人教A版（2019）必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
学习目标 素养要求
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，理解等式与不等式的共性与差异 数学建模
逻辑推理
| 自 学 导 引 |
1．不等式的概念：用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接______或_____________，以表示它们之间的不等关系，含有这些______的式子叫做不等式．
两个数　
用不等式表示不等关系
两个代数式　
不等号　
2．常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示：
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ____
大于等于 ≥ 不少于 ____
小于等于 ≤ 不多于 ____
≥　
≥　
≤　
【预习自测】
某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是________．
【答案】x＋y≥120
关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
a－b>0 ________；a－b＝0 a＝b；a－b<0 ________.
a>b　
实数大小比较的依据
a【预习自测】
已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是________．
【答案】a>－b>b>－a
等式的性质与不等式的性质的比较
等式的性质 不等式的性质
a＝b b＝a a>b ba＝b，b＝c a＝c a>b，b>c a>c
a＝b a＋c＝b＋c a>b a＋c>b＋c
a＝b ac＝bc a>b，c>0 ac>bc；
a>b，c<0 aca＝b，c＝d a＋c＝b＋d a>b，c>d ____________
a＝b，c＝d ac＝bd a>b>0，c>d>0 ________
a＝b≥0 an＝bn a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)
a＋c>b＋d　
ac>bd　
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. (　　)
(2)若a(3)若a>b，则ac>bc一定成立． (　　)
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
【解析】(1)不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.
(2)不等式a≤b表示a(3)由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
(4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
| 课 堂 互 动 |
(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？请用不等式表示问题中的不等关系．
(2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
素养点睛：考查数学建模的核心素养．
题型1　用不等式(组)表示不等关系
将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意，找准不等关系所联系的量．
(2)用适当的不等号连接．
(3)多个不等关系用不等式组表示．
用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题
在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．
1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
【答案】4.5t<28 000
【解析】由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.
素养点睛：考查逻辑推理的核心素养．
题型2　代数式的大小比较
利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)作出结论．
素养点睛：考查逻辑推理的核心素养．
题型3　不等式的性质的应用
利用不等式的性质求取值范围的注意点
(1)利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
(2)同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
若a＞b，则ac2________bc2.
错解：因为c2＞0，且a＞b，所以ac2＞bc2，故填＞.
易错防范：上面的解法错在忽视了c＝0的情况．当c＝0时，ac2＝bc2.防范措施是使用不等式的性质时，不可忽视条件．
正解：因为c2≥0，且a＞b，所以ac2≥bc2，故应填≥.
易错警示　忽视因式可能为0
巧题妙解　利用不等式的性质证明不等式
【思路点拨】不等式证明，就是利用不等式性质或者已知条件，推出不等式成立．
【精彩点拨】应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
| 素 养 达 成 |
1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差并判断符号就可以了．
a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.
2．作差法比较大小的一般步骤：
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．不等式的性质的应用(体现了逻辑推理的核心素养)．
1．(题型2)(2020年沈阳高一期中)设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有 (　　)
A．P≥Q B．P＞Q
C．P＜Q D．P≤Q
【答案】A
【解析】P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，所以P≥Q.故选A．
【答案】D
【解析】因为a，b，c∈R且a＞b，所以取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝－1，可排除C．由不等式的性质知当a＞b时，－2a＜－2b，故D正确．故选D．
3．(题型1)完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设请木工x人，瓦工y人，则其中的不等关系是 (　　)
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
【答案】D
【解析】据题意知500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.故选D．
4．(题型2)(2020年天津月考)若x≠2且y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系为________．
【答案】M＞N
【解析】M－N＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋(y＋1)2，又x≠2，y≠－1，所以M＞N.
5．(题型3)已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．