2.1数列的概念和简单表示法
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知数列，，，，…，则5是数列的( )
A．第18项 B．第19项
C．第17项 D．第20项
解析：∵7－3＝11－7＝15－11＝4，即a－a＝4，
∴a＝3＋(n－1)×4＝4n－1，令4n－1＝75，则n＝19.
答案：B
2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：从图中可观察星星的构成规律，
n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；
n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…
∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
答案：C
3．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3且n∈N*)，则a17＝( )
A．1 B．2
C. D．2－987
解析：由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6为周期重复出现，故a17＝.
答案：C
4．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是( )
A．k＞0 B．k＞－1
C．k＞－2 D．k＞－3
解析：an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，则k＞－(2n＋1)所有的n∈N*都成立，而当n＝1时－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.
答案：D
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为( )
A．{1,2} B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3} D．{1,2,4}
解析：因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，故{an}的通项公式为an＝2n－1.而≤2即2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3，4.
答案：B
6． 数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：令m＝1得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，上述n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，因此＝＝2(－)，所以＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝.
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．已知数列{2n－1·an}的前n项和Sn＝9－6n，则数列{ an}的通项公式是________．
解析：当n＝1时，20·a1＝S1＝3，
∴a1＝3；当n≥2时，
2n－1·an＝Sn－Sn－1＝－6，∴an＝－.
∴通项公式an＝.
答案：an＝
8．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，a2＝2，anan＋1an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，且an＋1an＋2≠1，则a1＋a2＋a3＝________，S2010＝________.
解析：由1×2×a3＝1＋2＋a3，得a3＝3，a1＋a2＋a3＝6.继续依据递推关系得到a4＝1，a5＝2，a6＝3，…，故该数列是周期为3的数列，S2010＝6×＝4020.
答案：6 4020
9． 如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项(如下表所示)，按如此规律下去，则a2009＋a2010＋a2011＝________.
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
解析：a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4等，这个数列的规律是奇数项为1，－1,2，－2,3，－3，…，偶数项为1,2,3，…，故a2009＋a2011＝0，a2010＝1005.
答案：1005
三、解答题
10．已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2＝an＋1，求an.
解：由2＝an＋1，得Sn＝()2，
当n＝1时，a1＝S1＝()2，得a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝()2－()2.
整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∵数列{an}各项为正，∴an＋an－1＞0.
∴an－an－1－2＝0.
∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1.
11．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1＋)an＋，若bn＝，试求数列{bn}的通项公式．
解：由已知得b1＝＝1.将an＋1＝(1＋)an＋的两边同除以n＋1得＝＋，即bn＋1－bn＝，
所以b2－b1＝，b3－b2＝，b4－b3＝，…，bn－bn－1＝，
将以上n－1个式子相加得
bn－b1＝＋＋…＋＝1－，所以bn＝2－.
12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.
(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式．
(2)求n为何值时an最小．
解：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6得，
(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6.
∴bn＋1－bn＝2n－6.
当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6
bn－1－bn－2＝2(n－2)－6
?
b3－b2＝2×2－6
b2－b1＝2×1－6
累加得
bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)
＝n(n－1)－6n＋6
＝n2－7n＋6.
又b1＝a2－a1＝－14，
∴bn＝n2－7n－8(n≥2)，
n＝1时，b1也适合此式，
故bn＝n2－7n－8.
(2)由bn＝(n－8)(n＋1)得
an＋1－an＝(n－8)(n＋1)，
∴当n＜8时，an＋1＜an.
当n＝8时，a9＝a8.
当n＞8时，an＋1＞an.
∴当n＝8或n＝9时，an的值最小．
2.1 数列（1）
教学目标：
1. 了解数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；
2．理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．
教学重点：
1．理解数列的概念；
2．会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．
教学难点：
1．理解数列是一种特殊的函数；
2．会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式.
