2022-2023学年湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程单元综合测试题（含解析）

2022-2023学年湘教版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣y+1＝0 C．x2＝0 D．+x＝2
2．方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6
3．配方法解方程x2+8x+7＝0，则方程可化为（　　）
A．（x﹣4）2＝9 B．（x+4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝16
4．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（　　）
A．1 B．1或2 C．2 D．±1
5．若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　）
A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．0
7．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．6 B．8 C．14 D．16
8．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．已知关于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是　 　．
10．已知关于x的一元二次方程3（x﹣1）（x﹣m）＝0的两个根是1和2，则m的值是　 　．
11．已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1 x2＝　 　，（x1﹣1）（x2﹣1）＝　 　，x1﹣x2＝　 　．
12．若x1＝是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，则a＝　 　，该方程的另一个根x2＝　 　．
13．x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣　 　．
14．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，那么a2+b2＝　 　．
15．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程　 　．
16．已知关于x的方程ax2+bx+1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0的两根之和为　 　．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．解下列方程
（1）x2+6x﹣1＝0
（2）（2x+3）2﹣25＝0．
18．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
19．如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个1m宽的门．
（1）所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为80m2？
（2）为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用．
20．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
21．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．
22．某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：
（1）当x＞40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；
（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；
（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：
A、方程二次项系数可能为0，故错误；
B、方程含有两个未知数，故错误；
C、符合一元二次方程的定义，正确；
D、不是整式方程，故错误．
故选：C．
2．解：方程2x2＝3（x﹣6），
去括号，得2x2＝3x﹣18，
整理，得2x2﹣3x+18＝0，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18，
故选：B．
3．解：方程移项得：x2+8x＝﹣7，
配方得：x2+8x+16＝9，即（x+4）2＝9．
故选：B．
4．解：由题意，得
m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，
解得m＝2，
故选：C．
5．解：由题意可知：Δ＞0，
∴1﹣4（﹣a+）＞0，
解得：a＞1
故满足条件的最小整数a的值是2，
故选：D．
6．解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20，
当x＝5时，代数式的最小值为﹣20，
故选：B．
7．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5
∴原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝4+10
＝14
故选：C．
8．解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，此时有x2﹣6x+8＝0，
解得x＝4或x＝2，∵2+4＝6＞4，能构成等腰三角形，
∴k＝6符合题意；
当m＝n时，
即Δ＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，此时有x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∵3+3＝6＞4，能构成等腰三角形，
∴k＝7符合题意．
综上所述，k的值等于6或7，故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：∵（x+1）2+m＝0，
∴（x+1）2＝﹣m，
∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解
∴﹣m≥0，
∴m≤0．
故答案为m≤0．
10．解：∵3（x﹣1）（x﹣m）＝0，
∴x﹣1＝0，x﹣m＝0，
∴x1＝1，x2＝m，
∵关于x的一元二次方程3（x﹣1）（x﹣m）＝0的两个根是1和2，
∴m＝2，
故答案为：2．
11．解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣1﹣3+1＝﹣3，
x1﹣x2＝±＝±＝±．
故答案为：3，﹣1，﹣3，±．
12．解：设方程的另一个根为x2，
∵x1＝是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，
∴x1 x2＝1，即（）x2＝1，
∴x2＝﹣，
∴x1+x2＝﹣a，即﹣＝﹣a，解得a＝4，
故答案为4，﹣．
13．解：x2﹣4x+1
＝x2﹣4x+4﹣3
＝（x﹣2）2﹣3，
故答案为3，
14．解：设a2+b2＝t（t≥0），则t（t﹣2）＝8，
整理，得
（t﹣4）（t+2）＝0，
解得t＝4或t＝﹣2（舍去），
则a2+b2＝4．
故答案是：4．
15．解：设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78．
16．解：设x+1＝t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1＝0，
由题意可知：t1＝1，t2＝2，
∴t1+t2＝3，
∴x3+x4+2＝3
故答案为：1
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．解：（1）x2+6x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝62﹣4×1×（﹣1）＝40，
x＝，
则x1＝﹣3﹣，x2＝﹣3+；
（2）（2x+3）2﹣25＝0，
（2x+3）2＝25，
2x+3＝±5，
2x＝±5﹣3，
x1＝1 x2＝﹣4．
18．（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，
原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，
解得：m1＝4，m2＝6．
故m的值为4或6．
19．解：（1）设矩形猪舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形猪舍的另一边长为（26﹣2x）m．
依题意，得x（26﹣2x）＝80，
解得x1＝5，x2＝8．
当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），
当x＝8时，26﹣2x＝10＜12．
答：矩形猪舍的长为10m，宽为8m．
（2）若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，
则26﹣2x＝12，解得x＝7，
∴垂直于房墙的一边长为7m，
∴矩形猪舍的面积为：12×7＝84（m2），
∴矩形猪舍硬底化的造价为：84×60＝5040（元）．
答：矩形猪舍硬底化的造价是5040元．
20．解：设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（200﹣10×）个，
依题意，得：（1+x）（200﹣10×）＝480，
化简，得：x2﹣9x+14＝0，
解得：x1＝2，x2＝7．
又∵要让顾客得到实惠，
∴x＝2．
答：应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．
21．解：（1）设xs后，△PBQ的面积等于4cm2．
此时，AQ＝xcm，QB＝（5﹣x）cm，BP＝2xcm．
由BP BQ＝4，得（5﹣x）2x＝4．
即x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4．
当x＝1时，BQ＝4，BP＝2，△PBQ的面积等于4cm2；
当x＝4时，BQ＝1，BP＝8＞4（舍去）．
故P、Q分别从A、B两点出发经过1s时△PBQ的面积等于4cm2；
（2）仿（1）得（5﹣x）2x＝7．
整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，
所以，此方程无解．
所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．
22．解：（1）由题意得：当x＞40时，每台学习机的售价为（单位：元）：
800﹣5（x﹣40）＝﹣5x+1000；
（2）设图中直线解析式为：y＝kx+b，
把（0，700）和（50，600）代入得：，
解得：，
直线解析式为：y＝﹣2x+700，
当x＝60时，进价为：y＝﹣2×60+700＝580，售价为：800﹣5×（60﹣40）＝700，
则每台学习机可以获利：700﹣580＝120（元）；
（3）当x＞40时，每台学习机的利润是：（﹣5x+1000）﹣（﹣2x+700）＝﹣3x+300，
则x（﹣3x+300）＝4800，
解得：x1＝80，x2＝20（舍），
当x≤40时，每台学习机的利润是：800﹣（﹣2x+700）＝2x+100，
则x（2x+100）＝4800，
解得：x1＝30，x2＝﹣80（舍），
答：则该商店可能购进并销售学习机80台或30台．