人教B版（2019）必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
2．1.1　等式的性质与方程的解集
新知初探 自主学习
课堂探究 素养提升
课程标准
(1)掌握等式的性质及常用的恒等式．
(2)理解方程的解集．
新知初探 自主学习
教材要点
知识点一　等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
状元随笔　用符号语言和量词表示上述等式的性质：
(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c；
(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc.
知识点二　恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
状元随笔　初中学习的恒等式
(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)；
(2)(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2(两数和的平方公式)；
(3)(a＋b)c＝ac＋bc；
(4)t3＋1＝(t＋1)(t2－t＋1)．
知识点三　十字相乘法
具体形式：
(1)二次项系数为1时，x2＋(a＋b)x＋ab＝_____________.
(2)二次项系数不为1时，acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝______________．
记忆口诀：拆两头，凑中间．
知识点四　方程的解集
方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
(x＋a)(x＋b)　
(ax＋b)(cx＋d)
基础自测
1．分解因式a2＋8ab－33b2得(　　)
A．(a＋11)(a－3) B．(a＋11b)(a－3b)
C．(a－11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)
答案：B
解析：a2＋8ab－33b2＝(a－3b)(a＋11b)．
2．若多项式－6ab＋18abx＋24aby的一个因式是－6ab，那么另一个因式是(　　)
A．1＋3x－4y B．－1－3x－4y
C．1－3x－4y D．－1－3x＋4y
答案：C
解析：－6ab＋18abx＋24aby＝－6ab(1－3x－4y)，
所以另一个因式是1－3x－4y.
3．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a的值为(　　)
A．－ B．
C．－或 D．不存在
答案：C
解析：因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2，
即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2.
所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.
解得a＝－或a＝.
4．方程x2＋2x－15＝0的解集为________．
{3，－5}
解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，
所以x＝3或x＝－5.
所以方程的解集为{3，－5}．
课堂探究 素养提升
题型1　因式分解[经典例题]
例1　把下列各式因式分解：
(1)6x2＋11x－7；
(2)a2－2ab－8b2；
利用十字相乘法因式分解
由图，得
所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．
(a＋2b)(a－4b)．
(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；
(4)2x4－5x2＋3.
(x＋y＋2z)(x＋y－3z)．
由图，得

所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1)(x＋)(x－)．
方法归纳
对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，
并且把a1，a2，c1，c2排列如图： ，按斜线交叉相乘，再相
加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．
跟踪训练1　把下列各式分解因式：
(1)x2－3x＋2＝______________________；
(2)x2＋37x＋36＝____________________；
(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________________；
(4)4m2－12m＋9＝___________________．
(x－1)(x－2)
(x＋1)(x＋36)
(a－b＋4)(a－b＋7)
(2m－3)2
解析：(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)；
(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)；
(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28
＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]
＝(a－b＋4)(a－b＋7)；
(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.
题型2　一元一次方程的解集[经典例题]
例2　求下列方程的解集：
(1)4－3(10－y)＝5y；
【解析】　去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4.
合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13.
所以该方程的解集为{－13}．
(2)＝－1；
【解析】　去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.
去括号，得4x－2＝2x＋1－6.
移项，得4x－2x＝1－6＋2.
合并同类项，得2x＝－3.
系数化为1，得x＝－.
所以该方程的解集为.
(3)求关于x的方程ax＝2的解集，其中a是常数．
【解析】　 当a≠0时，在等式ax＝2的两边同时乘以，得x＝，此时解集为.
当a＝0时，方程变为0x＝2，这个方程无解，此时解集为 .
综上，当a≠0时，解集为；当a＝0时，解集为 .
状元随笔　把方程化成ax ＝b的形式，当a不等于零时，x ＝.当a等于零时，无解．
方法归纳
解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．
跟踪训练2　(1)x－[x－(x－1)]＝；
(2)求关于x的方程ax＝x－1的解集，其中a是常数．
解析：去小括号，得x－(x－x＋)＝，
去括号，得x－x＋x－＝，
去分母，得12x－6x＋3x－3＝8x－8，
移项，得12x－6x＋3x－8x＝－8＋3，
合并同类项，得x＝－5.
所以该方程的解集为{－5}．
解析：当a不等于1时，x＝.解集为{}．当a等于1时，无解，解集为空集．
题型3　因式分解法解一元二次方程
例3　求下列方程的解集：
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
(2)6x(x＋1)＝5(x＋1)；
因式分解，得：(x－2)(x＋1)＝0.
于是得x－2＝0或x＋1＝0，即x＝2或x＝－1，因此方程的解集为{－1，2}．
分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，
所以6x－5＝0或x＋1＝0，所以x1＝或x2＝－1.
所以方程的解集为{，－1}．
(3)x2＋5x－6＝0；
【解析】分解因式得：x2＋5x－6＝(x－1)(x＋6)，

1×(－1)＋1×6＝5，
因为x2＋5x－6＝0，所以(x－1)(x＋6)＝0，
所以x－1＝0或x＋6＝0，
即x＝1或x＝－6.
因此方程的解集为{－6，1}．
(4)ax2－(a＋1)x＋1＝0.
【解析】当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0，
所以x＝1，解集为{1}．
当a≠0时，对于ax2－(a＋1)x＋1来说，因为a×1＝a，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1)．如图所示，

ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)，所以原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0，
所以ax－1＝0或x－1＝0，
所以x＝或x＝1.解集为{，1}．
方法归纳
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
提醒：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
跟踪训练3　用因式分解法求下列方程的解集：
(1)x＝x；
解析：x＝0，
即x＝0，
所以x1＝0，x2＝，
所以该方程的解集为.
(2)(x－3)2＋2x－6＝0；
解析： (x－3)2＋2(x－3)＝0，
(x－3)(x－3＋2)＝0，
所以x－3＝0或x－1＝0，
所以x1＝3，x2＝1，
所以该方程的解集为{3，1}．
(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0；
【解析】[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，
所以(10x－1)(2x＋19)＝0，
所以10x－1＝0或2x＋19＝0，
所以x1＝，x2＝－.
所以该方程的解集为.
(4)12x2＋5x－2＝0；
【解析】分解因式得：
12x2＋5x－2＝(3x＋2)(4x－1)，

3×(－1)＋4×2＝5，
因为12x2＋5x－2＝0，
所以(3x＋2)(4x－1)＝0，
所以3x＋2＝0或4x－1＝0，
即x＝－或x＝，因此方程的解集为{－}．
(5)12x2－ax－a2＝0.
【解析】当a＝0时，原方程可化为：
12x2＝0，所以x＝0，当a≠0时，因为3×4＝12，－a×a＝，3×a＋4×(－a)＝3a－4a＝－a，如图所示，

所以12x2－ax－a2＝(3x－a)(4x＋a)，
所以原方程可化为(3x－a)(4x＋a)＝0.
所以3x－a＝0或4x＋a＝0，
所以x1＝，x2＝－.解集为{，－}．