高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——3.1函数的概念及其表示（一般）（含答案）

一、单选题
1．设，，定义运算“△”和“”如下：，.若正数，，，满足，，则（ ）
A．△，△ B．，
C．△， D．，△
2．已知函数f(x)满足f(x-1)=2f(x)，且x当x[-1，0)时，f(x)=--2x+3，则当x[1,2)时，f(x)的最大值为（ ）
A． B．1 C．0 D．-1
3．已知函数的定义域与值域均为，则（ ）
A． B． C． D．1
4．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①当时，的最小值是5；
②与表示同一函数；
③函数的定义域是，则函数的定义域是；
④已知，，且，则最小值为．
A． B． C． D．
6．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数，，，则（ ）
A．的图象与轴有2个交点 B．有最大值1，无最小值
C．在上单调递增 D．是偶函数
8．已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
三、填空题
9．函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________．
10．当时，求函数的值域为________．
11．若，则______．
12．若函数，则______．
四、解答题
13．对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．
(1)求证：；
(2)设，若，求集合B．
14．如图，M为△ABC的中线AD上一点，，过点M的直线分别与边AB，AC交于点P、Q(均异于点A)，设，，记x的关系式为.
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）设的面积为S1，ΔABC的面积为S2，且，求实数k的取值范围.
15．已知直角三角形的周长为，试用解析式将该直角三角形的面积S表示成关于其一条直角边长x的函数.
16．根据下列条件，求f(x)的解析式.
（1）f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
（2）f(2x＋1)＝6x＋5；
（3）f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据所给运算，取特殊值检验即可排除ACB，得到答案.
【详解】令
满足条件，
则，可排除A,C；
令满足。
则，排除B;
故选：D
2．B
【解析】首先设，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.
【详解】设，，
，
，
，
，在区间单调递减，函数的最大值是.
故选：B
【点睛】思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数的解析式.
3．A
【分析】根据函数的定义域可得，，，再根据函数的值域即可得出答案.
【详解】解：∵的解集为，
∴方程的解为或4，
则，，，
∴，
又因函数的值域为，
∴，∴.
故选：A.
4．B
【解析】根据定义作出函数的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可．
【详解】
其中，，
即，
当时，当或时，由，得，
即或，
当时，当时，由，得，
由图象知若在区间，上的值域为，，则区间，长度的最大值为，
故选：．
【点睛】利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解.
5．B
【分析】利用基本不等式判断①④，根据相等函数的定义判断②，根据复合函数的定义计算法则判断③；
【详解】解：对于①当时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，故①错误；
对于②与表示同一函数，故②正确；
对于③函数的定义域是，，所以，解得，故函数的定义域是，故③错误；
对于④已知，，且，所以，则
，当且仅当，即，时取等号，故④正确；
故选：B
6．B
【解析】首先根据题中所给的函数解析式，结合偶次根式和分式的要求列出不等式组求得结果.
【详解】由题意得，即，
解得且，
所以函数的定义域为，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有求函数的定义域，在求解的过程中，关键在于列全限制条件，并准确求解不等式（组），属于简单题目.
7．ABC
【分析】令,得或,分四种情况：当时，当时，当时，当时，写出分段函数的解析式，作出的图象，即可得出答案．
【详解】解令,得,
化简得,
解得或,
当时，即时，此时,
作出的图象，如下：
当时，即时，此时,
作出的图像，如下：
当时，即时，此时,
作出的图像，如下：
当时，即时，此时,
作出的图像，如下：
综上，结合图形可得与轴有两个交点，故正确；
结合图形可得的最大值为1，无最小值，故正确；
结合图形可得在上单调递增，故正确；
结合图形可得不是偶函数，故不正确；
故选：．
8．BC
【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.
【详解】函数的定义域是，故A错误；
当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；
当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；
当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．
故选：BC．
9．
【分析】首先求得函数的解析式，然后利用函数的解析式分类讨论即可求得最终结果．
【详解】解：
当x∈时，设线段所在直线的方程为，线段过点（﹣1，0），（0，1），
根据一次函数解析式的特点，可得出方程组 ，
解得 ．故当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝x+1；
同理当x∈（0，1]时，f（x）＝x1；
当x∈[﹣1，0）时，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化为：
x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．
当x∈（0，1]时，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化为：
x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，
综上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集为 ．
故答案为：
10．
【分析】首先根据判断的正负，再将函数式转化为，根据均值不等式求解.
【详解】因为，所以，即，
所以，
又因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，则函数的值域为.
故答案为：.
11．
【分析】将用代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果.
【详解】由①，
将用代替得②，
由①②得.
故答案为：.
12．
【分析】利用换元法，令，再用表示代入原函数即可得.
【详解】令，则，
∴，故，
∴.
故答案为：.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】小问1：分别讨论与的情况，当时,设，则，即进而得证；
小问2：由可得,则,进而求解即可．
(1)
证明：若，则显然成立．
若，设任意，则，，
∴，故成立；
(2)
∵，∴，且，
即∴∴∴．
∵，∴，
∴，即，
∴，∴或或．
∴．
14．（1），定义域为；（2）.
【分析】（1）利用三点共线求得函数的解析式，根据的取值范围求得函数的定义域.
（2）求得的表达式，由此求得的表达式，进而求得的取值范围.
【详解】（1）
，
由于三点共线，所以，
.
由得，
所以函数的定义域为.
（2），
所以.
设，，故，
，，
对于函数，其在上递减，在上递增，
当时，，当时，，当时，，所以，
故，，
所以的取值范围是.
【点睛】要求参数的取值范围，首先把参数的表达式求出来，根据表达式的结构来求解取值范围.
15．
【分析】设一条直角边长x，设另一条直角边的边长为，则，再利用勾股定理进行化简，即可得到答案；
【详解】一条直角边长x，设另一条直角边的边长为，则，
由勾股定理得：，
，两边平方得：，
，将代入并化简得：，
故答案为： .
【点睛】本题考查勾股定理、函数关系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
16．（1）或；（2）f(x)＝3x＋2；（3）.
【分析】（1）设f(x)＝ax＋b(a≠0)，利用待定系数法，即可得出函数解析式；
（2）利用换元法，即可得出函数解析式；
（3）将x换成－x，建立方程组，即可得出函数解析式.
【详解】（1）由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1
由恒等式性质，得
或
∴所求函数解析式为或
（2）设2x＋1＝t，则
∴f(x)＝3x＋2.
（3）将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
【点睛】本题主要考查了利用换元法，待定系数法求函数解析式，属于中档题.
答案第1页，共2页
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