新人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．1　等式性质与不等式性质
明确目标 发展素养
1.梳理等式的性质． 2．理解不等式的概念． 3．研究不等式的性质. 1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．
2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.
知识点一　实数的大小比较的基本事实
(一)教材梳理填空
1．文字叙述：
如果a－b是 ，那么a＞b；如果a－b ，那么a＝b；如果a－b是 ，那么a＜b.反过来也对．
2．符号表示：
a－b＞0 a b；a－b＝0 a b；a－b＜0 a b.
正数
等于0
负数
＞
＝
＜
[微思考]　x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见，你能想个办法比较x2＋1 与2x的大小关系吗？
提示：作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)任意两个实数都能比较大小． ( )
(2)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0. ( )
(3)实数m不大于－2，用不等式表示为m≥－2. ( )
(4)不等式a2＋b2≥2ab中的a，b可以是任意实数． ( )
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是 (　　)
答案：D
2．不等式性质：
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b ______ 可逆
2 传递性 a＞b，b＞c ______ 不可逆
3 可加性 a＞b ___________ 可逆
4 可乘性 a＞b，c＞0 ac＞bc c的符号
a＞b，c＜0 _______ 5 同向可加性 a＞b，c＞d ___________ 同向
6 同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 _______ 同向
7 可乘方性 a＞b＞0 (n∈N，n≥2) 同正
b＜a
a＞c
a＋c＞b＋c
ac＜bc
a＋c＞b＋d
ac＞bd
an＞bn
(二)基本知能小试
1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是 (　　)
A．a>b>－b>－a　　 B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
解析：法一：∵a＋b>0，∴a>－b，又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，
∴a>－b>b>－a.
法二：(特殊值法)设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a.
答案：C
题型一　用不等式(组)表示不等关系　
【学透用活】
不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“＞”“＜”“≠”“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的式子，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．
[典例1]　用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
[方法技巧]
1．用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数．
(2)适当设未知数表示变量．
(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式(组)的形式．
2．用不等式表示不等关系的注意点
(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．
(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．　　
【对点练清】
1．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？
2．[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？
题型二　比较实数(式子)的大小　
【学透用活】
[典例2]　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
[方法技巧]
比较两个实数(或式子)大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差．
(2)变形：对差进行变形．
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
(4)得出结论．
提醒：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断差的符号”是目的，“变形”是关键．在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　
【对点练清】
1．把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
[方法技巧]
利用不等式判断正误的2种方法
(1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法．注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．　　
[方法技巧]
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质及其推论，并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)利用不等式的性质进行证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步证明，更不能随意构造性质与法则．
方法一(性质法)简单快捷，但思路不易发现．
方法二(作差法)思路简单，但通分较麻烦．
方法三(作商法)首先需要判断两个式子的符号，然后再判断其比值与1的大小关系，证明步骤较复杂．　　
[方法技巧]
利用不等式的性质求代数式范围要注意的问题
(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．
(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如：由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等．
(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．　　
【对点练清】
1．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是 (　　)
A．ab>bc　　　　　　　　　 B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
解析：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.
答案：C　
2．已知－1＜x＜4,2＜y＜3，则x－y的取值范围为________，3x＋2y的取值范围为________．
解析：因为－1＜x＜4,2＜y＜3，
所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.
由－1＜x＜4,2＜y＜3，得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，
所以1＜3x＋2y＜18.
答案：－4＜x－y＜2　1＜3x＋2y＜18
二、应用性——强调学以致用
2．有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售．现在每个商场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件优惠8元，买三件每件优惠12元，……依此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价7折酬宾．某单位欲为每位员工购买一件该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？
解：设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y元、z元．依题意，有
z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)．
①若1≤x≤10，x∈Z，则y－z＝(80－4x)x－56x＝4x(6－x)．
当1≤x≤5，x∈Z时，6－x＞0，∴y－z＞0，即y＞z.
当x＝6时，y－z＝0，即y＝z.
当7≤x≤10，x∈Z时，6－x＜0，
∴y－z＜0，即y＜z.
②若x＞10，x∈Z，则y－z＝40x－56x＝－16x.
∵－16x＜0，∴y＜z.
综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰为6人，到甲、乙商场购买一样合算；若单位人数超过6人，到甲商场购买更合算．