2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4 圆周角》 同步练习（含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠C＝40°，则∠OBA的度数是（　　）
A．60° B．50° C．45° D．40°
2．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是（　　）
A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2
3．下列语句中，正确的是（　　）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．相等的圆周角所对的弧相等
C．相等的弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于弦
4．如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC的度数是（　　）
A．16° B．20° C．24° D．32°
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，若∠C＝124°，则∠B的度数为（　　）
A．56° B．68° C．72° D．78°
6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝30°，半径为2，则弦CD的长为（　　）
A．2 B．﹣1 C． D．4
7．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（　　）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　）
A．92° B．108° C．112° D．124°
9．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（　　）
A．+ B．2+ C．4 D．2+2
10．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE．若AD＝2OD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，半径为5的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A的优弧上一点，∠OBC＝30°，则点C的坐标为（　　）
A．（0，5） B．（0，5） C．（0，） D．（0，）
12．在半径为3cm的⊙O中，若弦AB＝3cm，则弦AB所对的圆周角的度数为（　　）
A．30° B．45° C．30°或150° D．45°或135°
二．填空题
13．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，则∠D的度数是　 　．
14．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝　 　．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠DCB＝　 　，∠F＝　 　．
16．如图，直线l与⊙O相交于点B、D，点A、C是直线l两侧的圆弧上的动点，若⊙O的半径为1，∠A＝30°，那么四边形ABCD的面积的最大值是　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在第二象限⊙M上，且∠AOC＝60°，则OC＝　 　．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，则DF的长为　 　．
三．解答题
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　 　°；∠DAC＝　 　°
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
20．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC∥OD；
（2）若OE＝4，求AC的长．
21．如图，以P（0，3）为圆心，6为半径的⊙P交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，连接BP并延长交⊙P于点E，连接DE交x轴于点F．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求△BEF的面积．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．
（1）若BE＝8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB为直径画⊙O交AC于点D，E是线段AB上的动点，延长DE交⊙O于F点，连接AF．
（1）如图1，求∠F的度数；
（2）如图2，当AE＝AD时，求∠DFO的度数．
25．如图，∠BAO＝90°，AB＝8，动点P在射线AO上，以PA为半径的半圆P交射线AO于另一点C，CD∥BP交半圆P于另一点D，BE∥AO交射线PD于点E，EF⊥AO于点F，连接BD，设AP＝m．
（1）求证：∠BDP＝90°．
（2）若m＝4，求BE的长．
（3）在点P的整个运动过程中，当AF＝3CF时，求出所有符合条件的m的值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°．
故选：B．
2．解：∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：3：1：2．
故选：C．
3．解：A、长度相等的两条弧不一定为等弧，所以A选项错误；
B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以B选项错误；
C、相等的弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；
D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以D选项错误．
故选：C．
4．解：∵∠ABD是所对的圆周角，
∴∠ABD＝∠AOD＝×128°＝64°，
∵∠ABD是△BDE的外角，
∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°，
故选：C．
5．解：∵∠C＝124°，
∴∠A＝180°﹣124°＝56°，
∴∠BOD＝2∠A＝112°，
∵OD∥BC，
∴∠CDO＝180°﹣124°＝56°，
∴∠B＝360°﹣124°﹣56°﹣112°＝68°．
故选：B．
6．解：∵∠BOC＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD，∠OCE＝30°，
∵半径OC＝2，
∴OE＝OC＝1，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝2．
故选：C．
7．解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵＝3，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE＝22.5°，
∵点H是AG的中点，∠ACB＝90°，
∴AH＝CH＝HG，
∴∠CAH＝∠ACE＝22.5°，
∵∠CAF＝∠CBF，
∴∠CBF＝22.5°，
故选：C．
8．解：解法一、连接OD，
∵＝，
∴∠DOC＝∠EOC，
∵∠ACB＝90°，∠A＝54°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝36°，
∴∠DOC＝2∠B＝72°，
∴∠EOC＝∠DOC＝72°，
∵OE⊥EF，
∴∠OEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠OEF﹣∠BCF﹣∠EOC＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°；
解法二、∵∠ACB＝90°，∠A＝54°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝36°，
∵＝，
∴∠COE＝2∠B＝72°，
∵OE⊥EF，
∴∠OEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠OEF﹣∠BCF﹣∠EOC＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°；
故选：B．
9．解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE+OE＝2+，
