为225。
8．（1）f(x)=[x-(n+1)2]+3n-8 ∴an=3n-8,∵ an+1-an=3 , ∴{an}为等差数列。
（2）b0=
当1时，bn=8-3n,b1=5。Sn=
当n3时。bn=3n-8 Sn=5+2+1+4+…（3n-8）
=7+
∴Sn=
2.2.1 等差数列的概念
教学目标：
1.理解等差数列的概念，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要函数模型；
2.能够利用等差数列的定义判断给定数列是否为等差数列 ；
3.在探索活动中培养学生的观察、分析能力，培养由特殊到一般的归纳能力．
教学重点：
等差数列的概念 ．
教学难点：
对等差数列“等差”的特点的理解 .
教学方法：
启发式、研讨式．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：第23届到第28届奥运会举行的年份依次为：1984,1988，1992,1996,2000,2004；
2．问题：这个数列有什么特点？
二、学生活动
1．让学生回顾书上本章第2.1节开始碰到的数列（初步体会等差数列的特点）；
2．列举生活中的等差数列的实例（了解等差数列的定义）；
3．分析、概括各种等差数列实例的共同特征．
三、建构数学
1．引导学生自己总结给出等差数列的含义（描述性概念）；
2．给出等差中项的概念．
四、数学运用
1．例题.
例1 判断下列数列是否为等差数列：
（1）1,1,1,1,1；
（2）4,7,10,13,16；
（3）-3，-2，-1,1,2,3．
例2 求出下列等差数列中的未知项：
（1）；
（2）．
例3 （1）在等差数列中，是否有？
（2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？
2．练习.
课本P35练习 1，2，3，4，5．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．等差数列的有关概念；
2．等差数列的判断方法——定义法、等差中项法．
课件12张PPT。 高中数学 必修5问题情境从第二项起，每一项与前一项的差都是同一个常数.(2)某剧场前10排的座位数分别是：
38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56观察这些数列有什么共同特点？(3) 3, 0, -3, -6, -9, -12, ……(4) 2, 4, 6, 8, 10(5) 1, 1, 1, 1, 1, ……(1)第23到第28届奥运会举行的年份依次为
1984,1988,1992,1996,2000,2004 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项
的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个
常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示.建构教学想一想问题情境中的5个等差数列的公差依次是多少？ 递推公式： (1)第23到第28届奥运会举行的年份依次为
1984,1988,1992,1996,2000,2004(5) 1, 1, 1, 1, 1, ……建构教学(2)某剧场前10排的座位数分别是：
38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56(3) 3, 0, -3, -6, -9, -12, ……(4) 2, 4, 6, 8, 10， ……建构教学探究数列是特殊的函数，
数列的函数图象是离散的点.你能画出下列三组等差数列的函数图象吗？
它具有怎样的特征？（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…（2）数列：7，4，1，-2，…（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…函数图象上所有的点在同一条直线上：
d>0,等差数列单调增；d<0,等差数列单调减；d=0,等差数列为常函数．你能写出等差数列的通项公式吗？叠加法当d≠0时，是关于n的一个一次函数an-a1=（n-1）d，（n-1）an-an-1=d建构教学a2-a1=d……(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：a3-a2=da4-a3=d（1）（2）（3）即 已知等差数列 的首项是a1，公差是 时也成立. 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等差数列：（1）2 ， ， 4 （2）-1， ，5
（3）-12， ，0 （4）0， ，032-60建构教学 如果在 与 中间插入一个数A，使 ，A， 成等差数列，那么A叫做 与 的等差中项. 数学应用例1 (1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)－401是不是等差数列－5, －9, －13, ……的项?
如果是,是第几项?点评：通项公式 知 三 求 一第n项公差项数首项数学应用例2已知等差数列 前3项分别为
求数列 的通项公式．变式已知：三个数成等差数列，其和为15，首末两项
的积为9，求这三个数．（2）求等差数列2，9，16，…的第 项；巩固练习1．（1）求等差数列10，8，6，…的第20项；2．等差数列 中, ,求 ；3．等差数列 中， 判断201是这个数列的第几项．一个定义：
一个公式：
两种思想：基本量思想、方程思想．课堂小结本节课主要学习：课后作业课本P39习题－2，3，4.2.2.1 等差数列的概念(二)
2．2.2 等差数列的通项公式(二)
一、基础过关
1．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于________．
2．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
3．设{an}是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．
4．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是 _______．
5．等差数列{an}中，公差为，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝_____.
