2022-2023学年人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定 题型分类练习题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定 题型分类练习题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 424.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-21 19:03:35 | ||
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文档简介
2022-2023学年人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》题型分类练习题（附答案）
一．全等三角形的判定
1．如图三角形纸片被遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形，他画图的依据是（ ）
A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
2．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，若∠1＝∠2可得△ABC≌△ADE，则判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
3．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，下列条件中，能使△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AF＝CE C．AD∥BC D．DF∥BE
4．如图AC＝AD，∠CAD＝∠BAE，不能判断△ABC≌△AED的是（ ）
A．DE＝CB B．∠C＝∠D C．AB＝AE D．∠B＝∠E
5．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，△ABP和△DCE全等．
二．直角三角形全等的判定
7．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．两条直角边对应相等
C．一个锐角和斜边对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
三．全等三角形的判定与性质
8．如图，点D是△ABC内一点，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，则以下结论①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD平分∠ABC；④BD与AC的位置关系是互相垂直，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，7） B．（﹣1，5） C．（﹣2，6） D．（﹣2，7）
10．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A点坐标为（0，4），B点坐标为（﹣3，0），则C点的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣4） D．（1，﹣4）
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，已知EF＝EB＝6，S△AEF＝24，则CF的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
12．已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．
13．如图，CA⊥AB于点A，AB＝4，AC＝2，射线BM⊥AB于点B，一动点D从点A出发以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，E为射线BM上一动点，随着点D的运动而运动，且始终保持ED＝BC，若点D运动t秒（t＞0），△EDB与△BCA全等，则t的值为 ．
14．如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△BCP的面积为 cm2．
15．△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是中线，过C的直线CG⊥AD于E，交AB于F，∠FBG＝45°．
求证：（1）△ACD≌△CBG；
（2）∠ADC＝∠FDB．
16．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．
（1）求证：∠B与∠AHD互补；
（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．
17．如图，在△ABC和ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB．
求证：（1）△ABD≌△ACE；
（2）DF＝CE．
18．两块大小不等的等腰直角三角板如图①所示拼在一起，图②是由它抽象出来的几何图形，点A、C、E在同一直线上，连接AB、BE．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得出现未标识的字母）；
（2）求证：AD⊥BE．
19．先阅读下面材料，再解答所提出的问题
老师在给同学们作已知角的平分线：
已知：∠AOB．
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．
作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧交OA于点M，交OB于点N（如图）；
②分别以M、N为圆心，都以大于MN长为半径画弧，两弧交于点C；
③作射线OC．
则射线OC就是∠AOB的平分线．
根据老师的作法，想一想，射线OC为什么是∠AOB的平分线，请你运用学过的知识给以证明．
20．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC；点Q在CE上，CQ＝AB．
（1）判断AP与AQ之间的数量与位置关系；
（2）证明你的结论．
21．如图①，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：
（1）在图②中，BD与CE的数量关系是 ；
（2）在图③中，猜想AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．
22．如图，点G．H分别是正六边形ABCDEF的边BC．CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P．
