2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.4 探究三角形相似的条件 同步练习（含答案）

北师大版九上 4.4 探究三角形相似的条件
一、选择题（共14小题）
1. 图①②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中 ， 相交于点 ，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是
A. 都相似 B. 都不相似 C. 只有①相似 D. 只有②相似
2. 如图，在大小为 的正方形网格中，是相似三角形的是
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
3. 如图，点 是线段 的黄金分割点 ，则下列结论中正确的是
A. B.
C. D.
4. 如图，点 ，，，，，，，，，都是 方格纸中的格点，为使 ，则点 应是 ，，， 四点中的
A. B. C. D.
5. 在 和 中，，若添加一个条件，使得 ，则下列条件中不符合要求的是
A. B.
C. D.
6. 如图，若 ，，，，，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使 ，则点 应是甲、乙、丙、丁四点中的
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 把 长的线段进行黄金分割，则较长线段的长 （ ，精确到 ） 是
A. B. C. D.
8. 如图，在 中，，，，将 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.
9. 已知如图（1），（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中 ， 交于点 ，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是
A. 都相似 B. 都不相似 C. 只有（1）相似 D. 只有（2）相似
10. 要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已有三角形框架甲，它的三边长分别为 ，，，三角形框架乙的一边长为 ，那么符合条件的三角形框架乙共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
11. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比（黄金分割比 ）．著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金分割比．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可能是
A. B. C. D.
12. 用三个不等式 ，， 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为
A. B. C. D.
13. 如图，，，，，，，，， 都是方格纸的格点，为使 ，则点 应是 ，，， 点中的
A. B. C. D.
14. 如图，在 中，，，点 为边 上一点，连接 ，作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 与 交于点 ，连接 并延长与 交于点 ，现有如下 个结论：
① ；
② ；
③ ；
④若 为 中点，则 ．
其中正确结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（共6小题）
15. 如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，那么 的值为 ．
16. 如图，在正方形网格上有 个三角形（三角形的顶点均在格点上）：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．在② ⑥中，与①相似的三角形的个数是 个．
17. 如图，己知点 是第一象限内横坐标为 的一个定点， 轴于点 ，交直线 于点 ．若点 是线段 上的一个动点，，且 ，则点 在线段 上运动时， 点不变， 点随之运动．求当点 从点 运动到点 时，点 运动的路径长是 ．
18. 两个相似三角形的最短边分别是 和 ，它们的周长之差是 ，那么小三角形的周长为 ．
19. 如图， 平分 ，且 ，，则当 时，．
20. 如图，已知一张三角形纸片 ，，，，点 在 边上．如果过点 剪下一个与 相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设 ，那么 的取值范围是 ．
三、解答题（共7小题）
21. 如图，，， 分别是 的三边 ，， 的中点．求证：．
22. 如图 ，，，．求证：图中两个三角形相似．
23. 如图， 为四边形 边 上一点，连接 并延长交 延长线于点 ，已知 ．
（1）求证：．
（2）若 为平行四边形，，，求 的长度．
24. 已知四边形 是矩形，点 是矩形 边上的点，且 ．若 ，，求 的长．
25. 已知在 中，，，，点 是射线 上的一点（不与端点 重合），连接 ，如果 与 相似，求 的长．
26. 如图，在边长为 的 的正方形网格上有两个三角形，它们的顶点都在格点上， 与 是否相似 请说明理由．
27. 已知，在 中，．过 点的直线 从与边 重合的位置开始绕点 按顺时针方向旋转角 ，直线 交 边于点 （点 不与点 、点 重合）， 的边 始终在直线 上（点 在点 的上方），且 ，连接 ．
（1）当 时，
①如图a，当 时，求 的度数；
②如图b，当 时， 的度数是否发生变化 说明理由．
（2）如图c，当 时，请直接写出 与 之间的数量关系，不必证明．
答案
1. A
2. C
3. C
4. C
5. D
6. C
7. C
8. B
【解析】选项A，因为 ，，所以阴影三角形与原三角形相似，故A不合题意；
选项B，因为 且 ，所以阴影三角形与原三角形不相似，故B符合题意；
选项C，因为 ，，，所以阴影三角形与原三角形相似，故C不合题意；
选项D，因为 ，，所以阴影三角形与原三角形相似，故D不合题意．
故选B．
9. A
10. C
11. B
【解析】（）以腿长 视为从肚脐至足底的高度，求出身高下限：；
（）以头顶到脖子下端长度 视为头顶至咽喉长度求出身高上限：
①咽喉至肚脐：；
②肚脐至足底：，
身高上限为：，
身高范围为：．
12. D
【解析】命题①，如果 ，，那么 ．
，．
整理得 ．
命题①是真命题．
命题②，如果 ，，那么 ．
，．
．
，，．
命题②是真命题．
命题③，如果 ，，那么 ．
，．
，
，，．
命题③为真命题．综上，真命题的个数为 ．
13. B
14. B
【解析】，
，
，，
，故①正确；要使 ，需 ，经分析知需 ，即需 ，而由已知条件无法得出 ，故②错误；
，，
，
，
，故③正确；易知 ，
，
，
，
与 不平行，
，
而 ，
，所以④错误．
15.
16.
17.
18.
【解析】 两个相似三角形的最短边分别是 和 ，
两个三角形的相似比为 ，
设大三角形的周长为 ，则小三角形的周长为 ，
由题意得，，
解得，，
则 ，
故答案为：．
19.
【解析】 平分 ，
，当 时，，
，
，，
，
．
故答案为 ．
20.
【解析】如图所示：①过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ，
，，
此时，点 在线段 上，且不能与点 、点 重合，
，即 ；
②过点 作 ，交 于点 ，
则 ，
此时，点 在线段 上，且不能与点 重合，
，即 ；
③过点 作 ，交 于点 ，
，
，
当点 与点 重合时， 取得最小值，
，
，
，
，
，
点 不能与点 重合，
，即 ；
综上可得 的取值范围为：．
21. 由 ，得 ．
22. 证明：，
，
．
23. （1） 在 和 中，
．
（2） 四边形 是平行四边形，，
，
由（）可得：，
，
，
，
，
故 的长度为 ．
24. 如图，
四边形 是矩形，
，，，
，
，
当点 在 上时，
，
，
；
当点 在 上时，
，
，
，
，
故 的长为 或 ．
25. 或 或 ．
26. 与 相似．理由：
，，，，，，
，，，
，
．
27. （1） ① ，，
， .
.
又 ，，
.
，且 ，
四边形 是正方形，
．
②当 时，①中的结论不发生变化．
，，，
.
又 ，
.
.
又 ，
.
．
（2） ．
【解析】，，，
.
又 ，
.
，
又 ，
.
.
在 中，
．