高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——2.3二次函数与一元二次方程、不等式（较难）（含答案）

一、单选题
1．已知函数，，若对于任意实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
2．设函数，点，设，对一切都有不等式成立，则正整数 的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，，若，使得和同时成立，则的取值范围为
A． B．
C． D．
5．已知函数,,则下列说法中错误的是
A．有个零点 B．最小值为
C．在区间单调递减 D．的图象关于轴对称
6．设集合，，，，其中，下列说法正确的是
A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集
D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集
二、多选题
7．（多选题）已知，函数的图象与x轴的交点个数为m，函数与x轴的交点个数为M，则的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
三、填空题
9．已知，，不等式的解集为有下列四个命题：
①； ② ；
③； ④
其中，全部正确命题的序号为_______．
10．已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.
11．若恒成立，则实数的取值范围为_______．
12．设，若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____.
四、解答题
13．设二次函数，其中a b .
（1）若，，且关于x的不等式的解集为，求a的取值范围；
（2）若a b ，且 均为奇数，求证：方程无整数根；
（3）若，，，求证：方程有两个大于1的根的充要条件是.
14．定义区间、、、的长度均为，其中.
（1）不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的范围；
（2）已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和.
15．已知函数.
（1）画出函数的图象，写出的单调区间，并指出每个区间的单调性；
（2）若关于的不等式恰有3个整数解，求实数的取值范围.
16．已知复数，满足条件，．是否存在非零实数，使得和同时成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由已知可得当时，恒成立，分类讨论参数，与时，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】，与正负一致，
由题意知，当时，恒成立，又，
所以只需当时，恒成立，分类讨论参数：
（1）当时，成立；
当时，二次函数的对称轴为，
（2）当时，不符合题意；
（3）当时，，成立；
（4）当时，，，解得；
综上可知，实数的取值范围是
故选：B
2．B
【分析】由题意知 ，代入即可得出，即解．
【详解】由题意知，，，
所以
，
，
，
随的增大而增大，
，，即，
∴正整数的最小值为4．故选B．
【点睛】本题考查错位相减与恒成立，属于中档题．
3．B
【分析】由题设可得，又即为方程两个不等的实根，即有，结合、得，即可求其最小值.
【详解】由题意知：当有，
∵知：是两个不等的实根.
∴，而，
∵，即，
∴，令，
则，
∴当时，的最小值为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为，结合韦达定理以及，应用二次函数的性质求最值即可.
4．A
【分析】就分类讨论后可得正确的选项.
【详解】当时，，不合题意；
当时，时，恒成立，时，恒成立，时，，
故当在上有解，即在上有解，
所以或，故.
当时，时，恒成立，时恒成立，时，，
故当在上有解，即在上有解，
所以，无解.
故选：A．
5．A
【解析】利用定义判断函数的奇偶性可判断D选项的正误；求出函数在区间上的零点，结合奇偶性可判断A选项的正误；求出函数在区间上的最小值，结合奇偶性可判断B选项的正误；利用复合函数的单调性可判断C选项的正误.综合可得出结论.
【详解】对于D选项，函数的定义域为，关于原点对称，
，该函数为偶函数，D选项正确；
对于A选项，当时，，或，
，
令，得（舍）或，则有；
当时，，，
，
令，可得或（舍），则有.
由于函数是上的偶函数，则函数有个零点，A选项错误；
对于B选项，当时，，或，
，
则当时，，
当时，，，
，
此时，
综上所述，当时，，
由于函数是上的偶函数，则该函数的最小值为，B选项正确；
对于C选项，当时，，
，
由于内层函数在区间上单调递减，外层函数在区间上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，
C选项正确.
故选：A.
【点睛】本题考查余弦型函数的零点、单调性、最值以及奇偶性相关命题真假的判断，解题的关键就是将问题化为二次型的余弦函数来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．B
【分析】运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断与的关系.
【详解】解对于集合，，
可得当即可得，
即有，可得对任意，是的子集；
当时，，
可得是的子集；
当时，，
可得不是的子集；
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.
故选：
【点睛】本题考查集合间的关系，一元二次不等式的解法，属于中档题.
7．ABC
【解析】根据二次函数的对称性，讨论、、结合判别式、对称轴、根的情况，判断对应的零点可能情况即可求的值.
【详解】由知：且，
∴令，的定义域为，对称轴为，，
1、当时，，中；
2、当时，，
1）当时有一个零点，若时；若时；
2）当时无零点，；
3、当时，，
1）当时有两个零点，则；
2）当时有一个零点，则；
3）当时无零点，；
综上知：的可能值有0, 1, 2；
故选：ABC
【点睛】本题考查了二次函数的性质，应用了分类讨论、判别式、对称轴、根的分布情况讨论复合函数零点的个数，属于难题.
8．ABD
【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.
【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以，
由于，所以.
A，，当时等号成立，故A正确.
B，，当且仅当时等号成立，故B正确.
C，不等式的解集为，，故C错误.
D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，
则，，故D正确，
故选：ABD
9．①②
【解析】首先根据不等式与方程的关系可知，方程的两个实数根是或，不等式变形为，①代入，判断是否满足不等式；②令，代入，判断选项；③利用根与系数的关系判断；④代特殊值判断选项.
