(共19张PPT)
第二课时 一元二次不等式的综合问题
[方法技巧]
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解．
题型二 一元二次不等式的实际应用
【学透用活】
[典例2] 某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛拆建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝3 m，AD＝2 m．
要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内？
[方法技巧] 解不等式应用题的步骤
解决一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中哪些是未知量，然后选择未知量并设出此未知量，再概括题目中的不等关系列不等式．
【对点练清】
某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
解：设这批台灯的销售价定为x元，
则[30－2(x－15)]·x>400，即x2－30x＋200<0，
因为方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，
所以x2－30x＋200<0的解为10又因为x≥15，所以15≤x<20.
故应将这批台灯的销售价格制定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.
题型三 不等式恒成立问题
【学透用活】
[典例3] (1)若对 x∈R，不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围．
[解] (1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0，
∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，∴0∴m的取值范围为{m|0(2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立，
∴m<0，∴m的取值范围为{m|m<0}．
[方法技巧]
对于含参数的二次函数在闭区间上的函数值恒大(小)于或等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解，也可以分离变量，转化为二次函数的最值问题求解．
【对点练清】
1．对于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
2．已知不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集为R，求a的取值范围．
解：∵不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集为R，∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，∴Δ＝4－4(a2－3)＜0，解得a＞2或a＜－2.故a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．
1＜x＜3
{x|1＜x＜3}
无解
二、应用性——强调学以致用
2．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率每降低x个百分点，收购量相应能增加2x个百分点．试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[析题建模] 税率降低x个百分点(逻辑推理) ―→即调节后税率为(8－x)%(逻辑推理) ―→收购量能增加2x个百分点(数学运算) ―→此时总收购量为m(1＋2x%)吨(数据分析)―→原计划的78%即为2 400m×8%×78%.(共32张PPT)
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
明确目标 发展素养
1.掌握一元二次不等式的解法． 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题． 3．掌握一元二次不等式的实际应用． 4．会解一元二次不等式中的恒成立问题. 1.通过解一元二次不等式，培养数学运算素养．
2．通过“三个二次”关系的应用，提高数学运算和逻辑推理素养．
3．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养．
4．借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养.
第一课时 一元二次不等式及其解法
(一)教材梳理填空
1．一元二次不等式：
定义 只含有 未知数，并且未知数的最高次数是___的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
一个
2
2.二次函数的零点：
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的______ 。
3．“三个二次”的关系：
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
ax2＋bx＋c＝0
零点
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
续表
{x|x＜x1，或x＞x2}
R
{x|x1＜x＜x2}
[微思考]
(1)如何理解一元二次不等式中的“一元”与“二次”？
提示：“一元”即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)．
“二次”即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
(2)如何理解一元二次不等式的“解”与“解集”？
提示：一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集是部分与整体的关系，不要将二者混淆．如1是x2＋x＞0的一个解，但x2＋x＞0的解集是一个集合，解集为{x|x＜－1或x＞0}．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)mx2＋5x＋3＜0是一元二次不等式． ( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则必有a＞0. ( )
(3)函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是函数图象与x轴的交点． ( )
(4)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}(x1＜x2)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2. ( )
(5)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
4．若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则a，c的值分别为________，________.
答案：－1 －6
[方法技巧] 解不含参数的一元二次不等式的步骤
【对点练清】
1．不等式x(x＋2)＜3的解集是 ( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－1或x＞3} D．{x|x＜－3或x＞1}
解析：由题意x(x＋2)＜3，∴x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解得－3＜x＜1，∴该不等式的解集是{x|－3＜x＜1}，故选B.
答案：B
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【学透用活】
[典例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
[方法技巧] 解含参数的一元二次不等式的步骤
题型三 “三个二次”之间对应关系的应用
【学透用活】
“三个二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2【对点练清】
1．[变设问]本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
二、应用性——强调学以致用
2．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h 之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶谁应负主要责任？
[析题建模]