（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
23．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．
24．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是 ．
25．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．
26．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
四．全等三角形的应用
27．如图，把一个三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点A、B、C分别槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论．
参考答案
一．全等三角形的判定
1．解：他画图的依据是ASA，即有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，
故选：C．
2．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵AE＝AC，∠C＝∠E，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
故选：B．
3．解：A、∵AD＝BC，DF＝BE，∠A＝∠C，
∴△ADF与△CBE不一定全等，
故A不符合题意；
B、∵AD＝BC，DF＝BE，AF＝CE，
∴△ADF≌△CBE（SSS），
故B符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AD＝BC，DF＝BE，
∴△ADF与△CBE不一定全等，
故C不符合题意；
D、∵DF∥EB，
∴∠DFA＝∠BEC，
∵AD＝BC，DF＝BE，
∴△ADF与△CBE不一定全等，
故D不符合题意；
故选：B．
4．解：∵∠CAD＝∠BAE，
∴∠CAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAE，
又∵AC＝AD，
∴当DE＝CB时，不能判断△ABC≌△AED，故选项A符合题意；
当∠C＝∠D时，△ABC≌△AED（ASA），故选项B不符合题意；
当AB＝AE时，△ABC≌△AED（SAS），故选项C不符合题意；
当∠B＝∠E时，△ABC≌△AED（AAS），故选项D不符合题意；
故选：A．
5．解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD＝DE，A′D′＝D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC，
同理：B′E′＝A′C′，
∴BE＝B′E′，AE＝A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′，
∴∠CAD＝∠C′A′D′，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故选：A．
6．解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，
根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
所以t＝1，
因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
二．直角三角形全等的判定
7．解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意；
D、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意．
故选：A．
三．全等三角形的判定与性质
8．解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
故①正确；
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
故②错误；
∵△ABD≌△CBD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
故③正确；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故④正确；
故其中正确的有①③④，
故选：B．
9．解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥AE于F，
∵点A的坐标为（3，4），
∴AE＝4，OE＝3，
∵四边形OABC是正方形，
∴BA＝OA，∠BAO＝90°，
∵AE⊥OE，BF⊥AE，
∴∠BFA＝∠AEO＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝90°＝∠OAE+∠BAF，
∴∠BAF＝∠AOE，
在△AOE和△BAF中，
，
∴△AOE≌△BAF（AAS），
∴OE＝AF＝3，BF＝AE＝4，
∴EF＝7，
∴点B的坐标为（﹣1，7），
故选：A．
10．解：过C点作CE⊥x轴于E，
∵A点坐标为（0，4），B点坐标为（﹣3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
又∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴CE＝OB＝3，BE＝O4，
∴C点坐标为（4﹣3，﹣3），
即C（1，﹣3）．
故选：A．
11．解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴S△AEF＝×AE×EF＝3AE＝24，
∴AE＝8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECB，
∴△BEC≌△FEA（AAS），
∴AE＝CE＝8，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣6＝2，
故选：B．
12．证明：如图，延长FE到G，使EG＝EF，连接CG．
在△DEF和△CEG中，
∵，
∴△DEF≌△CEG．
∴DF＝GC，∠DFE＝∠G．
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝∠BAE．
∵DF＝AC，
∴GC＝AC．
∴∠G＝∠CAE．
∴∠BAE＝∠CAE．
即AE平分∠BAC．
13．解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，
∴∠CAB＝∠DBE＝90°，
又∵ED＝BC，
∴△EDB与△BCA全等，分情况讨论：
