高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——2.2基本不等式（较易）（含答案）

一、单选题
1．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
3．小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
5．命题，成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知，，分别为内角，，的对边，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．面积的最大值为 D．面积的最大值为
8．（多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a＋b＋≥2 B．≥ C．≥a＋b D．(a＋b)≥4
三、填空题
9．若正数，满足，则的最小值是______．
10．若，则的最大值是___________.
11．设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
①a2＋1＞a； ②； ③(a＋b)； ④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________(填序号).
12．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.
四、解答题
13．已知都是正数，且，
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
14．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少？
15．（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
16．若a>0，b>0，且
（1）求的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b=5？并说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由题可得，根据展开利用基本不等式可求.
【详解】，，，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：B.
2．D
【分析】设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可．
【详解】解：设每生产单位试剂的成本为，
因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，
职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，
满足，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．
故选：D．
3．D
【分析】平均速度等于总路程除以总时间
【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
，，，
∴，，
故选:D.
4．A
【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可
【详解】解： ，，且，
对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，即有最大值1，所以B错误，
对于C，因为，当且仅当时取等号，即有最小值4，所以C错误，
对于D，因为，当且仅当时取等号，即有最大值4，所以D错误，
故选：A
5．D
【分析】根据命题求得参数的范围，根据命题的集合语言，只要求得参数的范围的真子集即可得解.
【详解】命题，成立，
即，成立，则.
又可以推出，反之，推不出，
所以是命题成立的一个充分不必要条件，
故选：D.
6．D
【分析】利用基本不等式求得的最小值判断.
【详解】解：因为正实数、满足，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：D
7．BC
【解析】由正余弦定理结合已知条件化简得，由三角形的面积公式结合基本不等式计算得面积的最大值.
【详解】∵，
∴，
∴，由正弦定理可得，
∴，，，
，当时取等号，
∴，∴.
故选：BC
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于基础题.
8．ACD
【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可
【详解】解：因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号，故A一定成立．
因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥不一定成立，故B不成立．
因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥，所以≥a＋b，故C一定成立．
因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，
故选：ACD．
9．
【分析】将展开，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
当且仅当即 时等号成立，
所以的最小值是，
故答案为：.
10．
【分析】先求解出的取值范围，然后利用基本不等式求解出最大值.
【详解】因为，所以，
又，
取等号时，即，
所以的最大值为，
故答案为：.
11．①②③
【分析】利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论.
【详解】由于a2＋1－a＝，故①恒成立；
由于＝＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当即a＝b＝1时等号成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，
那么a＝b＝1时等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
故答案为：①②③.
【点睛】本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题.
12．6
【分析】设矩形空地的长为m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果.
【详解】设矩形空地的长为m，则宽为m，
依题意可得，试验区的总面积，
当且仅当即时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为.
故答案为：6
13．(1) ；(2) .
【分析】(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；
(2) 先将式子中的1用代换，展开整理，再用基本不等式求最小值.
【详解】(1) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为 .
(2) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为.
14．宽为，长为.
【分析】作出图形，设场地一边长为，则另一边长为，求出新墙的总长度，利用基本不等式可求得新墙的总长度的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出结论.
【详解】如图，设场地一边长为，则另一边长为．
因此新墙总长度．
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当堆料场的宽为，长为时，可使砌墙所用的材料最省．
15．（1）7；（2）．
【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；
（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
16．（1）；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；
（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．
【详解】解∶（1）由，得ab≥2，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立；
（2）由（1）知，，
由于，所以不存在a，b，使得2a+3b=5．
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