北师大版七年级数学上册2.9 有理数的乘方同步练习（含解析）

2.9 有理数的乘方（提升卷）-北师大版数学七年级上册（带答案）
一．选择题
1．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣（﹣3）和|﹣3| B．（﹣1）3和﹣13 C．﹣3和2 D．﹣5和﹣（﹣5）
．现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10%或涨价10%，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（　　）
A．（）3 B．（）4 C．（）5 D．（）6
．若|a+2|+（b﹣3）2＝0，则ab的值为（　　）
A．2 B．﹣8 C．8 D．3
．若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则（a+b）2015的值是（　　）
A．1 B．0 C．2015 D．﹣1
．如图，数轴上有A，B两点，其中点A表示的数为45，下列数中最接近点B表示的数为（　　）
A．2×45 B．2×46 C．47 D．2×47
．﹣33的结果是（　　）
A．+9 B．﹣9 C．±9 D．﹣27
．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
．已知（a+2）2+|b﹣3|＝0，则ab的值等于（　　）
A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣9
．已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则下列式子值最小是（　　）
A．a+b B．a﹣b C．ba D．ab
．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是63，则m的值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题
11．若|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，则ab的值为　 　．
12．已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2017＝　 　．
13．将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到15条折痕，如果对折n次，可以得到　 　条折痕．
14．一列数：1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…，其中某三个相邻数的和是﹣1701，则这三个数中最大的数是　 　．
15．若（3x﹣y+5）2+|2x﹣y+3|＝0，则x+y＝　 　．
三．解答题
16．阅读下列各式：（a×b）2＝a2×b2，（a×b）3＝a3×b3，（a×b）4＝a4×b4，（a×b）5＝a5×b5…回答下列三个问题：
（1）猜想：（a×b）n＝　 　．
（2）请用我们学过的知识说明上式成立的理由．
（3）请计算：（﹣0.125）2019×22018×42017
17．如果一个正整数能写成a2+3b2的形式（其中a、b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22+3×12，31＝22+3×32．
（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；
（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．
18．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个．
（1）一个细菌在分裂n次后，数量变为　 　个．
（2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有　 　个细菌．
（3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？
19．拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如下面的草图所示：
这样，
（1）第4次捏合后可拉出　 　根细面条；
（2）第　 　次捏合后可拉出256根细面条．
20．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力，据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株（不考虑死亡、被打捞等其他因素）
（1）假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表：
天数 5 10 15 … 50 … 5n
总株数 2 4 … …
（2）假定某个流域的水葫芦维持在1 280株以内对水质净化有益，若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1 280株水葫芦？
参考答案与试题解析
一．选择题
．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣（﹣3）和|﹣3| B．（﹣1）3和﹣13 C．﹣3和2 D．﹣5和﹣（﹣5）
【解答】解：A，﹣（﹣3）和|﹣3|都为3，不符合题意．
B，（﹣1）3和﹣13都为﹣1，不符合题意．
C，﹣3与2不符合题意．
D，﹣5和﹣（﹣5）符合题意．
故选：D．
．现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10%或涨价10%，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（　　）
A．（）3 B．（）4 C．（）5 D．（）6
【解答】解：设6种商品最初的价格为a，
则n天（其中有m天降价，n﹣m天涨价）后商品的价格为a（1﹣10%）m（1+10）n﹣m＝（）m（）n﹣ma，
∴6种商品的价格可表示为：
①（）m（）n﹣ma，
②（）m+1（）n﹣m﹣1a，
③（）m+2（）n﹣m﹣2a，
④（）m+3（）n﹣m﹣3a，
⑤（）m+4（）n﹣m﹣4a，
⑥（）m+5（）n﹣m﹣5a，
设最高价格和最低价格的比值为r，
∴r的最小值为，
故选：C．
．若|a+2|+（b﹣3）2＝0，则ab的值为（　　）
A．2 B．﹣8 C．8 D．3
【解答】解：由题意得：a+2＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝﹣2，b＝3，
∴ab＝﹣8，
故选：B．
．若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则（a+b）2015的值是（　　）
A．1 B．0 C．2015 D．﹣1
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，
解得，a＝2，b＝﹣3，
则（a+b）2015，＝﹣1，
故选：D．
．如图，数轴上有A，B两点，其中点A表示的数为45，下列数中最接近点B表示的数为（　　）
A．2×45 B．2×46 C．47 D．2×47
【解答】解：观察数轴上A，B两点的距离发现：
OB大约等于8个AO，
因为（2×46）÷45＝8．
所以最接近点B表示的数为2×46．
故选：B．
．﹣33的结果是（　　）
A．+9 B．﹣9 C．±9 D．﹣27
【解答】解：﹣33＝﹣3×3×3＝﹣27．
故选：D．
