高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——2.3二次函数与一元二次方程、不等式（一般）（有答案）

一、单选题
1．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
2．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k不可以是（ ）
A． B． C．1 D．4
3．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
4．若且的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．记不等式 解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
8．若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为
三、填空题
9．若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
10．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为________________．
11．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为______
12．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________．
四、解答题
13．一个生产公司投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该公司通过引进先进技术，在生产线A投资减少了x万元，且每万元的利润提高了；若将少用的x万元全部投入B生产线，每万元创造的利润为万元，其中，．
(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围；
(2)若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润，求a的最大值．
14．解下列不等式(组)：
（1）
（2）.
15．设函数．
(1)若不等式的解集是，求不等式的解集；
(2)当时，在上恒成立，求实数的取值范围．
16．设函数．
（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；
（2）解不等式．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.
【详解】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
2．B
【分析】分别解一元二次不等式并根据充分不必要条件的集合关系得是的真子集，进而得或，再依次讨论各选项即可.
【详解】解：解不等式，得 ．
解不等式得 或．
“”是“”的充分不必要条件，
∴ 是的真子集，
∴ 或，解得：或，
则实数可以是ACD.
故选：B
3．A
【分析】，利用韦达定理可得答案.
【详解】关于x的方程有两个实数根，
，
解得：，
关于x的方程有两个实数根，，
，，
，即，
解得：或舍去
故选：A.
4．D
【分析】可得，且，所以，不等式可变为
，求解即可
【详解】由的解集为，
可得，且，所以，
不等式可变为，
即，
解得或，
所以的解集为，
故选：D
5．D
【分析】当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解
【详解】当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
6．B
【分析】求出集合，由分析知，求出集合，进而得出中有且只有两个正整数解的等价条件，列不等式组即可求解.
【详解】由可得：或，所以或，
因为中有且只有两个正整数解，所以，
对于方程，判别式，
所以方程的两根分别为：，，
所以，
若中有且只有两个正整数解，
则即，可得，
所以，
当时，解得，此时，不符合题意，
综上所述：a的取值范围为，
故选：B.
7．AC
【分析】根据一元二次不等式的解集可判断A正确；根据不等式的解集，可得方程的两根为、，利用韦达定理可得，代入相应不等式，结合的符号，化简后（求解），可判断BCD.
【详解】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
方程的两根为、，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，由的分析过程可知，所以
或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
8．ABD
【分析】先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解.
【详解】因为不等式的解集为，
所以，故，此时，所以A正确, B正确；
，解得：或.所以D正确；C错误.
故选：ABD
9．或.
【解析】根据一元二次方程根的分布建立不等式组，解之可得答案.
【详解】由题意得应满足解得：或.
故答案为：或.
【点睛】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.
10．
【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把用表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．
【详解】由不等式解集知，由根与系数的关系知
，则，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
11．
【分析】问题等价于不等式的解集中恰有个正整数，得出，且这三个正整数为，由此可求得答案.
【详解】解：因为不等式的解集中恰有个正整数，
即不等式的解集中恰有个正整数，所以，所以不等式的解集为，
所以这三个正整数为，所以，
故答案为：.
12．
【解析】由题意可得，然后求出不等式的解，结合已知条件可得出关于的方程，进而可求得的值.
【详解】由题意知，
因为函数的值域为，所以，，可得，
由可知，且有，解得，
所以，，，
所以，，解得.
故答案为：.
【点睛】利用一元二次不等式的解集求参数，一般转化为解集的端点值为对应的一元二次方程的根，可以利用韦达定理或者利用代入法求解.
13．(1)
(2)5.5
【分析】（1）分别列出技术改造前后利润根据题意列出不等关系求解即可．
（2）题中不高于可转化为式子之间的恒成立问题，通过参变分离结合基本不等式求最值，从而得参数范围．
（1）
由题设可得，
整理得：，而，故.
（2）
由题设得生产线的利润为万元，
技术改进后，生产线的利润为万元，
则恒成立，
故，而，故，
而，当且仅当时等号成立，
故，故的最大值为.
14．（1）；（2）或
【解析】（1）分别求解不等式和的解集，然后求交集得到不等式组的解集；
（2）分别求解和的解集，然后求交集得到不等式组的解集.
【详解】（1）由，解得或,
解得,
∴原不等式的解集为或；
（2）即，即,解得或;
即，即,解得,
或或，
所以不等式的解集为或
【点睛】本题考查不等式组的求解，利用分解因式方法转化求解二次不等式，然后求交集得到不等式组的解集.
15．(1)或
(2)
【分析】（1）由题意，是方程的解，利用韦达定理求解，代入，结合一元二次函数、方程、不等式的关系求解即可；
（2），代入转化不等式为，换元法求解的最大值即可
(1)
因为不等式的解集是，
所以是方程的解
由韦达定理
解得
故不等式为，
即
解得或
故不等式得其解集为或
(2)
当时，
在上恒成立，
所以
令，则
令，则，
由于均为的减函数
故在上为减函数
所以当时，取最大值，且最大值为3
所以
所以
所以实数的取值范围为.
16．（1）；（2）答案见解析．
【分析】（1）分别在和两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；
（2）将不等式整理为，分别在，和三种情况下求得结果.
【详解】（1）由知：，
当时，，满足题意；
当时，则，解得：；
综上所述：的取值范围为．
（2）由得，
即，即；
当时，解得：；当时，解得；当时，解集为．
综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
答案第1页，共2页
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