高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——2.2基本不等式（较难）（有答案）

一、单选题
1．对于实数a，b，m，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则的最小值为．其中是真命题的为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
3．已知且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的最大值是（ ）
A． B． C．0 D．
5．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数满足，则的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值为16
C．的最小值为8 D．的最小值为2
三、填空题
9．已知且，则的最小值为___________.
10．已知，则的最大值是____________.
11．已知正数满足，，则的最小值为__________.
12．若实数m，n满足，则的最小值是___________.
四、解答题
13．已知,且.证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
14．（1）若，求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
15．在中，.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求周长的最小值.
16．（1），比较与的大小；
（2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】结合不等式的性质和基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①，当时，，所以①是假命题．
对于②，当时，成立；当时，等价于，
即，因为，所以，所以成立；
当时，，所以成立．所以②是真命题．
对于③，因为，所以，所以，所以③是真命题．
对于④，因为，且，所以，且，所以，因为，当且仅当，即时成立，，不合题意，所以的最小值不是，
又由，因为，所以，
所以是a的增函数，在时没有最小值．所以④是假命题．
故选：B.
【点睛】本题主要考查了以命题为背景的命题的真假判定，以及不等式的性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记不等式基本性质和基本不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．D
【解析】将已知条件转化为的形式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】由得，所以.所以.当且仅当时取得最小值.
故选：D
【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法属于中档题.
3．C
【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决
【详解】由，可得，
则，则，令，则
，
又在单调递增，在单调递减
，，
则，即
故选：C
4．A
【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.
【详解】
令
，等号在时取到．
故选：A
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
5．D
【分析】由sinB=cosA sinC化简可求 cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得,由，为单位向量，可得，，可得,可得，则由，利用基本不等式求解最小值．
【详解】中设，，
，，
即，
，
，，
，，
，，
，根据直角三角形可得，，
，，，
以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，，，P为直线上的一点，
则存在实数使得,
设，，则，，,
,
，则,
,
故所求的最小值为,
故选：D.
【点睛】本题为平面向量的综合题，考查解三角形、平面向量数量积、平面向量共线定理、基本不等式的应用，属于综合题，解题关键在于将三角形中数量关系利用向量坐标运算进行转换，属于较难题.
6．B
【详解】原式可化为：，解得，当且仅当时成立．所以选B.
7．AD
【分析】利用判断A；利用判断B；利用判断C；利用判断D；
【详解】因为，，，
对于A，，则，即，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，所以，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；
对于D，结合，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查基本不等式的应用，完全平方差公式及三次公式的应用是解题的关键，考查了学生的转化求解问题的能力，属于中档题.
8．ABD
【分析】根据选项逐个判断，A选项中由已知条件化为可求，B选项利用基本不等式可求最小值，C选项利用“1”的代换可求的最小值，D选项把两个变量化为一个变量，再利用基本不等式求解即可.
【详解】对于A，由已知得，，，又，，故A正确；
对于B，由已知得，当且仅当，时等号成立，所以，得，故B正确；
对于C，，当且仅当，时等号成立，故C错误；
对于D，由已知得，，，又，.又，，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABD
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．
【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．
【详解】解：令，，因为，所以，
则，，所以,
所以
，
当且仅当，即，，即时取“”，
所以的最小值为.
故答案为：.
10．
【解析】先化简原式为，再换元设得原式，再换元设得原式可化为，再利用函数单调性得到函数的最大值.
【详解】，设，
所以原式=，
令
所以原式=.
(函数在上单调递增)
故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查基本不等式，考查函数y=+的图像和性质，考查换元法的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化的能力及数形结合的思想方法；(2)解答本题的关键是两次换元，第一次是设，第二次是设，换元一定要注意新元的范围.
11．##
【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.
【详解】由，得，，
则，
，当且仅当时取“=”，
所以当时，的最小值为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
12．##
【分析】通过换元使变量系数相同，巧用“1”的代换结合基本不等式即可求解.
【详解】解析：令，则，因为，所以.从而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
13．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.
【分析】（Ⅰ）根据均值不等式可以证明；
（Ⅱ）根据均值不等式和已知条件的灵活应用可以证明.
【详解】证明Ⅰ，b，，且，
，
，当且仅当时，等号成立
Ⅱ，，，
，
，
【点睛】本题主要考查不等式的证明，均值不等式是常用工具，侧重考查逻辑推理的核心素养.
14．（1）最小值是；（2）.
【分析】（1）根据题意，将式子化为，进而通过基本不等式求得答案；
（2）对式子进行参变分离，转化为求最值问题，进而求得答案.
【详解】（1）由题意可得，
则，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值是.
由题意可得恒成立，
令，得，则，
当且仅当，即时，等号成立.
由（1）可知，的最小值是，
故的取值范围是.
15．（1）；（2）12.
【分析】（1）由题意，，，由余弦定理、基本不等式，即可求的最大值；
（2）当时，求出，利用余弦定理、基本不等式，即可求出周长的最小值.
【详解】解：（1）由题意，，，
由余弦定理可得，
，
，
的最大值为；
（2）， ，
又，
，
，
周长为
当且仅当时，周长的最小值为12.
【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式，考查三角形面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题.
16．（1）；（2）的最小值20，
【分析】（1）利用基本不等式即可得解；
（2）由（1）知，，再利用基本不等式即可得解.
【详解】（1），，
，当且仅当，即时，等号成立.
所以.
（2）由（1）知，
，当且仅当时取等号，
显然要使成立，需满足，解得
综上可知，当，代数式取得最小值20.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
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