∵点D运动t秒（t＞0），
当点D运动到点B时，可得2t＝4，
解得t＝2，
此时不能构成△BDE，故t≠2，
①△ABC≌△BED，
则BD＝AC，
∵AB＝4，AC＝2，
当0＜t＜2时，BD＝4﹣2t，
∴4﹣2t＝2，
解得t＝1，
当t＞2时，BD＝2t﹣4，
∴2t﹣4＝2，
解得t＝3；
②△ABC≌△BDE，
则BD＝AB，
当0＜t＜2时，4﹣2t＝4，
解得t＝0（舍），
当t＞2时，2t﹣4＝4，
解得t＝4，
综上，满足条件的t＝1或3或4，
故答案为：1或3或4．
14．解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，
又∵BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
∴△ABP≌△BEP（ASA），
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝5cm2，
故答案为：5．
15．证明：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，又∠FBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBA+∠FBG＝90°，
∵CG⊥AD，
∴∠GCB+∠CDA＝90°，又∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠GCB＝∠CAD，
在△ACD和△CBG中，
，
∴△ACD≌△CBG（ASA）；
（2）∵△ACD≌△CBG，
∴CD＝BG，∠ADC＝∠CGB，
又D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴BG＝BD，
在△BGF和△BDF中，
，
∴△BGF≌△BDF（SAS），
∴∠CGB＝∠BDF，
∴∠ADC＝∠BDF．
16．证明：（1）在AB上取一点M，使得AM＝AH，连接DM，
∵，
∴△AHD≌△AMD，
∴HD＝MD，∠AHD＝∠AMD，
∵HD＝DB，
∴DB＝MD，
∴∠DMB＝∠B，
∵∠AMD+∠DMB＝180°，
∴∠AHD+∠B＝180°，
即∠B与∠AHD互补．
（2）由（1）∠AHD＝∠AMD，HD＝MD，∠AHD+∠B＝180°，
∵∠B+2∠DGA＝180°，∠AHD＝2∠DGA，
∴∠AMD＝2∠DGM，
又∵∠AMD＝∠DGM+∠GDM，
∴2∠DGM＝∠DGM+∠GDM，即∠DGM＝∠GDM，
∴MD＝MG，
∴HD＝MG，
∵AG＝AM+MG，
∴AG＝AH+HD．
17．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）证明：∵△BAD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠ABC＝∠C＝∠DBA，
即∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝CE．
18．（1）△ADC≌△BCE，
证明：∵等腰直角三角形ACB和△DCE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，
在△ADC和△BEC中
，
∴△ADC≌△BEC．
（2）证明：延长AD交BE于F，
由（1）知：△ADC≌△BEC，
∴∠DAC＝∠EBC，
∵∠ACD＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，
∵∠BDF＝∠ADC，
∴∠EBC+∠BDF＝90°，
∴∠BFD＝180°﹣（∠EBC+∠BDF）＝90°，
∴AD⊥BE．
19．解：连接MC，连接NC
有作图可知：OM＝ON，MC＝NC．…（4分）
于是 在△MOC和△NOC中
∵
∴△MOC≌△NOC
∴∠AOC＝∠BOC 即射线OC平分∠AOB …（12分）
20．（1）猜想：AP⊥AQ且AP＝AQ；
（2）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠1+∠BAC＝90°，∠2+∠BAC＝90°，
∴∠1＝∠2．
在△ABP与△QCA中，
，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP＝AQ，∠P＝∠QAC，
又∵∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，即AP⊥AQ，
∴AP⊥AQ且AP＝AQ．
21．解：（1）BD＝CE，故答案为：BD＝CE；
（2）AM＝AN，∠MAN＝∠BAC，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵DM＝BD，EN＝CE，
∴BM＝CN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM＝AN，
∴∠BAM＝∠CAN，即∠MAN＝∠BAC．
22．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，
在△ABG与△BCH中，
∴△ABG≌△BCH（SAS）；
（2）由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG＝∠HBC，
∴∠BPG＝∠ABG＝120°，
∴∠APH＝∠BPG＝120°．
23．证明：（1）延长AO交CD的延长线于E．
∵∠D＝∠ABD＝90°，
∴∠CDB+∠ABD＝90°，
∴AB∥CE，
∴∠BAO＝∠E，
在△ABO和△EDO中，
，
∴△ABO≌△EDO，
∴AO＝OE，AB＝DE，
∵AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，
∴CA＝CE，∵OA＝OE，
∴OC平分∠ACD．
（2）∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠E＝∠BAE，
∴∠CAO＝∠OAB，
∴OA平分∠CAB，
∵CA＝CE，OA＝OE，
∴CO⊥AO．
24．解：∵四边形ACDF是正方形，
∴AC＝AF，∠CAF＝90°，
∴∠EAC+∠FAB＝90°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠AFB+∠FAB＝90°，
∴∠EAC＝∠AFB，
在△CAE和△AFB中，
，
∴△CAE≌△AFB，
∴EC＝AB＝4，
∴阴影部分的面积＝×AB×CE＝8，
故答案为：8．
25．解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．
（2）BC+CD＝CE．
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD；
