2022-2023学年 人教版九年级数学上册第21章 一元二次方程 单元测试 (含解析)

第21章一元二次方程单元测试（附解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
总分120分，考试时间120分钟
一、单选题(共10个小题，每小题3分，共30分)
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，第一季度总产值为亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
5．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
6．关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为（　 　）
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0
7．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A． B． C．或3 D．或3
8．已知方程，有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）．
A．ab B． C． D．
9．我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程（2y＋3）2＋2（2y＋3）－3＝0，它的解是（ ）
A．y1＝1，y2＝3 B．y1＝1，y2＝－3 C．y1＝－1，y2＝3 D．y1＝－1，y2＝－3
10．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．48 C．24或 D．
二、填空题(共10个小题，每小题3分，共30分)
11．若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
12．关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为_______．
13．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为________________________．
14．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为___________．
15．已知 －100a＋7＝0以及－100b＋6＝0，且ab≠1，则 的值为__________．
16．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则=_____________．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是__________
18．已知，那么的值是______．
19．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
20．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是______________.
三、解答题(共6个小题，每小题10分，共60分)
21．解方程
(1)2x2+4x+1=0 （配方法） (2)x2+6x=5（公式法）
22．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
23．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
24．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
25．关于x的方程
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根为1，求m的值：
(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长
26．阅读新知：化简后，一般形式为的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如:求解的解．
解：设，则原方程可化为：，解之得
当时，， ∴；
当时 ∴．
综上，原方程的解为：，
（1）通过上述阅读，请你求出方程的解；
（2）判断双二次方程根的情况，下列说法正确的是______（选出正确的答案)．
①当时，原方程一定没有实数根；
②当时，原方程一定有实数根；
③原方程无实数根时，一定有．
第21章一元二次方程单元测试解析
1．
【答案】D
【详解】解：A. ，当时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. 是分式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，化简得，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选D．
2．
【答案】B
【详解】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选B．
3．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
4．
【答案】B
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
5．
【答案】A
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=0，
故选：A．
6．
【答案】B
【详解】解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2－1＝0，
解得：a＝1或a＝－1，
∵a－1≠0，即a≠1，
∴a＝－1，
故选：B．
7．
【答案】A
【详解】解：由题意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴，
故选：A
8．
【答案】C
【详解】∵方程，有一个根是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．
【答案】D
【详解】解：∵方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，
∴方程（2y＋3）2＋2（2y＋3）－3＝0中，2y+3＝1或2y+3＝－3，
解得，，
故选：D．
10．
【答案】C
【详解】解：，
，
或，
所以，，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积，
当第三边长为10时，∵,
∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积．
故选C．
11．
【答案】6
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
12．
【答案】9
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
，， ，
∴Δ=62-4×1×m=0，
解得m=9，
故答案为：9．
13．
【答案】
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
14．
【答案】20%
【详解】解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，
解得，（舍去）
所以，增长率为20%
故答案为：20%
15．
【答案】
【详解】解：∵－100b＋6＝0，
∴，
∵－100a＋7＝0，
∴a、是方程－100x＋7＝0的两个根，
∴由根与系数的关系可知：．
故答案为：．
16．
【答案】-3
【详解】解：∵两个最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴
∴或，
∵两个根式都是最简根式，
∴时，不符合题意，
当a=3时，二次根式有意义且符合题意，
故答案为-3．
17．
【答案】7
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴，
∴x12+x22=，
故答案为：7．
18．
【答案】-5
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：-5．
19．
【答案】3
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴，
故答案为：3．
20．
【答案】3＜m≤4
【详解】解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，
∴①x-2=0，解得x1=2；
②x2-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x2=2+
x3=2-
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x2，
∴x1+x3＞x2；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为3＜m≤4
21．
【答案】(1)；(2)，．
【详解】（1）（1）解：2x2+4x=﹣1，
x2+2x=﹣ ，
x2+2x+1=﹣ +1，即（x+1）2= ，
∴x+1=± ，
则x=﹣1±
∴
（2）解：x2+6x﹣5=0，
∵a=1，b=6，c=﹣5，
∴△=36﹣4×1×（﹣5）=56，
则x= =﹣3
，．
22．
【答案】(1)20%；(2)18个
【【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
23．
【答案】(1)k；(2)k=3
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴ 0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
24．
【答案】(1)每件降价20元；(2)不可能，理由见解析
【详解】（1）解：设每件服装降价x元．
由题意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x1=20，x2=10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x=20；
答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（2）解：不可能，理由如下：
依题意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，
整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
25．
【答案】(1)答案见解析；(2)2；(3)4+
【详解】（1）证明：x2 (m+2)x+(2m 1)=0，
∵a=1，b= (m+2)，c=2m 1，
∴b2 4ac=[ (m+2)]2 4×1×(2m 1)=(m 2)2+4，
∵在实数范围内，m无论取何值，(m 2)2+4>0，
即b2 4ac＞0，
∴关于x的方程x2 (m+2)x+(2m 1)=0恒有两个不相等的实数根；
（2）将x=1代入方程可得：
12 (m+2)+(2m 1)=0，
解得：m=2；
（3）∵m=2，
∴方程为x2 4x+3=0，
解得：x1=1或x2=3，
∴方程的另一个根为x=3；
∴直角三角形的两直角边是1、3，
∵，
∴斜边的长度为，
∴直角三角形的周长为1＋3＋=4＋．
26．
【答案】（1）；（2）①
【详解】（1）设，则原方程可化为：，解之得
当时，，此时原方程无解；
当时 ∴．
综上，原方程的解为：
（2）①当时，原方程一定没有实数根，这是正确的；
②当时，原方程不一定有实数根，如方程x4+3x2+2=0，b2-4ac=32-4×1×2=1>0，此时x2=-1或x2=-2，所以原方程无实数根，故②不正确；
③原方程无实数根时，一定有，由①、②可得说法不正确，
故正确的是①.