2022-2023学年(新RJ·A)必修第一册同步习题
3.2.2 奇偶性
知识梳理
知识点一 函数奇偶性的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性.
注意点：
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质．
(2)判断函数的奇偶性先判断定义域是否关于原点对称，如果 x∈I，都有－x∈I，即定义域关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性；若定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数．
(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数．
知识点二 奇函数、偶函数的图象特征
(1)若一个函数是奇函数，则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
(2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
知识点三 奇偶性应用中常用结论
(1)若函数f(x)是奇函数，且0在定义域内，则必有f(0)＝0.
(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反.
(3)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)为奇函数 b＝0；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数 b＝0；常数函数f(x)＝c(c为常数)为偶函数.
习题精练
选择题
1.奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )
A.(a，f(－a)) B.(－a，f(a)) C.(－a，－f(a)) D.(a，f())
答案：C
解析：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．
2.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
答案：A
解析：∵F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，定义域为R，∴函数F(x)在R上是奇函数．
3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A.y＝x＋1 B.y＝－x2 C.y＝ D.y＝x|x|
答案：D
解析：y＝x＋1不是奇函数；y＝－x2是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数；y＝在(0，＋∞)上是减函数，故A，B，C都错．对于D，实际上，y＝x|x|＝画出图象(图略)，由图象可知，该函数既是奇函数又是增函数．
4.已知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x<0时，有( )
A.f(x)≤2 B.f(x)≥2 C.f(x)≤－2 D.f(x)∈R
答案：B
解析：可画出满足题意的一个f(x)的大致图象如图所示，由图易知当x<0时，有f(x)≥2.故选B.
5.已知函数f(x)满足f(x)·f(－x)＝1，且f(x)>0恒成立，则函数g(x)＝是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
答案：A
解析：∵f(x)·f(－x)＝1，f(x)>0恒成立，∴f(－x)＝>0，∴g(－x)＝＝＝＝－g(x)，∴g(x)是奇函数．
6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
答案：C
解析：用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1.
7.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案：C
解析：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)·g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数.
8．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.(，) B.[，) C.(，) D.[，)
答案：A
解析：∵函数f(x)为偶函数，∴f(2x－1)＝f(|2x－1|)，由题意得|2x－1|<，即－<2x－1<，
解得9.(多选题)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是( )
A.y＝x＋f(x) B.y＝xf(x) C.y＝x2＋f(x) D.y＝x2f(x)
答案：AD
解析：方法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．令y＝g(x)．对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)
＝－x－f(x)＝－g(x)，∴y＝x＋f(x)是奇函数．
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，∴y＝xf(x)是偶函数．
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，∴y＝x2＋f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，∴y＝x2f(x)是奇函数．
方法二：根据奇、偶函数的运算性质可得A项和D项是奇函数，B项是偶函数，利用定义判断C项既不是奇函数也不是偶函数．
10.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式 >0的解集为( )
A.(－3,0)∪(3，＋∞) B.(－3,0)∪(0,3) C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(0,3)
答案：A
解析：因为f(x)为奇函数，f(3)＝0，所以f(－3)＝0.又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增．由＝f(x)>0，①当x>0时，得f(x)>f(3)＝0，所以x>3；②当x<0时，得f(x)>f(－3)＝0，所以－3二、填空题
11.对于函数y＝f(x)，定义域为D∈[－2,2]，以下命题中：①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数；②若对于任意x∈[－2,2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)是D上的奇函数；③若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数；④若f(－2)＝f(2)，则该函数可能是奇函数．正确的是②③④.(填序号)
答案：②③④
解析：①中不满足偶函数定义中的任意性，因此①错误；②中由f(x)＋f(－x)＝0可知f(－x)＝－f(x)，因此f(x)是D上的奇函数，②正确；当f(－2)≠f(2)时，函数f(x)一定不是偶函数，故③正确；④中若满足f(－2)＝f(2)＝0，此时函数可能是奇函数，因此④正确．
12.若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于 .
答案：1
解析：∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴1－a＝0，即a＝1.
13.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝－1，b＝1.
答案：
解析：方法一：当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x.因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以当x>0时，f(x)＝－x2＋x，即ax2＋bx＝－x2＋x，所以a＝－1，b＝1.
方法二：由题意知则所以当a＝－1，b＝1时，经检验知，f(x)为奇函数．
14.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
答案：(－1,3)
解析：∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(|x－1|)>f(2)，∴|x－1|<2，∴－215.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数.若f(－3)＝0，则<0的解集为________________________.