教学方法：
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：
剧场座位： ，，，，，．．． （1）
彗星出现的年份： ，，，，，．．． （2）
细胞分裂的个数： ，，，，，．．． （3）
“一尺之棰” 每日剩下的部分： 1，，，，，．．． （4）
各年树木的枝干数： 1，，，，，，．．． （5）
我国参加6次奥运会获金牌数： ，，，，，． （6）
2．问题：
这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？
二、学生活动
思考问题，并理解顺序变化对这列数字的影响．
三、建构数学
1．数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．
数列的一般形式可以写成，，，．．．，，．．．，简记为．
2．项：数列中的每个数都叫做这个数列的项．
称为数列的第项（或称为首项），称为第项，．．．，称为第项．
说明：数列的概念和记号与集合概念和记号的区别：
（1）数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；
（2）数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复．
3．有穷数列与无穷数列．
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
4．数列是特殊的函数．
在数列中，对于每一个正整数（或｛1，2，…,k｝），都有一个数与之对应．因此，数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集｛1，2，…,k｝）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（，…）有意义，那么我们可以得到一个数列
，，，…，，…．（强调有序性）
说明：数列的图象是一些离散的点．
5．通项公式．
一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
四、数学运用
例1．已知数列的第项为，写出这个数列的首项、第项和第3项．
例2．已知数列的通项公式，写出这个数列的前项，并作出它的图象：
（1）； （2）．
例3．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1），，5，； （2）2，4，6，8；
（3），，； （4），，，．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．数列的概念；
2．求数列的通项公式的要领．
课件11张PPT。 高中数学 必修5(1)剧场座位: ，…
(2)彗星出现的年份： …
(3)细胞分裂的个数: …
(4)“一尺之棰”每日剩下的部分: …
(5)各年树木的枝干数: …
(6)我国参加次奥运会获金牌数: …
问题情境这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？
数列的一般形式可以写成
， 简记为建构教学数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列． 项：数列中的每个数都叫做这个数列的项． 称为数列 的第1项（或称为首项）， 称为第2项,…
称为第 项．数列的分类：有穷数列：项数有限的数列；
无穷数列：项数无限的数列．数学应用1.数列的概念和记号 与集合概念和记号的区别是什么？ 数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复．2.数列与函数有什么样的关系？想一想 根据数列的有序性，项数与项构成单值对应，所以数列是特殊的函数，定义域是正整数集，数列的函数图象是离散点．建构教学数列的通项公式： 一般地，如果数列 的第 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式就是相应函数的解析式．数学应用例1 已知数列的第 项 为 ，写出这个数列的首项、第2项和第3项． 数学应用例2 已知数列 的通项公式，写出这个数列的前n项，并作出它的图象：（1） ； （2）数学应用例3 写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数： ① 1,3,5,7, ; ②2,4,6,8
③-1,1,-1 ; ④0,2,0,2
⑤ ;
⑥ .
2．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：1．已知数列 通项公式为 ，那么 是它的第 项．3．已知数列 的首项 ，那么巩固练习第n项有n个9……课堂小结1．数列的概念；
2．求数列的通项公式的要领 .课后作业课本P31页练习－1,2,3,4,5.2.1 数列（2）
教学目标：
1. 进一步熟悉数列及其通项公式的概念；
2．掌握数列通项公式的写法．
教学重点：
掌握数列通项公式的写法．
教学难点：
掌握数列通项公式的写法．
教学方法：
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．
教学过程：
一、复习
1. 分别用列表法、图象法表示数列：
我国参加6次奥运会获金牌数: ，，，，，．
2. 若数列{an}的通项公式为an＝2n－3，试写出这个数列的前4项．
3. 已知一个数列的前4项分别为1，2，4，8，试写出这个数列的一个通项公式．
二、例题剖析
例1. 写出下列数列的一个通项公式：
（1）1，4，9，16，… ， （2）-1，3，-5，7，…，
（3），，，，…； （4），，，，…；
（5）1，3，1，3，…； （6）1，1，1，3，1，5，1，7，…．
例2. 判断数列｛2n-1｝的单调性，并说明理由．
例3. 试判断下列各数是否是数列｛5n＋4｝的项，并说明理由：
（1）29； （2）31．
例4. 求数列｛n2+3n-4｝的最小项．
三、巩固练习
1. 用图象法表示数列｛｝（n(5）．
2. an=cos是否是数列｛｝的一个通项公式？请说明理由．
要点归纳与方法小结
1. 数列的表示方法；
2. 写数列通项公式的基本方法；
3．判断数列中项的方法；
4. 函数思想与数列．
课件9张PPT。 高中数学 必修5问题情境（1）数列的概念；
（2）数列的表示方法；
（3）数列的函数特征．忆一忆：复习.1.分别用列表法、图象法表示数列：
我国参加次奥运会获金牌数： 15 ，5，16，16，28，32．
2.若数列{an}的通项公式为an=2n-3，试写出这个数列的前4项．
3.已知一个数列的前4项分别为1，2，4，8，试写出这个数列的一个通项公式．例题剖析例1 写出下列数列的一个通项公式：
（1）1，4，9，16，… ，
（2）-1，3，-5，7，…，
（3）
（4） ；
（5）1，3，1，3，…；
（6）1，1，1，3，1，5，1，7，…． 设 是由连续的正整数构成的集合，若对于 中的每
一个 都有 （或 ），则数列
单调递增（或单调递减）． 建构教学合作探究数列是特殊的函数，怎样判断数列的单调性？例2 判断数列｛2n－1｝的单调性，并说明理由．例3 试判断下列各数是否是数列｛5n＋4｝的项，并说明理由：
（1）29； （2）31．例4 求数列｛n2＋3n－4｝的最小项．练习
1. 用图象法表示数列｛ ｝(n?5)．
2. an=cos 是否是数列｛ ｝的一个通项公式？请说明理由．课后作业课本P32习题2.1－1,2,3,4,5,6．
