高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——2.2基本不等式(一般）（含答案）

一、单选题
1．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
2．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知，条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B． C． D．
6．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
二、多选题
7．若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（多选）已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木 ”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________ 里.
10．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
11．已知非负实数，满足，则的最小值为______________.
12．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为8的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏（如图所示）.要求上下各空0.25，左右各空0.25，相邻宣传栏之间也空0.25.设三个宣传栏的面积之和为S（单位：），则S的最大值为___________.
四、解答题
13．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米.
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a>0）；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队中标），求a的取值范围.
14．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
15．已知关于一元二次不等式的解集为.
(1)求函数的最小值；
(2)求关于的一元二次不等式的解集.
16．（1）证明：；
（2）若，，求的最大值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可.
【详解】对于选项A：若，
由基本不等式得，即，
当且仅当时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若，
，
，
当且仅当且，
即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，
，
即，
如时，，所以选项C不正确；
对于选项D：，当且仅当时取等
则有最大值，所以选项D不正确；
故选：B
2．D
【分析】当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解
【详解】当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
3．C
【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
4．A
【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.
【详解】因为，由得：，
则，
当且仅当，即时取等号，因此，，
因，，由，取，则，，即，，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
5．B
【分析】原不等式即，再利用基本不等式求得的最大值，可得的范围．
【详解】解：依题意得，当时， 恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，所以，解得的取值范围为．
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．
6．C
【分析】由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
【详解】因为，，，所以，
∴，
当且仅当取得等号，则的最小值为9.
故选：C
7．BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
8．AD
【分析】A选项，利用基本不等式和可得出该不等式的正误；B选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C选项，利用基本不等式以及可验证该选项中的不等式是否成立；D选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立.
【详解】对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号；
对于C，，当且仅当时取等号；
对于D，当，时，，，，
所以.
故选AD.
【点睛】本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题.
9．
【分析】根据题意得出，进而可得出，结合基本不等式求的最小值即可.
【详解】因为里步，由图可知，步里，步里，
，则，且，
所以，，所以，，则，
所以，该小城的周长为（里）.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．
【分析】由题得ab＝a＋b＋3≥2＋3，解不等式即得解.
【详解】∵a，b是正数，
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，
所以，
所以，
所以或，
所以ab≥9.
故答案为：
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．
【分析】将变形为，再借助“1”的妙用求解作答.
【详解】非负实数，满足，有，
则
，当且仅当，即时取“=”，
由，得，
所以当时，的最小值为.
故答案为：
12．
【分析】根据题意设矩形展示区的长为，则宽为，进而结合题意得，再根据基本不等式求解即可.
【详解】解：设矩形展示区的长为，则宽为，
因为该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏，要求上下各空0.25，左右各空0.25，相邻宣传栏之间也空0.25，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以S的最大值为
故答案为：
13．(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低
(2)
【分析】（1）设总造价为元，列出．利用基本不等式求解函数的最值即可．
（2）由题意可得，对任意的，恒成立，参变分离可得恒成立，即，利用基本不等式求解函数的最值即可．
(1)
解：设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为米，则屋子前面新建墙体长为米，
则
因为.
当且仅当，即时等号成立.
所以当时，，
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.
(2)
解：由题意可得，对任意的恒成立，
即，从而，即恒成立，
又.
当且仅当，即时等号成立.
所以.
14．（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.
【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；
（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.
【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.
又，所以.
所以宽的最大值为16米.
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立.
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，解不等式求出的取值范围，再利用基本不等式求的最小值；
（2）不等式化为，比较和的大小，即可得出不等式的解集.
(1)
因为关于一元二次不等式的解集为，
所以，化简可得：，解得：，
所以，
所以，
当且仅当即，的最小值为.
(2)
不等式，可化为，
因为，所以，
所以该不等式的解集为.
16．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由不等式，令，则有，即可证得.
（2）由（1）得，化简得到，再由，即可求解.
【详解】（1）因为，与且仅当时，等号成立，
令，则有，当且仅当时，等号成立，即.
（2）由（1）得，即，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，
当且仅当时，等号成立，即，即，等号成立，
所以，即，
所以当，时，取到最大值，且最大值为.
【点睛】利用基本不等式求解实际问题的解题技巧：
1、利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；
2、根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
3、在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
答案第1页，共2页
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