6．数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2，n∈N*，若am·am＋1<0，则自然数m＝________.
7．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．
8．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
二、能力提升
9．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.
10．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41 (n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是________．
11．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝______.
12．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－ (n≥2)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
三、探究与拓展
13．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，n∈N*.
(1)求证：数列{bn}为等差数列．
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
答案
1．180 2.1或2 3.2 4．an＝10－2n (n∈N*) 5.85 6.23
7．解 方法一 设公差为d，
8．解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
∴
解得或
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
9．105 10.7 11.
12．(1)证明 ∵an＝4－ (n≥2)，
∴an＋1＝4－ (n∈N*)．
∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.∴bn＋1－bn＝，n∈N*.
∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.
(2)解 b1＝＝，d＝.
∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)
＝.
∴＝，∴an＝2＋.
13．(1)证明 当n>1，n∈N*时，
＝
?＝
?－2＝2＋?－＝4
?bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.
∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d
＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
∴an＝＝，n∈N*.
∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.
令an＝＝，∴n＝11.
即a1a2＝a11，
∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
§2.2 等差数列
2．2.1 等差数列的概念(一)
2．2.2 等差数列的通项公式(一)
一、基础过关
1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项an等于________．
2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是______．
3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为________．
4．{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若an＝2 011，则n＝________.
5．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是________．
6．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为________．
7．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值．
8．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
二、能力提升
9．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是________．
10．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋ (n∈N*)，则该数列的通项an＝________.
11．一个等差数列{an}中，a1＝1，末项an＝100(n≥3)，若公差为正整数，那么项数n的取值有______种可能．
12．若，，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．
三、探究与拓展
13．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….
(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由．
(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．
答案
1．3－n 2.－1 3.39 4.671 5.15 6.
7．解 ∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，
∴d＝.
∴an＝a1＋(n－1)×＝n－.
由an＝n－＝33，解得n＝50.
8．解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么，当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
即需要支付车费23.2元．
9．－4 10.
11．5
12．证明 ∵，，是等差数列，
∴＋＝.
∴(a＋b)(c＋a)＋(b＋c)(c＋a)
＝2(a＋b)(b＋c)，
∴(c＋a)(a＋c＋2b)＝2(a＋b)(b＋c)，
∴2ac＋2ab＋2bc＋a2＋c2
＝2ab＋2ac＋2bc＋2b2，
∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2成等差数列．
13．解 a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，
∴135是数列{an}中的第34项．
令an＝4n－1＝4m＋19，
则n＝m＋5∈N*.
∴4m＋19是{an}中的第m＋5项．
(2)∵ap，aq是{an}中的项，
∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.
∴2ap＋3aq
＝2(4p－1)＋3(4q－1)
＝8p＋12q－5
＝4(2p＋3q－1)－1∈N*，
∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项．
2.2.2 等差数列的通项公式
教学目标：
1. 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法；
2. 掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；
3. 理解等差数列的性质，能熟练运用等差数列的性质解决有关问题．
教学重点：
等差数列的通项公式，关键对通项公式含义的理解．
教学难点：
等差数列的性质和应用.
教学方法：
小组合作式，研讨式，启发式．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：观察等差数列
4,7,10,13,16，……,
如何写出它的第100项呢？
2．问题：设是一个首项为，公差为的等差数列，你能写出它的第项吗？
二、建构数学
通过对引例的讲解使学生了解“叠加法”，引导学生自己总结得出等差数列的通项公式．
三、数学运用
1．例题.
例1 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．
（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（2）2008年北京奥运会时第几届？2050年举行奥运会吗？
例2 在等差数列中，已知，求．
例3 已知等差数列的通项公式为，求首项和公差．
2．练习.
课本P37练习 1，2，3，4、5，6．
四、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
等差数列的通项公式；
会用“叠加法”求等差数列的通项公式．
课件10张PPT。 高中数学 必修5问题情境1.等差数列的定义：3．等差数列的函数特征：4．等差数列的通项公式：2.等差中项的定义：函数图象上所有的点在同一条直线上：
d>0,等差数列单调增；d<0,等差数列单调减；
d=0,等差数列为常函数. 如果在 与 中间插入一个数A，使 ，A， 成等差数列，那么A叫做 与 的等差中项. 建构教学已知等差数列 中， 是常数，试求出 的值.想一想公式推广：建构教学合作探讨等差数列 首项为 ，公差为 ，若对任意 ,当 时，
求证：等差数列的一个重要性质应用1.已知等差数列 满足
求 的值.2.已知等差数列 满足，
求此数列的通项公式.例1 已知数列 的前 项和为 ，
求数列 的通项公式，并判断其是否是等差数列. 数学应用判断一个数列是否是等差数列一般用定义法：数学应用例2 梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级.计算中间各级的宽. 数学应用已知等差数列 的首项为 ，公差为 例3（1）将数列 中的每一项都乘以 ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？
（2）将数列 中所有的奇数项按原来的顺序组成新的数列 是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？思考若将数列 中项数成等差数列的项按原来的顺序组成新的数列是等差数列吗？如果是，它的公差是多少？巩固练习课堂小结 ，等.
