2022-2023学年苏科版八年级数学上册2.4线段、角的轴对称性 同步测试题(word版含答案)

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》同步测试题（附答案）
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
2．如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）
A．BF＝CF B．∠C＝∠BAD
C．∠BAE＝∠CAE D．S△ABE＝S△ACF
3．如图：已知∠ABC＝∠ACB＝50°，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（　　）
A．∠DCP＝65° B．∠BDC＝40° C．∠DBE＝85° D．∠E＝50°
4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
5．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．60° C．45° D．70°
6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACE的度数为（　　）
A．48° B．50° C．55° D．60°
7．如图，四边形ABCD中，DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC，则以下结论不正确的是（　　）
A．AD＝CD B．∠B＝∠A+∠C
C．∠EDF＝∠ADE+∠CDF D．BE＝BF
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，边AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）
A．35° B．30°
C．25° D．20°
9．到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
二．填空题（共7小题，满分35分）
10．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以点A，C 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于F ，直线FD 交BC 于点E ，连接AE ，若AD＝2.5 ，△ABE 的周长为13，则△ABC 的周长为 　 　．
11．已知：如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若S△ABD＝m，则S△ADC＝　 　（用m的代数式表示）．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝　 　°；
（2）若AE＝3，EC＝1，则△ABC的面积为 　 　．
13．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝1.5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　 　cm．
14．如图，直线L为线段AB的垂直平分线，交AB于M，在直线L上取一点C1，使得MC1＝MB，得到第一个三角形ABC1；在射线MC1上取一点C2，使得C1C2＝BC1；得到第二个三角形△ABC2；在射线MC1上取一点C3，使得C2C3＝BC2，得到第三个三角形△ABC3…依次这样作下去，则第2022个三角形△ABC2022中∠AC2022B的度数为
　 　．
15．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　 　．
16．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC＝60°，则∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分49分）
17．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC．
（1）若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
①求线段BC的长；
②求线段OA的长．
（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
18．如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积．
19．如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．
（1）如图1，当P，Q两点都在射线ON上时，则线段AB与PB的数量关系是 　 　．
（2）如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
20．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
21．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
22．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝80°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠BAC满足什么条件时，AP⊥AQ，说明理由；
（3）在（2）的条件下，BC＝10，求△APQ的周长．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以判断出将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
2．解：∵AF为斜边BC的中线，
∴BF＝CF＝AF，所以A选项不符合题意；
∵AD为斜边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BAD，所以B选项不符合题意；
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，所以C选项不符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABF＝S△ACF，所以D选项符合题意．
故选：D．
3．解：∵∠ACB＝50°，
∴∠ACP＝180°﹣∠ACB＝130°，
∵CD平分∠ACP，
∴∠DCP＝∠ACP＝×130°＝65°，所以A选项不符合题意；
∵∠ABC＝50°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝×50°＝25°，
∵∠DCP＝∠BDC+∠DBC，
∴∠BDC＝∠DCP﹣∠DBC＝65°﹣25°＝40°，所以B选项不符合题意；
∵∠CBM+∠ABC＝180°，
∴∠CBM＝180°﹣50°＝130°，
∵BE平分∠MBC，
∴∠CBE＝∠CBM＝65°，
∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝25°+65°＝90°，所以C选项符合题意；
∵∠BCE＝∠DCP＝65°，
∴∠E＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣65°﹣65°＝50°，所以D选项不符合题意．
故选：C．
4．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB OD）：（OE BC）：（OF AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4：5．
故选：D．
5．解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．
故选：B．