答案：{x|－33}
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，f(x)<0，解得x>3；当x<0时，f(x)>0，解得－3三、解答题
16.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2＋；(2)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|；(3)f(x)＝
解：(1)偶函数．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又因为f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(2)奇函数．定义域为R.
又因为f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|
＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(3)奇函数．画出其图象如图，可见f(x)的定义域为R，且图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数．
17.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴及y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)写出函数f(x)的值域．
解：(1)由f(x)为偶函数可知，其图象关于y轴对称，如图，作出已知图象关于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象．
由图可知，函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在[0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
所以函数f(x)的单调递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)．
(2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由偶函数的性质可得f(x)≥－1，即函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．
18.设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值与最小值.
证明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
又令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.
解：(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，
于是f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＜0，
∴f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在R上是减函数，
∴f(x)的最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝(－3)×(－2)＝6，
最小值为f(3)＝－f(－3)＝－6.
19.函数f(x)＝是定义在(－2,2)上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断并证明f(x)的单调性；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
解：(1)根据题意，得函数f(x)＝是定义在(－2,2)上的奇函数，
则f(0)＝＝0，解得b＝0.
又由f(1)＝，则有f(1)＝＝，解得a＝1.
所以f(x)＝.
(2)f(x)在区间(－2,2)上为增函数．证明如下：
x1，x2∈(－2,2)，且x1又由－20，x1－x2<0，4－x>0,4－x>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，所以函数f(x)在(－2,2)上为增函数．
(3)根据题意f(t－1)＋f(t)<0 f(t－1)<－f(t) f(t－1)解得－1所以不等式的解集为.
3.2.2 奇偶性 1/12022-2023学年(新RJ·A)必修第一册同步习题
3.2.2 奇偶性
知识梳理
知识点一 函数奇偶性的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性.
注意点：
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质．
(2)判断函数的奇偶性先判断定义域是否关于原点对称，如果 x∈I，都有－x∈I，即定义域关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性；若定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数．
(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数．
知识点二 奇函数、偶函数的图象特征
(1)若一个函数是奇函数，则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
(2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
知识点三 奇偶性应用中常用结论
(1)若函数f(x)是奇函数，且0在定义域内，则必有f(0)＝0.
(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反.
(3)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)为奇函数 b＝0；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数 b＝0；常数函数f(x)＝c(c为常数)为偶函数.
习题精练
选择题
1.奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )
A.(a，f(－a)) B.(－a，f(a)) C.(－a，－f(a)) D.(a，f())
2.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A.y＝x＋1 B.y＝－x2 C.y＝ D.y＝x|x|
4.已知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x<0时，有( )
A.f(x)≤2 B.f(x)≥2 C.f(x)≤－2 D.f(x)∈R
5.已知函数f(x)满足f(x)·f(－x)＝1，且f(x)>0恒成立，则函数g(x)＝是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
7.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
8．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.(，) B.[，) C.(，) D.[，)
9.(多选题)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是( )
A.y＝x＋f(x) B.y＝xf(x) C.y＝x2＋f(x) D.y＝x2f(x)
10.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式 >0的解集为( )
A.(－3,0)∪(3，＋∞) B.(－3,0)∪(0,3) C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(0,3)
二、填空题
11.对于函数y＝f(x)，定义域为D∈[－2,2]，以下命题中：①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数；②若对于任意x∈[－2,2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)是D上的奇函数；③若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数；④若f(－2)＝f(2)，则该函数可能是奇函数．正确的是 .(填序号)
答案：②③④
解析：①中不满足偶函数定义中的任意性，因此①错误；②中由f(x)＋f(－x)＝0可知f(－x)＝－f(x)，因此f(x)是D上的奇函数，②正确；当f(－2)≠f(2)时，函数f(x)一定不是偶函数，故③正确；④中若满足f(－2)＝f(2)＝0，此时函数可能是奇函数，因此④正确．
12.若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于 .
答案：1
13.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝－1，b＝1.
14.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
15.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数.若f(－3)＝0，则<0的解集为________________________.
三、解答题
16.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2＋；(2)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|；(3)f(x)＝
17.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴及y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)写出函数f(x)的值域．
18.设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值与最小值.
19.函数f(x)＝是定义在(－2,2)上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断并证明f(x)的单调性；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
3.2.2 奇偶性 1/1
