高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——2.1等式性质与不等式性质（一般）（含答案）

一、单选题
1．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．无法确定
2．已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，，那么
4．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数 的值为（ ）
A．4 B．-10 C．2 D．-10或2
5．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）
A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高 C．价格相同 D．不确定
6．已知，则以下不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．多选已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
8．已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．设，，则，的大小关系为________.
10．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.
11．设，则中等号成立的充要条件是_______．
12．已知，且，则的取值范围是___________.
四、解答题
13．若，求的取值范围.
14．证明不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
15．已知：实数，求证：不等式 成立的充分条件是.
16．已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.
【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为，则两年的购买的总金额为，
平均价格为；
对于乙方案，设每年购买的总金额为，则总数量为，
平均价格为.
因为，所以，.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商
2．B
【分析】令，，则，然后根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】解：令，，则，
则，
，
，
又，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查不等式的性质的应用，考查逻辑推理和计算能力，属于中档题．
3．D
【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.
【详解】对于A，如果，那么，故错误；
对于B，如果，那么，故错误；
对于C，如果，那么，故错误；
对于D，如果，那么，由，则，故正确.
故选：D.
4．C
【解析】用韦达定理得出根与系数的关系，然后计算可得．
【详解】方程有实根，则，解得 或，
设方程的两根为，则， ，
∴，解得 （舍去）．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题中利用韦达定理得，然后利用 去化简求值，这里有一个前提条件：方程有实解，因此有个隐含条件：由此求出参数的范围，只有在这个范围内的参数值才是所求解．
5．B
【分析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，令，根据待定系数法求得，借助不等式性质即可证得.
【详解】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，
令，
则，解得：
，
因此.
所以2枝玫瑰的价格高.
故选：B
【点睛】本题考查不等关系与不等式性质，考查不等式比较大小的问题，属于中档题.
6．D
【分析】利用不等式的性质逐项判断即得.
【详解】∵，∴，故A正确；
∵，∴，∴，即，故B正确；
由可得，，∴，故C正确；
因为，所以，，所以，即．故D错误.
故选：D．
7．ABC
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可．
【详解】A.，满足，，而，故错误；
B.，满足，，而ac=bd，故错误；
C.若，，则，故错误
D.若，，则，所以，则，故正确．
故选：ABC．
8．ABD
【分析】由已知条件得出，且的符号不确定，利用不等式的性质以及特殊值法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】且，，且的符号不确定.
对于A，，，由不等式的基本性质可得，故A一定能成立；
对于B，，，，，即，故B一定能成立；
对于C，取，则，若，有，故C不一定成立；
对于D，，，，故D一定能成立.
故选：ABD
9．
【解析】由结合不等式的性质得出答案.
【详解】
，则
，即
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质比较大小，属于中档题.
10．.
【解析】由题意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得关于的不等式，解不等式即可.
【详解】解：
当且仅当，即且时取等号.
恒成立，则解得即
故答案为：
【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立的问题，属于中档题.
11．且.
【分析】利用充分、必要性的定义判断题设不等式等号成立的充要条件即可.
【详解】由题设，，
∴要使等号成立，则且，
当且时，有，即成立.
综上，且是中等号成立的充要条件.
故答案为：且.
12．
【分析】设，利用待定系数法求出的值，再由不等式的性质计算和的范围，即可得的范围，再两边同时除以即可求解.
【详解】由可得：，
令，整理可得：，
所以，解得：，
所以，
将两边同时乘以，可得，①
将两边同时乘以，可得，②
两式相加可得：
，
即，
因为，所以，
所以的取值范围是，
故答案为：.
13．
【解析】分类讨论和，利用不等式的性质得出的取值范围.
【详解】当时有，，故，即；
当时，，故，因为所以
又，所以，即.
综上.
【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质求范围，属于中档题.
14．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用不等式的性质可证得结论；
（2）由，知，利用，即可证得结论；
（1）
，两边同乘以，则
又，两边同乘以，则
即
（2）
，两边同乘以，得；
两边同乘以，得，所以
又，则，又，则，
即
15．证明见解析.
【分析】根据给定条件，利用作差法计算、推理判断作答.
【详解】实数，当时，，，
则，
于是得，
所以不等式 成立的充分条件是.
16．（1）证明见解析；（2）1.
【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果.
【详解】证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，
∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.
答案第1页，共2页
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