∴点C的纵坐标为2+，
故选：B．
10．解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．
∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有，，，
∴AC＝CD＝DE，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
∵AD＝2OD，
∴AH＝DH＝OD＝a，
在Rt△OCH中，CH＝＝＝a，
在Rt△ACH中，AC＝＝＝a，
∴＝＝＝，
故选：D．
11．解：连接CA，OA，
∵∠OBC＝30°，
∴∠CAO＝60°，
又∵CA＝AO，
∴△CAO是等边三角形，
∴CO＝AO＝5，
∴点C的坐标为：（0，5）．
故选：A．
12．解：如图所示，
连接OA，OB，
则OA＝OB＝3cm，
∵AB＝3cm，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，
∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，
故选：D．
二．填空题
13．解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CBA＝70°，
∴∠A＝20°，
∴∠D＝∠A＝20°．
故答案为20°．
14．解：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠DAB＝∠BOC＝50°，
∵OA＝OD
∴∠AOD＝180°﹣2∠DAB＝80°，
∴∠ACD＝∠AOD＝40°
故答案为40°
15．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠DCB＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠DCB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠CBF是△ABE的外角，∠A＝50°，∠E＝45°，
∴∠CBF＝∠A+∠E＝95°，
∴∠F＝∠DCB﹣∠CBF＝35°，
故答案为：130°；35°．
16．解：当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD所对弧的中点，
∴AC为⊙O的直径，如图，
∴AC⊥BD，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝30°，
在Rt△OBH中，BH＝OB＝，
∴S△ABC＝ BH AC＝×2×＝，
∴四边形ABCD的面积＝2×＝1，
∴四边形ABCD的面积的最大值为1．
故答案为1．
17．解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC＝a．
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴AB＝＝＝2，
∵∠AMC＝2∠AOC＝120°，
∴AC＝AM＝，
在Rt△COH中，OH＝a，CH＝OH＝a，
∴AH＝4﹣a，
在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，
∴15＝（4﹣a）2+（a）2，
∴a＝2+或2﹣（因为OC＞OB，所以2﹣舍弃），
∴OC＝2+．
故答案为：2+．
18．解：连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AB＝AD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ACD＝BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴DF＝5﹣5，
故答案为：5﹣5．
三．解答题
19．（1）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°；
∵AC⊥BD，
∴∠CBD＝90°﹣∠ACB＝20°，
∴∠DAC＝∠DBC＝20°；
故答案为：110，20；
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴，
设BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．
20．（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠OAC＝2∠OAD．
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠OAC，
∴AC∥OD．
（2）解：作OF⊥AC于点F，如图所示：
则AF＝AC，
∵AC∥OD，
∴∠DOE＝∠OAF．
在△DOE和△OAF中，，
∴△DOE≌△OAF（AAS），
∴OE＝AF＝AC，
∴AC＝2OE＝8．
21．解：（1）∵P（0，3），
∴OP＝3，
∵⊙P的半径是6，
∴PB＝6，
∴OP＝PB，
∵x轴⊥y轴，
∴∠POB＝90°，
∴∠PBO＝30°，
∴∠BPO＝90°﹣30°＝60°，
∵PE＝PD，∠E+∠CDE＝∠BPO，
∴∠CDE＝∠E＝60°＝30°；
（2）连接PF，
∵∠PBO＝∠E＝30°，
∴BF＝EF，
∵PE＝PB＝6，
∴PF⊥BE，
即∠EPF＝90°，
∴EF＝2PF，
由勾股定理得：PE2+PF2＝EF2，
即62+PF2＝（2PF）2，
解得：PF＝2，
EF＝BF＝4，
∴△BEF的面积是＝＝12．
22．（1）证明：连接AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
而AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）连接DE，如图，
∵BE＝CE＝3，
∴BC＝6，
∵∠BED＝∠BAC，
而∠DBE＝∠CBA，
∴BA＝9，
∴AC＝BA＝9．
23．解：（1）设⊙O的半径长为r，
则OD＝r，OE＝r﹣8，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，
∴DE＝12，
∴OD2＝OE2+DE2，
即r2＝（r﹣8）2+122，
解得，r＝13，
即⊙O的半径是13；
（2）连接BC，
∵∠DMB＝∠D，∠DMB＝∠DCB，
∴∠D＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，
∴CE＝DE＝12，∠CEB＝∠DEO，
∴△CEB≌△DEO（ASA），
∴OE＝BE＝0.5OB，
设⊙O的半径长为r，
则r2＝122+（0.5r）2，
解得，r＝或r＝﹣8（舍去），
∴OE＝4．
24．解：（1）如图1，连接OD，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠F＝∠AOD＝40°；
（2）如图2，连接OD，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝50°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠ODF＝∠ADE﹣∠ODA＝65°﹣50°＝15°，
∵OF＝OD，
∴∠DFO＝∠FDO＝15°．
25．解：（1）如图1，∵PA＝PC＝PD，
∴∠PDC＝∠PCD，
∵CD∥BP，
∴∠BPA＝∠PCD、∠BPD＝∠PDC，
∴∠BPA＝∠BPD，
∵BP＝BP，
∴△BAP≌△BDP（SAS），
∴∠BDP＝∠BAP＝90°．
（2）∵∠BAO＝90°，BE∥AO，
∴∠ABE＝∠BAO＝90°，
∵EF⊥AO，
∴∠EFA＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
设BE＝AF＝x，则PF＝x﹣4，
∵∠BDP＝90°，
∴∠BDE＝90°＝∠PFE，
∵BE∥AO，
∴∠BED＝∠EPF，
∵△BAP≌△BDP，
∴BD＝BA＝EF＝8，
∴△BDE≌△EFP，
∴PE＝BE＝x，
在Rt△PFE中，PF2+FE2＝PE2，即（x﹣4）2+82＝x2，
解得：x＝10，
∴BE的长为10．
（3）如图1，当点C在AF的左侧时，
∵AF＝3CF，则AC＝2CF，
∴CF＝AP＝PC＝m，
∴PF＝2m，PE＝BE＝AF＝3m，
在Rt△PEF中，由PF2+EF2＝PE2可得（2m）2+82＝（3m）2，
解得：m＝（负值舍去）；
如图2，当点C在AF的右侧时，
∵AF＝3CF，
∴AC＝4CF，
∴CF＝AP＝PC＝m，
∴PF＝m﹣m＝m，PE＝BE＝AF＝m+m＝m，
在Rt△PEF中，由PF2+EF2＝PE2可得（m）2+82＝（m）2，
解得：m＝4（负值舍去）；
综上，m的值为或4．