2022-2023学年人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质 同步练习题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质 同步练习题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 220.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-21 18:05:13 | ||
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文档简介
2022-2023学年人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝3，则△BCE的面积为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
2．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC 的三条中线的交点
B．△ABC 三边的垂直平分线的交点
C．△ABC 三条角平分线的交点
D．△ABC 三条高所在直线的交点
3．下列作图语句错误的个数是（ ）
①以点O为圆心作弧；②延长射线OM到点A；③延长线段AB到C，使BC＝AB；④过三点A，B，C作直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA D．连接A、B两点
5．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
7．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB＝5cm，AC＝12，则△APC的面积是（ ）
A．30cm2 B．40cm2 C．50cm2 D．60cm2
8．下列作图语句正确的是（ ）
A．过点P作线段AB的中垂线
B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝BC
C．过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b
D．过点P作直线AB的垂线
9．用一把带有刻度的直角尺，（1）可以画出两条平行线；（2）可以画出一个角的平分线；（3）可以确定一个圆的圆心．以上三个判断中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．下列关于几何画图的语句，正确的是（ ）
A．延长射线AB到点C，使BC＝2AB
B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上
C．将射线OA绕点O旋转180°，终止位置OB与起始位置OA形成平角
D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB＝a，BC＝b，则线段AC＝a+b
11．如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ＝PQ，PR＝PS．下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对
12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝，则△BCE的面积等于（ ）
A．3 B． C． D．15
二．填空题
13．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是 ．
14．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BOC＝ ．
15．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝ ．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为 ．
三．解答题
17．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
18．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．
求证：OC是∠AOB的平分线．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE＝5cm，∠CAD＝32°，求CD的长度及∠B的度数．
20．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB＝AD，BC＝DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．
求证：CE＝CF．
参考答案
一．选择题
1．解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝3，
∵BC＝10，
∴△BCE的面积为＝15，
故选：B．
2．解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC 三条角平分线的交点．
故选：C．
3．解：以点O为圆心，OA为半径作弧，所以①错误；
延长线段OM到点A，所以②错误；
延长线段AB到C，使BC＝AB；所以③正确；
过点A，B作直线，所以④错误．
故选：C．
4．解：A、射线OP无限长，所以A选项不符合题意；
B、量出A、B点的距离，所以B选项不符合题意；
C、射线OA不需要延长，只能反向延长射线OA，所以C选项不符合题意；
D、用直尺可以连接A、B两点，所以D选项符合题意．
故选：D．
5．解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝3，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴×6×3+×AC×3＝15，
∴AC＝4．
故选：A．
6．解：如图，过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，
∵OP是∠AOB的平分线，P到OB的距离是2，
∴PC＝PD＝2，
∵OE＝4，
∴S△OPE＝OE PC＝．
故选：C．
7．解：过P作PD⊥AC于D，
∵点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，
∴PD＝PB＝5cm，
∴S△APC＝AC PD＝12×5＝30cm2，
故选：A．
8．解：A、只有过线段中点的垂线才叫中垂线，P是任意一点，错误；
B、应为在线段AB的延长线上取一点C，使BC＝AB，错误；
C、a和b的位置不一定是平行，错误．
D、正确．
故选：D．
9．解：（1）任意画出一条直线，在直线的同旁作出两条垂线段，并且这两条垂线段相等．过这两条垂线段的另一端点画直线，与已知直线平行，正确；
（2）可先在这个角的两边量出相等的两条线段长，过这两条线段的端点向角的内部作垂线，过角的顶点和两垂线的交点的射线就是角的平分线，正确；
（3）可让直角顶点放在圆上，先得到直径，进而找到直径的中点就是圆心，正确．
故选：D．
10．解：A．延长射线AB到点C，使BC＝2AB，
因为射线不能延长，
所以A选项错误，不符合题意；
B．因为直线不能反向延长，
所以B选项错误，不符合题意；
C．将射线OA绕点O旋转180°，终止位置OB与起始位置OA形成平角，C选项正确，符合题意；
D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB＝a，BC＝b，则线段AC＝a+b或＝a﹣b．
所以D选项错误，不符合题意．
故选：C．
11．解：连接AP，∵PR＝PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，
∴AP是∠BAC的平分线，∠1＝∠2，
∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
又AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴QP∥AR，
BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选：A．
12．解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝＝．
故选：B．
二．填空题
13．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×4×2+AC 2＝7，
解得AC＝3．
故答案为：3．
14．解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
15．解：方法一，如图，
取BD中点H，连AH、EH，
∵AB⊥AD，
∴AH＝DH＝BH＝BD＝2.5，
∴∠HDA＝∠HAD，
∵DA平分∠FDB，
∴∠FDA＝∠HDA，
∴∠FDA＝∠HAD，
∴AH∥DF，
∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，
∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，
∴A、H、E三点共线，
∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．
方法二，如图，延长BA和CD交于一点G，
证明三角形BDA和三角形GDA全等，
得A是BG中点，
则AE是中位线，
AE等于CG的一半
故答案为：6．
16．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E；
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE；
∵，且AB＝10，
∴DE＝3，CD＝DE＝3．
故答案为3．
三．解答题
17．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝6，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
18．证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD＝PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
19．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE＝5cm，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAD＝2×32°＝64°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣64°＝26°．