1.等差数列的几个重要性质.(2)等差数列 满足：当
时， ．2.判断数列是等差数列的方法：
(1)定义法；
(2)等差中项法．(1)课后作业课本P38 习题－1，2，3，4，5，6，7，8．2.3 等差数列的前n项和 优化训练
1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )
A．360 B．370
C．380 D．390
答案：C
2．已知a1＝1，a8＝6，则S8等于( )
A．25 B．26
C．27 D．28
答案：D
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.
解析：由已知?故an＝2n.
答案：2n
4．在等差数列{an}中，已知a5＝14，a7＝20，求S5.
解：d＝＝＝3，
a1＝a5－4d＝14－12＝2，
所以S5＝＝＝40.
一、选择题
1． 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，a3＝3，则S4＝( )
A．12 B．10
C．8 D．6
解析：选C.d＝a3－a2＝2，a1＝－1，
S4＝4a1＋×2＝8.
2．在等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝( )
A．24 B．27
C．29 D．48
解析：选C.由已知
解得∴a10＝2＋9×3＝29.
3．在等差数列{an}中，S10＝120，则a2＋a9＝( )
A．12 B．24
C．36 D．48
解析：选B.S10＝＝5(a2＋a9)＝120.∴a2＋a9＝24.
4．已知等差数列{an}的公差为1，且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝( )
A．99 B．66
C．33 D．0
解析：选B.由a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，
得99a1＋＝99.
∴a1＝－48，∴a3＝a1＋2d＝－46.
又∵{a3n}是以a3为首项，以3为公差的等差数列．
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝33a3＋×3
＝33(48－46)＝66.
5．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
解析：选A.∵a1＋a2＋a3＝34，①
an＋an－1＋an－2＝146，②
又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
∴①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.③
Sn＝＝390.④
将③代入④中得n＝13.
6．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选B.由等差数列前n项和的性质知＝，即＝，∴n＝10.
二、填空题
7．设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a17＝________.
解析：由题意得an＋1－an＝2，
∴{an}是一个首项a1＝－7，公差d＝2的等差数列．
∴a1＋a2＋…＋a17＝S17＝17×(－7)＋×2＝153.
答案：153
8．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝__________.
解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6.①
S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10.②
由①②得a1＝1，d＝.
答案：
9．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.
解析：由等差数列的性质知S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1.
又∵a5＋a12＝a1＋a16＝－9，
∴S16＝＝8(a1＋a16)＝－72.
答案：－72
三、解答题
10．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2－23n－2(n∈N*)．
(1)写出该数列的第3项；
(2)判断74是否在该数列中．
解：(1)a3＝S3－S2＝－18.
(2)n＝1时，a1＝S1＝－24，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－24，
即an＝
由题设得2n－24＝74(n≥2)，解得n＝49.
∴74在该数列中．
11 设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
解：(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
可解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
12．已知数列{an}是等差数列．
(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；
(2)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.
解：(1)由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.
所以a1＋an＝＝22.
因为Sn＝＝286，所以n＝26.
(2)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，
所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.
2.3等差数列的前n项和
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．若动点P的横坐标x、纵坐标y使得lg y，lg|x|，lg成等差数列，则点P所表示的图形是( )
解析：由题意可知2lg|x|＝lg y＋lg，即x2＝y()，整理得2x2＝y2－xy，化简可知(2x－y)(x＋y)＝0，即2x－y＝0或x＋y＝0，且满足
答案：C
2．已知等差数列{an}、{bn}的公差分别为2和3，且bn∈N*，则数列{abn}是( )
A．等差数列且公差为5 B．等差数列且公差为6
C．等差数列且公差为8 D．等差数列且公差为9
解析：依题意有abn＝a1＋(bn－1)×2＝2bn＋a1－2＝2b1＋2(n－1)×3＋a1－2＝6n＋a1＋2b1－8，故abn＋1－abn＝6，即数列{abn}是等差数列且公差为6.故选B.
