2022-2023学年华东师大版九年级数学上册第22章一元二次方程 单元综合测试题(word版含答案)

2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《第22章一元二次方程》
单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．关于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m值为（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．m≥0且m≠2
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝7 D．（x+4）2＝19
3．如果关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0
C．k＜﹣ D．k＞﹣ 且k≠0
4．若关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2
5．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
6．三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则三角形的周长为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a＝c，且方程ax2﹣bx+c＝0的两根的差的绝对值等于，则△ABC中最大角的度数是（　　）
A．150° B．120° C．90° D．60°
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值是　 　．
10．将一元二次方程x2﹣3x+1＝0变形为（x+h）2＝k的形式为　 　．
11．方程（x+4）（x﹣5）＝1的根为　 　．
12．已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝　 　．
13．已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式m3+2m2+2020＝　 　．
14．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，则这三个数分别为 　 　．
15．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 　 　m．
16．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，则饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为 　 　米．
三．解答题（共6小题，满分48分）
17．解方程
（1）2（3x﹣2）2﹣32＝0
（2）（3x﹣1）（x+2）＝11x﹣3．
18．已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
19．已知关于x的方程
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
21．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
22．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，
∴|m|＝2且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2；
故选：C．
2．解：x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，
（x﹣2）2＝7，
故选：B．
3．解：根据题意知[﹣（2k+1）]2﹣4k×k＞0且k≠0，
解得：k且k≠0．
故选：D．
4．解：解方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）得，x＝﹣h±，
∵此方程解是x1＝﹣3，x2＝2，
∴﹣h﹣＝﹣3，﹣h+＝2，
∵方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x＝3﹣h±，
∴x1＝3﹣3＝0，x2＝3+2＝5，
故选：B．
5．解：∵m为方程x2﹣2021x+1＝0的根，
∴m2﹣2021m+1＝0，
∴m2＝2021m﹣1，
∴原式＝2021m﹣1﹣
＝﹣1，
∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为m、n，
∴mn＝1，
∴原式＝﹣1
＝0﹣1
＝﹣1．
故选：B．
6．解：解方程x2﹣12x+35＝0，得x1＝5，x2＝7，即第三边的边长为5或7．
∵1＜第三边的边长＜7，
∴第三边的边长为5．
∴这个三角形的周长是3+4+5＝12．
故选：A．
7．解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：1+x+x2＝57，
整理得：x2+x﹣56＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合题意，舍去），
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
故选：B．
8．解：设x1、x2是ax2﹣bx+c＝0的两根，则x1+x2＝
x1x2＝＝1，
∵x1﹣x2的绝对值等于，
∴|x1﹣x2|＝，
解以上方程组：（x1+x2）2﹣4x1x2＝2，
解得：b＝a，
∵b＞a＝c，
∴是等腰三角形b为底，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠B＝120度，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：根据题意得：m2﹣1＝0，
解得：m＝1或m＝﹣1，
当m＝1时，方程为2x＝0，不合题意，
则m的值为﹣1，
故答案为：﹣1
10．解：x2﹣3x+1＝0，
x2﹣3x＝﹣1，
x2﹣3x+（）2＝﹣1+（）2，
（x﹣）2＝，
故答案为：（x﹣）2＝．
11．解：（x+4）（x﹣5）＝1，
整理得：x2﹣x﹣21＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣21）＝85，
x＝，
x1＝，x2＝，
故答案为：x1＝，x2＝．
12．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
13．解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴m3+2m+2020＝m（m2+m）+m2+2020＝1+2020＝2021．
故答案为：2021．
14．解：设最小的偶数为x，根据题意得（x+4）2＝x2+（x+2）2，解得x＝6或﹣2．
当x＝6时，x+2＝8，x+4＝10；
当x＝﹣2时，x+2＝0，x+4＝2
因此这三个数分别为6，8，10或﹣2，0，2．
故答案为6，8，10或﹣2，0，2．
15．解：∵长减少2m，菜地就变成正方形，
∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米，
根据题意得：x（x﹣2）＝120，
解得：x＝12或x＝﹣10（舍去），
故答案为：12．
16．解：设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米，则饲养场另一边BC＝（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x米＝（45+3）﹣3x＝（48﹣3x）（米），
根据题意得：x（48﹣3x）＝180，
解得x1＝6，x2＝10，
0≤48﹣3x≤27，0≤x≤15，
∴7≤x≤15，
∴x＝10，
答：饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为10米，
故答案为：10．
三．解答题（共6小题，满分48分）
17．解：（1）2（3x﹣2）2﹣32＝0，
2（3x﹣2）2＝32，
（3x﹣2）2＝16，
3x﹣2＝±4，即3x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4，
解得：x＝2或x＝﹣；
（2）原方程整理可得：3x2﹣6x+1＝0，
∵a＝3，b＝﹣6，c＝1，
∴b2﹣4ac＝24＞0，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝．
18．解：由一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，得
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4k＞0，
解得k＜4；
（2）由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0，得
x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，
当x＝1时，把x＝1代入x2+mx﹣1＝0，得1+m﹣1＝0，解得m＝0，
当x＝3时，把x＝3代入x2+mx﹣1＝0，得9+3m﹣1＝0，解得m＝﹣，
综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，．
19．解：（1）∵a＝，b＝﹣（m﹣2），c＝m2方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2＝﹣4m+4＝0，
∴m＝1．
原方程化为：x2+x+1＝0 x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣2．
（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
∵x1+x2＝﹣＝4m﹣8，x1x2＝＝4m2
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（4m﹣8）2﹣2×4m2＝8m2﹣64m+64＝224，
即：8m2﹣64m﹣160＝0，
解得：m1＝10，m2＝﹣2（不合题意，舍去），
又∵m1＝10时，Δ＝﹣4m+4＝﹣36＜0，此时方程无实数根，
∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
20．（1）证明：
∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，
∴Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：△ABC为等腰三角形，
∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，
①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，
∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，
当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，
∴三角形的三边长为4、6、6，
当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，
∴三角形的三边长为6、6、10，
②当b＝c时，则方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
还可采取以下方法：
由x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0得到（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0，
解得x＝2k或k+1，
当a＝b＝2k＝6时，则a＝b＝6，k＝3，此时，三角形的边长为6，6，4；
当a＝c＝k+1＝6时，则a＝c＝6，k＝5，则x＝2k＝10＝b，此时，三角形的边长为6，6，10；
当b＝c时，即2k＝k+1，解得k＝1，则b＝c＝2，此时，三角形的边长，2，2，6（构不成三角形，舍去）
∴综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
21．解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍去）．
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）仿（1）得（5﹣x）2x＝7．
整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，
所以，此方程无解．
所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．
22．解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）件，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．