26．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
四．全等三角形的应用
27．解：AD＝BE，AD⊥BE．
理由如下：
∵∠D＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBC＝90°
∴∠BAD＝∠EBC；
又∵AB＝BC，∠D＝∠E；
∴△ABD≌△BCE（AAS）；
∴AD＝BE，AD⊥BE．
一．全等三角形的判定
1．如图三角形纸片被遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形，他画图的依据是（ ）
A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
2．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，若∠1＝∠2可得△ABC≌△ADE，则判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
3．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，下列条件中，能使△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AF＝CE C．AD∥BC D．DF∥BE
4．如图AC＝AD，∠CAD＝∠BAE，不能判断△ABC≌△AED的是（ ）
A．DE＝CB B．∠C＝∠D C．AB＝AE D．∠B＝∠E
5．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，△ABP和△DCE全等．
二．直角三角形全等的判定
7．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．两条直角边对应相等
C．一个锐角和斜边对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
三．全等三角形的判定与性质
8．如图，点D是△ABC内一点，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，则以下结论①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD平分∠ABC；④BD与AC的位置关系是互相垂直，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，7） B．（﹣1，5） C．（﹣2，6） D．（﹣2，7）
10．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A点坐标为（0，4），B点坐标为（﹣3，0），则C点的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣4） D．（1，﹣4）
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，已知EF＝EB＝6，S△AEF＝24，则CF的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
12．已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．
13．如图，CA⊥AB于点A，AB＝4，AC＝2，射线BM⊥AB于点B，一动点D从点A出发以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，E为射线BM上一动点，随着点D的运动而运动，且始终保持ED＝BC，若点D运动t秒（t＞0），△EDB与△BCA全等，则t的值为 ．
14．如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△BCP的面积为 cm2．
15．△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是中线，过C的直线CG⊥AD于E，交AB于F，∠FBG＝45°．
求证：（1）△ACD≌△CBG；
（2）∠ADC＝∠FDB．
16．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．
（1）求证：∠B与∠AHD互补；
（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．
17．如图，在△ABC和ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB．
求证：（1）△ABD≌△ACE；
（2）DF＝CE．
18．两块大小不等的等腰直角三角板如图①所示拼在一起，图②是由它抽象出来的几何图形，点A、C、E在同一直线上，连接AB、BE．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得出现未标识的字母）；
（2）求证：AD⊥BE．
19．先阅读下面材料，再解答所提出的问题
老师在给同学们作已知角的平分线：
已知：∠AOB．
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．
作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧交OA于点M，交OB于点N（如图）；
②分别以M、N为圆心，都以大于MN长为半径画弧，两弧交于点C；
③作射线OC．
则射线OC就是∠AOB的平分线．
根据老师的作法，想一想，射线OC为什么是∠AOB的平分线，请你运用学过的知识给以证明．
20．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC；点Q在CE上，CQ＝AB．
（1）判断AP与AQ之间的数量与位置关系；
（2）证明你的结论．
21．如图①，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：
（1）在图②中，BD与CE的数量关系是 ；
（2）在图③中，猜想AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．
22．如图，点G．H分别是正六边形ABCDEF的边BC．CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P．
（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
23．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．
24．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是 ．