6．解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠CBD＝∠ABD＝24°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣48°＝72°，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠CBD＝24°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝72°﹣24°＝48°，
故选：A．
7．解：连接BD，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∴AD＝DC，
故A不符合题意；
B、∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＝∠A+∠C，
故B不符合题意；
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∵BD＝DC，DF⊥BC，
∴∠BDF＝∠CDF，
∵∠EDF＝∠BDE+∠BDF，
∴∠EDF＝∠ADE+∠CDF，
故C不符合题意；
∵AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，AB≠BC，
∴BE≠BF，
故D符合题意；
故选：D．
8．解：∵DE垂直平分AB，
∴EB＝EA，
∴∠B＝∠EAB，
∵GF垂直平分AC，
∴GA＝GC，
∴∠C＝∠GAC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∵∠EAB+∠GAC＝∠BAC+∠GAE＝∠B+∠C，
∴80°+∠GAE＝100°，
∴∠GAE＝20°．
故选：D．
9．解：到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的三条角平分线的交点，
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分35分）
10．解：∵点D 是AC 的中点，
∴AC＝2AD＝5，
由题意得：
ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ABE 的周长为13，
∴AB+BE+AE＝13，
∴AB+BE+EC＝13，
∴AB+BC＝13，
∴△ABC 的周长＝AB+BC+AC＝13+5＝18，
故答案为：18．
11．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴S△ADC：S△ADB＝ AC DF：（ AB DE），
∴S△ADC：m＝4：5，
∴S△ADC＝m．
故答案为：m．
12．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB
∴∠ABE＝∠A＝35°，
∴∠CBE＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20；
（2）∵AE＝3，EC＝1，
∴AC＝EC+EA＝3+1＝4，BE＝AE＝3，
∴BC＝2，
∴S△ABC＝×4×2＝4，
故答案为：4．
13．解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH＝PD＝1.5cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为PH的值，即1.5cm．
故答案为：1.5．
14．解：由于直线L为线段AB的垂直平分线，
∴C1A＝C1B，C2A＝C2B，C3A＝C3B，…
∵C1C2＝BC1，
∴C1C2＝BC1＝AC1，
∴∠C1C2A＝∠C1AC2＝∠AC1M，∠C1C2B＝∠C1BC2＝∠BC1M，
∴∠AC2B＝∠AC1B，
同理，∴∠AC3B＝∠AC2B＝×∠AC1B，
∴∠AC4B＝∠AC3B＝××∠AC1B，
∴∠AC5B＝∠AC4B＝×××∠AC1B，…
∴∠AC2022B＝（）2021∠AC1B
＝，
故答案为：．
15．解：∵BF＝2EF．S△DEF＝2，
∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6，
∵点E为AD的中点，
∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12，
∵S△ABC＝21，
∴S△ACD＝21﹣12＝9，
过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DM＝DN，
∴＝＝＝＝，
则AB：AC＝4：3，
故答案为：4：3．
16．解：∵直线l为BC的中垂线，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵直线m为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBC，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，
∵∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+∠BAC+∠ACP＝180°，
∴3∠ABP+60°+24°＝180°，
∴∠ABP＝32°，
故答案为：32°．
三．解答题（共6小题，满分49分）
17．解：（1）①∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；
②∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝16cm，
∴OA＝OB＝OC＝5cm；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°．
18．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AG⊥EF，EG＝FG，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
∵DE＝3，
∴DF＝3，
∵AB+AC＝10，
∴△ABC的面积＝
＝
＝15．
19．解：（1）AB＝PB．
理由：如图1中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO＝BQ，
∴∠BOQ＝∠BQO，
∵OF平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BQO，
∵OA＝PQ，
∴△AOB≌△PQB（SAS），
∴AB＝PB，
故答案为：AB＝PB．
（2）存在，
理由：如图2中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO＝BQ，
∴∠BOQ＝∠BQO，
∵OF平分∠MON，∠BOQ＝∠FON，
∴∠AOF＝∠FON＝∠BQC，
∴∠BQP＝∠AOB，
∵OA＝PQ，
∴△AOB≌△PQB（SAS），
∴AB＝PB．
20．解：如图：
点C即为所求作的点．
21．（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∵AP是∠DAC的平分线，
∴DP＝EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中，，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），
∴BD＝CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴AD＝AE，
∵AB＝6cm，AC＝10cm，
∴6+AD＝10﹣AE，
即6+AD＝10﹣AD，
解得AD＝2cm．
22．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°；
（2）如图，
∵AP⊥AQ，
∴∠PAQ＝90°，
由（1）得，∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∠BAP+∠CAQ＝∠BAC﹣90°，
∴180°﹣∠BAC＝∠BAC﹣90°，
∴∠BAC＝135°；
答：当∠BAC＝135°时，AP⊥AQ；
（3）∵△APQ周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝BC，
∵BC＝10，
∴△APQ周长＝10．