答案：B
3．(2011·福州模拟)等差数列{an}的前n项为Sn，若a2＋a6＋a7＝18，则S9的值是( )
A．64 B．72
C．54 D．以上都不对
解析：由a2＋a6＋a7＝3a1＋12d＝3a5＝18，得a5＝6.
所以S9＝＝9a5＝54.
答案：C
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＞0，a8＜0，则下列结论正确的是( )
A．S7＜S8 B．S15＜S16
C．S13＞0 D．S15＞0
解析：因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{an}是递减的，且S7最大即Sn≤S7对一切n∈N*恒成立．可见选项A错误；易知a16＜a15＜0，S16＝S15＋a16＜S15，选项B错误；S15＝(a1＋a15)＝15a8＜0，选项D错误；S13＝(a1＋a13)＝13a7＞0.
答案：C
5．数列{an}是等差数列，若＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝( )
A．11 B．17
C．19 D．21
解析：由题意可知，数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11＜a10，又因为＜－1，所以a10＞0，a11＜－a10，由等差数列的性质有a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10＋a10＝a1＋a19＞0，所以Sn取得最小正值时n＝19.
答案：C
6． 将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组，，，则2010位于第( )组．
A．30 B．31
C．32 D．33
解析：因为第n组有2n个正偶数，故前n组共有2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n个正偶数.2010是第1005个正偶数．若n＝31，则n2＋n＝992，而第32组中有偶数64个，992＋64＝1056，故2010在第32组．
答案：C
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7． 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
解析：由S3＝3，S6＝24，得解得所以a9＝a1＋8d＝15.
答案：15
8． 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
第1列
第2列
第3列
…
第1行
第2行
第3行
…
1
2
3
…
2
4
6
…
3
6
9
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
解析：第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.
答案：n2＋n
9．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
解析：在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n＝2得，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．
把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝＝n2－n，
∴an＝n2－n＋33.
∴＝＝n＋－1≥2－1，当且仅当n＝，即n＝时取等号，而n∈N*，
∴等号取不到．
∵5＜＜6，
∴当n＝5时，＝5－1＋＝，当n＝6时，＝6－1＋＝＝，
∵＞，
∴的最小值是.
答案：
三、解答题
10．若数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，a3＝27.
(1)求a1、a2的值；
(2)记bn＝(an＋t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．
解：(1)由a3＝27,27＝2a2＋23＋1得a2＝9，由9＝2a1＋22＋1，得a1＝2.
(2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列．
则2bn＝bn－1＋bn＋1, 即2×(an＋t)＝(an－1＋t)＋(an＋1＋t)，
整理得4an＝4an－1＋an＋1＋t，又4an＝4×＋2an＋2n＋1＋t＋1＝4an＋t－1，
∴t＝1，故存在t＝1，使得数列{bn}为等差数列．
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)S1，S2，…，S12中哪一个值最大？并说明理由．
解：(1)∵S12＞0，S13＜0，
∴即
又a3＝a1＋2d＝12，
∴解得－＜d＜－3.
(2)法一：Sn＝na1＋d(n＝1,2,3，…，12)．
∴Sn＝n(12－2d)＋d
＝[n－(－)]2－.
∵－＜d＜－3，
∴6＜－＜.
∴当n＝6时，Sn有最大值，所以Sn的值最大为S6.
法二：由题意及等差数列的性质可得
∴a7＜0，a6＞0.
∴在数列{an}中，前6项为正，第7项起，以后各项为负，故S6最大．
12． 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为d的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式(用n，d表示)；
(2)设c为实数，对满足m＋n＝3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm＋Sn>cSk都成立．求证：c的最大值为.
解：(1)由题设知，＝＋(n－1)d＝＋(n－1)d，
则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－)(＋)＝2d－3d2＋2d2n.
由2a2＝a1＋a3，得2(2d＋d2)＝a1＋2d＋3d2，解得＝d.
故当n≥2时，an＝2nd2－d2.
又a1＝d2，所以数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)d2.
(2)证明：由＝d及＝＋(n－1)d，得d>0，Sn＝d2n2.
于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，有Sm＋Sn＝(m2＋n2)d2>d2＝d2k2＝Sk.
所以c的最大值cmax≥.