20．证明：连接AC，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠DAC＝∠BAC．
又∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CE＝CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
一．选择题
1．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝3，则△BCE的面积为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
2．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC 的三条中线的交点
B．△ABC 三边的垂直平分线的交点
C．△ABC 三条角平分线的交点
D．△ABC 三条高所在直线的交点
3．下列作图语句错误的个数是（ ）
①以点O为圆心作弧；②延长射线OM到点A；③延长线段AB到C，使BC＝AB；④过三点A，B，C作直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA D．连接A、B两点
5．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
7．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB＝5cm，AC＝12，则△APC的面积是（ ）
A．30cm2 B．40cm2 C．50cm2 D．60cm2
8．下列作图语句正确的是（ ）
A．过点P作线段AB的中垂线
B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝BC
C．过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b
D．过点P作直线AB的垂线
9．用一把带有刻度的直角尺，（1）可以画出两条平行线；（2）可以画出一个角的平分线；（3）可以确定一个圆的圆心．以上三个判断中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．下列关于几何画图的语句，正确的是（ ）
A．延长射线AB到点C，使BC＝2AB
B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上
C．将射线OA绕点O旋转180°，终止位置OB与起始位置OA形成平角
D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB＝a，BC＝b，则线段AC＝a+b
11．如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ＝PQ，PR＝PS．下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对
12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝，则△BCE的面积等于（ ）
A．3 B． C． D．15
二．填空题
13．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是 ．
14．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BOC＝ ．
15．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝ ．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为 ．
三．解答题
17．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
18．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．
求证：OC是∠AOB的平分线．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE＝5cm，∠CAD＝32°，求CD的长度及∠B的度数．
20．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB＝AD，BC＝DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．
求证：CE＝CF．
参考答案
一．选择题
1．解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝3，
∵BC＝10，
∴△BCE的面积为＝15，
故选：B．
2．解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC 三条角平分线的交点．
故选：C．
3．解：以点O为圆心，OA为半径作弧，所以①错误；
延长线段OM到点A，所以②错误；
延长线段AB到C，使BC＝AB；所以③正确；
过点A，B作直线，所以④错误．
故选：C．
4．解：A、射线OP无限长，所以A选项不符合题意；
B、量出A、B点的距离，所以B选项不符合题意；
C、射线OA不需要延长，只能反向延长射线OA，所以C选项不符合题意；
D、用直尺可以连接A、B两点，所以D选项符合题意．
故选：D．
5．解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝3，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴×6×3+×AC×3＝15，
∴AC＝4．
故选：A．
6．解：如图，过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，
∵OP是∠AOB的平分线，P到OB的距离是2，
∴PC＝PD＝2，
∵OE＝4，
∴S△OPE＝OE PC＝．
故选：C．
7．解：过P作PD⊥AC于D，
∵点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，
∴PD＝PB＝5cm，
∴S△APC＝AC PD＝12×5＝30cm2，
故选：A．
8．解：A、只有过线段中点的垂线才叫中垂线，P是任意一点，错误；
B、应为在线段AB的延长线上取一点C，使BC＝AB，错误；
C、a和b的位置不一定是平行，错误．
D、正确．
故选：D．
9．解：（1）任意画出一条直线，在直线的同旁作出两条垂线段，并且这两条垂线段相等．过这两条垂线段的另一端点画直线，与已知直线平行，正确；
（2）可先在这个角的两边量出相等的两条线段长，过这两条线段的端点向角的内部作垂线，过角的顶点和两垂线的交点的射线就是角的平分线，正确；
（3）可让直角顶点放在圆上，先得到直径，进而找到直径的中点就是圆心，正确．
故选：D．
10．解：A．延长射线AB到点C，使BC＝2AB，
因为射线不能延长，
所以A选项错误，不符合题意；
B．因为直线不能反向延长，
所以B选项错误，不符合题意；
C．将射线OA绕点O旋转180°，终止位置OB与起始位置OA形成平角，C选项正确，符合题意；
D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB＝a，BC＝b，则线段AC＝a+b或＝a﹣b．
所以D选项错误，不符合题意．
故选：C．
11．解：连接AP，∵PR＝PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，
∴AP是∠BAC的平分线，∠1＝∠2，
∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
又AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴QP∥AR，
BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选：A．
12．解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝＝．
故选：B．
二．填空题
13．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×4×2+AC 2＝7，
解得AC＝3．
故答案为：3．
14．解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
15．解：方法一，如图，
取BD中点H，连AH、EH，
∵AB⊥AD，
∴AH＝DH＝BH＝BD＝2.5，
∴∠HDA＝∠HAD，
∵DA平分∠FDB，
∴∠FDA＝∠HDA，
∴∠FDA＝∠HAD，
∴AH∥DF，
∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，
∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，
∴A、H、E三点共线，
∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．
方法二，如图，延长BA和CD交于一点G，
证明三角形BDA和三角形GDA全等，
得A是BG中点，
则AE是中位线，
AE等于CG的一半
故答案为：6．
16．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E；
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE；
∵，且AB＝10，
∴DE＝3，CD＝DE＝3．
故答案为3．
三．解答题
17．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝6，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
18．证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD＝PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
19．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE＝5cm，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAD＝2×32°＝64°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣64°＝26°．
20．证明：连接AC，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠DAC＝∠BAC．
又∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CE＝CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．