山东省菏泽市单县第五中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）

高二年级秋季开学考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足（是虚数），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（ ）
A．四分位数 B．中位数 C．众数 D．均值
3．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭：令上方六尺：问斩高几何？”其意思为：已知方锥（即正四棱锥）下底边长为20尺，高为30尺：现欲从方锥上面截去一段，使之成为方亭（即正四棱台），且使方亭上底边长为8尺（如图所示），则截去小方锥的高为（ ）
A．24尺 B．18尺 C．12尺 D．6尺
4．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出的产品数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．打靶时，甲命中目标的概率为0.8，乙命不中目标的概率为0.3．若两人同时射击，则他们同时命中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，，则（ ）
A．5 B．10 C． D．
7．若平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是底面（含边界）上一动点，满足，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．下列命题中正确的是（ ）
A．如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．分别在两个平行平面内的两条直线互相平行
D．过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行
10．下列命题中正确的是（ ）
A．对任意复数，都有
B．对任意复数，，都有
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则
11．已知，，，，下述四个结论中正确的是（ ）
A． B．四边形为平行四边形
C．与夹角的余弦值为 D．
12．我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产．下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图．
根据该折线图，下述说法错误的是（ ）
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B．在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量
C．第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过80%
D．第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在题后的横线上。
13．数据148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，163的第25百分位数为________；第75百分位数为________．（本题第一空2分，第二空3分．）
14．已知平面向量，，，，，则的值是________．
15．若一组数据，，，…，的方差为4，则，，，…，的标准差为________．
16．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，而，，为圆上的点，，，，分别为以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，四棱锥的外接球的体积为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的值；
（2）若，且与垂直，求与的夹角．
18．（12分）某校在高三年级学生一次数学考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130~140分数段的人数为2人．
（1）请估计一下这组数据的平均数；
（2）现根据考试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成“帮扶学习小组”．若选出的两人成绩之差大于2，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．
19．（12分）如图，在四棱锥中，，，，平面平面，为的中点．
（1）若是线段的中点，求证：平面；
（2）若，，，求证：平面．
20．（12分）的内角，，的对边分别为，，，，，．
（1）求；
（2）设为边上一点，且，求的面积．
21．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（2）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．
22．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：在棱上存在一点，使得平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
高二年级秋季开学数学试题
参考答案
一、单项选择题
1．B 2．D 3．C 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D
二、多项选择题
9．BD 10．CD 11．BCD 12．AB
三、填空题
13．154 14． 15．6 16．
提示：如图，连接，交于点，设，，，重合于点，正方形的边长为，则，．
∵该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，
∴，解得．
设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，则，，，解得．∴外接球的体积．
四、解答题
17．解：（1）因为，且，所以，
解得； 4分
（2）由题意，可知． 6分
因为与垂直，
所以，解得，则， 9分
所以，于是． 10分
18．解：（1）（分）． 3分
（2）设90~140分之间的人数是，由130~140分数段的人数为2人，可知，解得． 5分
依题意，第一组共有（人），记作，，，；第五组共有2人，记作，．从第一组和第五组中任意选出两人，样本空间为{，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，}，共有30个等可能的样本点． 10分
用事件表示“选出的两人为‘黄金搭档组’”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有16个样本点，故． 12分
19．解：（1）取的中点，连接，．∵是的中点，∴．
又，∴．又∵平面，∴平面．
同理可证，平面．而，
∴平面平面，
∴平面． 5分
（2）连接，，，由，为的中点，得．
又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴．
在中，，，∴．
在中，，，∴．
在直角梯形中，可得，
∴，∴．
又∵，∴平面． 12分
20．解：（1）由已知可得，所以．
在中，由余弦定理得，即，
解得（舍去），． 6分
（2）由题设可得，所以．
故．又，
所以． 12分
21．解：用事件表示“第1次和第2次这两次发球，甲共得分”，；表示“第3次和第4次这两次发球，甲共得分”，；表示“第3次发球，甲得1分”；表示“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”；“开始第5次发球时，甲得分领先” 2分．
（1）因为，，，
所以． 6分
（2）因为，，，
，，
所以
． 12分
22．解：（1）在直三棱柱中，∵平面，
∴．
又∵，，
∴平面．
∴平面平面． 4分
（2）取中点，连接，，
∵为的中点，∴．
∵平面，平面，∴平面．
∵，，
∴四边形为平行四边形．
∴，平面．
∴平面．
∵，
∴平面平面，
即存在的中点使得平面平面． 9分
（3）点到底面的距离即为侧棱长．
∵在中，，，，
∴，．
∴． 12分