【详解】不等式变形为 ，
①代入，得，即满足不等式，所以，①成立；
②因为不等式的解集为，所以，代入，则，
所以，②成立；
③由条件可知分别是方程的两个实数根，，，则，故③不成立；
④当时，此时不等式的解集是，即，
此时，故④不成立.
故答案为：①②
【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题的关键是理解题意，理解不等式解集的端点值是方程的实数根，，以及，，这几个关键式子判断选项②③.
10．[0，1]##
【分析】可根据已知条件，构造函数，通过分类讨论得到的解析式，然后利用二次函数的对称轴确定其单调性，列式求解即可.
【详解】对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，即，令，即只需在[0，2]上单调递增即可，
当时，，函数图象恒过；
当时，；
当时，；
要使在区间[0，2]上单调递增，则当时，的对称轴
，即；
当时，的对称轴，即；
且,
综上
故答案为：[0，1].
11．
【解析】若恒成立，则函数在区间上的最小值大于等于0，按照二次函数的对称轴分类求出最值即可.
【详解】若恒成立，
则函数在区间上的最小值大于等于0
对于，对称轴为
当时，在上单调递增，
，符合题意，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
所以，，
综上，的取值范围是
故答案为：
【点睛】该题考查的是有关根据不等式在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将恒成立向最值靠拢，涉及的思想是分类讨论，属于较难题目.
12．
【分析】若不等式对任意的恒成立，则不等式的解集必须包含.
【详解】不等式等价于：
①或②
若不等式对任意的恒成立，
则不等式的解集必须包含.
①
当时，①的解不包含0，而中有0，与题意不符；
当时，①的解为且，不包含，与题意不符.
②
若不等式的解集包含，必须
即
所以，当时，有最大值.
【点睛】本题考查不等式的解法，集合的包含关系..
13．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）根据不等式解集为，结合分式、二次函数的性质即可求参数a的范围；（2）利用反证法，分类讨论都为整数、为整数，不为整数，结合、的奇偶性即可证明；（3）根据二次方程根的分布列条件求解证明即可.
【详解】（1）由知：且解集为，
∴即，解得：.
（2），均为奇数，知：为偶数，
∴有两根为，则，，
1、当、为偶数时，若都为整数，则、必须同时可被整除，显然不成立；若为整数，不为整数，都为偶数，则与题设矛盾；
2、当、为奇数时，若都为整数，必为奇数，则必有一奇一偶，必为偶数，而为奇数，不成立；若，整理得，当为奇数时，为偶数，则为偶数，与题设矛盾；当为偶数时，为奇数，则为偶数，与题设矛盾；
综上，知：方程无整数根；
（3）由题意，知：，
若有两个大于1的根时，有，解得；
若时，有开口向上且对称轴为，，，所以有两个大于1的根；
综上，有：方程有两个大于1的根的充要条件是.
【点睛】本题考查了根据分式不等式、二次函数的性质求参数范围，应用反证法证明存在性问题，以及定义法证明条件间的充要性.
14．（1）；（2）2.
【分析】（1）先求得不等式的解集，然后根据题设得到：不等式在，恒成立，再求出的取值范围即可；
（2）先对分成①当或时，②当两类，然后构造函数，分别求出原不等式的解集，最后求出原不等式的解集的各区间长度之和即可．
【详解】（1）由可得：或，解得：，
不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，
不等式在，恒成立，
令，，，
则，解得：，
实数的范围为，；
（2）①当或时，原不等式等价于，
整理得：，
令，
（a），（b），设的两根为，，
此时原不等式的解集为，，解集的区间长度为；
②当时，同理可得原不等式的解集为，，此时解集的区间长度为．
综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为，
又由韦达定理可知：，
原不等式的解集的区间长度之和为2．
【点睛】本题主要考查不等式、不等式组的解法、不等式的解集的区间长度之和的计算、韦达定理的应用及不等式恒成立涉及参数的范围的求法，综合性比较强，属于难题．
15．（1）图象见解析，在区间和上单调递减，在区间上单调递增；（2）或.
【解析】（1）根据二次函数的图象画图，由图象可得函数单调区间；
（2）分解因式，分类讨论解二次不等式，根据不等式的解结合分段函数图象求解.
【详解】（1）函数的图象如图所示，
在区间和上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由
得
当时，解得，
当时， ，
结合图象可知，不等式的三个整数解为
所以，所以；
当时，由解得，
此时方程有唯一解，不符合条件；
当时，解得，因为时， ，
由图象可知，不等式的三个整数解为，
所以，所以；
所以的取值范围是或.
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用分解因式的方法求二次不等式的解，分类讨论得的范围后，结合不等式有3个整数解，结合图象可得a的范围.
16．存在，或
【分析】根据题意得到则是方程的两个根，讨论和两种情况，计算得到答案.
【详解】，则，，则是方程的两个根，
当即且时，，记，，，故，解得；
当即时，，为一对共轭虚根，则，则，
即或（舍）．
综上，存在实数，当或，使得和同时成立.
【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，共轭复数，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定是方程的两个根是解题的关键.
答案第1页，共2页
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