25．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．
26．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
四．全等三角形的应用
27．如图，把一个三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点A、B、C分别槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论．
参考答案
一．全等三角形的判定
1．解：他画图的依据是ASA，即有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，
故选：C．
2．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵AE＝AC，∠C＝∠E，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
故选：B．
3．解：A、∵AD＝BC，DF＝BE，∠A＝∠C，
∴△ADF与△CBE不一定全等，
故A不符合题意；
B、∵AD＝BC，DF＝BE，AF＝CE，
∴△ADF≌△CBE（SSS），
故B符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AD＝BC，DF＝BE，
∴△ADF与△CBE不一定全等，
故C不符合题意；
D、∵DF∥EB，
∴∠DFA＝∠BEC，
∵AD＝BC，DF＝BE，
∴△ADF与△CBE不一定全等，
故D不符合题意；
故选：B．
4．解：∵∠CAD＝∠BAE，
∴∠CAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAE，
又∵AC＝AD，
∴当DE＝CB时，不能判断△ABC≌△AED，故选项A符合题意；
当∠C＝∠D时，△ABC≌△AED（ASA），故选项B不符合题意；
当AB＝AE时，△ABC≌△AED（SAS），故选项C不符合题意；
当∠B＝∠E时，△ABC≌△AED（AAS），故选项D不符合题意；
故选：A．
5．解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD＝DE，A′D′＝D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC，
同理：B′E′＝A′C′，
∴BE＝B′E′，AE＝A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′，
∴∠CAD＝∠C′A′D′，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故选：A．
6．解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，
根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
所以t＝1，
因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
二．直角三角形全等的判定
7．解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意；
D、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意．
故选：A．
三．全等三角形的判定与性质
8．解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
故①正确；
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
故②错误；
∵△ABD≌△CBD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
故③正确；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故④正确；
故其中正确的有①③④，
故选：B．
9．解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥AE于F，
∵点A的坐标为（3，4），
∴AE＝4，OE＝3，
∵四边形OABC是正方形，
∴BA＝OA，∠BAO＝90°，
∵AE⊥OE，BF⊥AE，
∴∠BFA＝∠AEO＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝90°＝∠OAE+∠BAF，
∴∠BAF＝∠AOE，
在△AOE和△BAF中，
，
∴△AOE≌△BAF（AAS），
∴OE＝AF＝3，BF＝AE＝4，
∴EF＝7，
∴点B的坐标为（﹣1，7），
故选：A．
10．解：过C点作CE⊥x轴于E，
∵A点坐标为（0，4），B点坐标为（﹣3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
又∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴CE＝OB＝3，BE＝O4，
∴C点坐标为（4﹣3，﹣3），
即C（1，﹣3）．
故选：A．
11．解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴S△AEF＝×AE×EF＝3AE＝24，
∴AE＝8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECB，
∴△BEC≌△FEA（AAS），
∴AE＝CE＝8，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣6＝2，
故选：B．
12．证明：如图，延长FE到G，使EG＝EF，连接CG．
在△DEF和△CEG中，
∵，
∴△DEF≌△CEG．
∴DF＝GC，∠DFE＝∠G．
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝∠BAE．
∵DF＝AC，
∴GC＝AC．
∴∠G＝∠CAE．
∴∠BAE＝∠CAE．
即AE平分∠BAC．
13．解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，
∴∠CAB＝∠DBE＝90°，
又∵ED＝BC，
∴△EDB与△BCA全等，分情况讨论：
∵点D运动t秒（t＞0），
当点D运动到点B时，可得2t＝4，
解得t＝2，
此时不能构成△BDE，故t≠2，
①△ABC≌△BED，
则BD＝AC，
∵AB＝4，AC＝2，
当0＜t＜2时，BD＝4﹣2t，
∴4﹣2t＝2，
解得t＝1，
当t＞2时，BD＝2t﹣4，
∴2t﹣4＝2，
解得t＝3；
②△ABC≌△BDE，
则BD＝AB，
当0＜t＜2时，4﹣2t＝4，
解得t＝0（舍），