．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
【解答】解：由（2n+1）3﹣（2n﹣1）3＝24n2+2≤2019，可得n2≤，
∵和谐数为正整数，
∴0≤n≤9，
则在不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为13﹣（﹣1）3+33﹣13+53﹣33+…+193﹣173＝193﹣（﹣1）3＝6860．
故选：B．
．已知（a+2）2+|b﹣3|＝0，则ab的值等于（　　）
A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣9
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
所以，ab＝（﹣2）3＝﹣8．
故选：C．
．已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则下列式子值最小是（　　）
A．a+b B．a﹣b C．ba D．ab
【解答】解：根据题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以，a+b＝2+（﹣3）＝﹣1，
a﹣b＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5，
ba＝（﹣3）2＝9，
ab＝2×（﹣3）＝﹣6，
所以值最小的是﹣6．
故选：D．
．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是63，则m的值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：根据题意得：83＝512＝57+59+61+63+65+67+69+71，
则m＝8，
故选：D．
二．填空题
．若|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，则ab的值为　8　．
【解答】解：∵|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝2，b＝3，
则ab的值为：23＝8．
故答案为：8．
．已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2017＝　﹣1　．
【解答】解：由题意得，2x﹣4＝0，x+2y﹣8＝0，
解得x＝2，y＝3，
所以，（x﹣y）2017＝（2﹣3）2017＝﹣1．
故答案为：﹣1．
．将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到15条折痕，如果对折n次，可以得到　2n﹣1　条折痕．
【解答】解：根据题意可知，
第1次对折，折痕为1；
第2次对折，折痕为1+2；
第3次对折，折痕为1+2+22；
第n次对折，折痕为1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
．一列数：1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…，其中某三个相邻数的和是﹣1701，则这三个数中最大的数是　729　．
【解答】解：设最小的数为（﹣3）n，
则（﹣3）n+（﹣3）n+1+（﹣3）n+2＝﹣1701，
解得（﹣3）n＝﹣243＝（﹣3）5，
所以这三个数分别是（﹣3）5，（﹣3）6，（﹣3）7．
则这三个数中最大的数是（﹣3）6＝729．
．若（3x﹣y+5）2+|2x﹣y+3|＝0，则x+y＝　﹣3　．
【解答】解：∵（3x﹣y+5）2+|2x﹣y+3|＝0，∴3x﹣y+5＝0，2x﹣y+3＝0，∴x＝﹣2，y＝﹣1．∴x+y＝﹣3．
三．解答题
．阅读下列各式：（a×b）2＝a2×b2，（a×b）3＝a3×b3，（a×b）4＝a4×b4，（a×b）5＝a5×b5…回答下列三个问题：
（1）猜想：（a×b）n＝　an×bn　．
（2）请用我们学过的知识说明上式成立的理由．
（3）请计算：（﹣0.125）2019×22018×42017
【解答】解：（1）猜想：（a×b）n＝an×bn．
故答案是：an×bn．
（2）理由：
（3）
．如果一个正整数能写成a2+3b2的形式（其中a、b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22+3×12，31＝22+3×32．
（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；
（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．
【解答】证明：（1）∵28＝12+3×32＝28，
217＝132+3×42＝217，
∴28和217都是婆罗摩笈多数．
（2）设一个婆罗摩笈多数为x＝a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y＝c2+3d2，
xy＝（a2+3b2） （c2+3d2）
＝a2c2+3a2d2+3b2c2+9b2d2
＝（ac）2+（3bd）2+6abcd﹣6abcd+3a2d2+3b2c2
＝（ac+bd）2+3（ad﹣bc）2
因此，任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．
．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个．
（1）一个细菌在分裂n次后，数量变为　2n　个．
（2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有　32000　个细菌．
（3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？
【解答】解：（1）一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个，
故答案为：2n；
（2）1小时后，盘子里有1000×25＝32000个细菌，
故答案为：32000；
（3）两个小时后的数量是1小时后的＝25＝32倍．
．拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如下面的草图所示：
这样，
（1）第4次捏合后可拉出　16　根细面条；
（2）第　8　次捏合后可拉出256根细面条．
【解答】解：（1）由图可知，第1次捏合为2根，
第2次捏合可拉出4根，
第3次捏合可拉出8根，
第4次捏合可拉出24根，即16根；
（2）第n次捏合可拉出2n根，
2n＝256，
解得n＝8．
故答案为：16，8．
．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力，据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株（不考虑死亡、被打捞等其他因素）
（1）假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表：
天数 5 10 15 … 50 … 5n
总株数 2 4 … …
（2）假定某个流域的水葫芦维持在1 280株以内对水质净化有益，若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1 280株水葫芦？
【解答】解：（1）分别填入：23，210，2n；
（2）根据题意得，10×2n＝1280，
解得n＝7，
7×5＝35（天）．
答：按照上述生长速度，35天时有1 280株水葫芦．