另一方面，任取实数a>.
设k为偶数，令m＝k＋1，n＝k－1，则m，n，k符合条件，且
Sm＋Sn＝d2(m2＋n2)＝d2((k＋1)2＋(k－1)2)
＝d2(9k2＋4)．
于是，只要9k2＋4<2ak2，即当k>时，就有
Sm＋Sn<d2·2ak2＝aSk.
所以满足条件的c≤，从而cmax≤.
因此c的最大值为.
2.2.3 等差数列的前n项和（1）
教学目标：
要求学生掌握等差数列的求和公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题．
教学重点：
掌握等差数列的求和公式．
教学难点：
推导该公式的数学思想方法．
教学方法：
启发、讨论、引导式．
教学过程：
一、问题情境
高斯计算从1一直加到100的和，这里的算法非常高明，回忆他是怎样算的．（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，……，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了．高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果．我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？
二、学生活动
由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义．
提问：你能说出高斯解题的思想方法是什么吗？
三、建构数学
等差数列的前n项和公式；
四、数学运用
1．例题．
例1 已知等差数列﹛an﹜中，a1＝50，a8＝15，求S8．
例2 已知等差数列﹛an﹜中，a13＝0.7，a3＝1.5，求S7．
2．练习．
（1）在等差数列﹛an﹜中，已知 d＝20,n＝37,Sn＝629,求a1及an．
（2）在等差数列﹛an﹜中，①若a2+a5+a12+a15＝36．求S16．②已知a6＝20．求
S11．
（3）求1000以内能被7整除的所有自然数之和．
（4）南北朝《张秋建算经》：今有女子善织布，逐日所织布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？（一匹为四丈）
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．运用从特殊到一般的方法得到了等差数列前n项和公式
；
2．探究过程中得到了一种重要的求和方法：倒序相加法．
课件10张PPT。 高中数学 必修5问题情境忆一忆1.等差数列的通项公式2.等差数列的性质等差数列 满足：当
时，问题情境高斯，(1777—1855） 德国著名数学家.高斯发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？建构教学①②①＋②，得倒序相加法求和建构教学合作探究试一试数学应用例1分析：
（1）要综合利用等差数列的求和公式及通项公式
（2）充分利用等差数列的性质：下标和相等，项之和相等.变式数学应用例2巩固练习3.数列{an}的通项an=4n-1,数列{bn}满足bn=
求数列{bn}的前n项的和。课堂小结 ，等.
课后作业课本P41 练习-1，2，3，4．2.2.3 等差数列的前n项和（2）
教学目标：
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题．
教学重点：
熟练掌握等差数列的求和公式．
教学难点：
灵活应用求和公式解决问题．
教学方法：
启发、讨论、引导式．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：首先回忆一下上一节课所学主要内容：
（1）等差数列的前项和公式1： ．
（2）等差数列的前项和公式2： ．
（3），当d≠0，是一个常数项为零的二次式．
二、学生活动
根据上节课知识讨论对等差数列前项和的最值问题有哪些方法．
三、建构数学
（1）利用：
当>0，d<0，前n项和有最大值．可由≥0，且≤0，求得n的值．
当<0，d>0，前n项和有最小值．可由≤0，且≥0，求得n的值．
（2）利用：由二次函数配方法求得最值时n的值．
四、数学运用
1．例题．
例1 求集合M={m|m=2n－1，n∈N*，且m＜60}的元素个数及这些元素的和．
例2 已知数列是等差数列，是其前n项和．
求证：（1），－，－成等差数列；
（2） （）成等差数列．
2．练习．
（1）一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.
（2）两个数列1, , , ……,, 5和1, , , ……,, 5均为等差数列，公差分别是，，求与的值．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了：等差数列前n项和的最值问题．
课件10张PPT。 高中数学 必修5问题情境忆一忆1．等差数列前 项和公式推导方法：
倒序相加数学应用例1求证： （1） 成等差数列；（2） 成等差数列．例2 已知数列 是等差数列， 是其前 项和数学应用重要结论：数学应用例３数学应用例3一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差 ．一个等差数列的有 项，且首项为 ，公差为 ，
若所有偶数项的和为 ，所有奇数项的和为 ，则若等差数列项数为奇数，你又有哪些结论呢？数学应用例4巩固练习课堂小结2.解决数列问题的常用方法：
基本量方法；
直观化方法（图象）；
等差、等比数列的性质．课外作业课本P44习题7，8，9，10，11，12．