当t＞2时，2t﹣4＝4，
解得t＝4，
综上，满足条件的t＝1或3或4，
故答案为：1或3或4．
14．解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，
又∵BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
∴△ABP≌△BEP（ASA），
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝5cm2，
故答案为：5．
15．证明：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，又∠FBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBA+∠FBG＝90°，
∵CG⊥AD，
∴∠GCB+∠CDA＝90°，又∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠GCB＝∠CAD，
在△ACD和△CBG中，
，
∴△ACD≌△CBG（ASA）；
（2）∵△ACD≌△CBG，
∴CD＝BG，∠ADC＝∠CGB，
又D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴BG＝BD，
在△BGF和△BDF中，
，
∴△BGF≌△BDF（SAS），
∴∠CGB＝∠BDF，
∴∠ADC＝∠BDF．
16．证明：（1）在AB上取一点M，使得AM＝AH，连接DM，
∵，
∴△AHD≌△AMD，
∴HD＝MD，∠AHD＝∠AMD，
∵HD＝DB，
∴DB＝MD，
∴∠DMB＝∠B，
∵∠AMD+∠DMB＝180°，
∴∠AHD+∠B＝180°，
即∠B与∠AHD互补．
（2）由（1）∠AHD＝∠AMD，HD＝MD，∠AHD+∠B＝180°，
∵∠B+2∠DGA＝180°，∠AHD＝2∠DGA，
∴∠AMD＝2∠DGM，
又∵∠AMD＝∠DGM+∠GDM，
∴2∠DGM＝∠DGM+∠GDM，即∠DGM＝∠GDM，
∴MD＝MG，
∴HD＝MG，
∵AG＝AM+MG，
∴AG＝AH+HD．
17．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）证明：∵△BAD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠ABC＝∠C＝∠DBA，
即∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝CE．
18．（1）△ADC≌△BCE，
证明：∵等腰直角三角形ACB和△DCE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，
在△ADC和△BEC中
，
∴△ADC≌△BEC．
（2）证明：延长AD交BE于F，
由（1）知：△ADC≌△BEC，
∴∠DAC＝∠EBC，
∵∠ACD＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，
∵∠BDF＝∠ADC，
∴∠EBC+∠BDF＝90°，
∴∠BFD＝180°﹣（∠EBC+∠BDF）＝90°，
∴AD⊥BE．
19．解：连接MC，连接NC
有作图可知：OM＝ON，MC＝NC．…（4分）
于是 在△MOC和△NOC中
∵
∴△MOC≌△NOC
∴∠AOC＝∠BOC 即射线OC平分∠AOB …（12分）
20．（1）猜想：AP⊥AQ且AP＝AQ；
（2）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠1+∠BAC＝90°，∠2+∠BAC＝90°，
∴∠1＝∠2．
在△ABP与△QCA中，
，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP＝AQ，∠P＝∠QAC，
又∵∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，即AP⊥AQ，
∴AP⊥AQ且AP＝AQ．
21．解：（1）BD＝CE，故答案为：BD＝CE；
（2）AM＝AN，∠MAN＝∠BAC，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵DM＝BD，EN＝CE，
∴BM＝CN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM＝AN，
∴∠BAM＝∠CAN，即∠MAN＝∠BAC．
22．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，
在△ABG与△BCH中，
∴△ABG≌△BCH（SAS）；
（2）由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG＝∠HBC，
∴∠BPG＝∠ABG＝120°，
∴∠APH＝∠BPG＝120°．
23．证明：（1）延长AO交CD的延长线于E．
∵∠D＝∠ABD＝90°，
∴∠CDB+∠ABD＝90°，
∴AB∥CE，
∴∠BAO＝∠E，
在△ABO和△EDO中，
，
∴△ABO≌△EDO，
∴AO＝OE，AB＝DE，
∵AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，
∴CA＝CE，∵OA＝OE，
∴OC平分∠ACD．
（2）∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠E＝∠BAE，
∴∠CAO＝∠OAB，
∴OA平分∠CAB，
∵CA＝CE，OA＝OE，
∴CO⊥AO．
24．解：∵四边形ACDF是正方形，
∴AC＝AF，∠CAF＝90°，
∴∠EAC+∠FAB＝90°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠AFB+∠FAB＝90°，
∴∠EAC＝∠AFB，
在△CAE和△AFB中，
，
∴△CAE≌△AFB，
∴EC＝AB＝4，
∴阴影部分的面积＝×AB×CE＝8，
故答案为：8．
25．解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．
（2）BC+CD＝CE．
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD；
26．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
四．全等三角形的应用
27．解：AD＝BE，AD⊥BE．
理由如下：
∵∠D＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBC＝90°
∴∠BAD＝∠EBC；
又∵AB＝BC，∠D＝∠E；
∴△ABD≌△BCE（AAS）；
∴AD＝BE，AD⊥BE．