高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——3.2函数的基本性质（较难）（含答案）

一、单选题
1．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，若的图象关于直线对称，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
4．若奇函数满足，且当时，.则的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
5．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数的图象关于对称，且对，当时，成立，若对任意的恒成立，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
三、填空题
9．定义在R上的函数是减函数，的图象关于成中心对称，若s，t满足不等式，则当时，的取值范围是______.
10．定义在上函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：
①是周期函数；
②的图象关于对称；
③在上是增函数；
④．
其中正确命题的序号是______．
11．定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，x∈（－1，0）时f（x）<0，若，，c=f（0），则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为___________.
12．已知，若关于x的不等式f(x＋a)＞f(2a－x2)在区间[a－1，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
13．已知，函数.
（1）判断函数的奇偶性，请说明理由；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出，的取值范围.（只要写出结果，不需要写出解题过程）
14．已知函数为奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数在 上的值域．
15．已知函数（为常数）
（1）若函数图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数的值；
（2）设，若不等式在有解，求的取值范围；
（3）定义：区间（）的长度为，若，问是否存在区间，使得的值域为[6，7]，若存在，求出此区间长度的最大值与最小值的差.
16．定义：对于定义在上的函数和定义在上的函数满足；存在，使得．我们称函数为函数和函数的“均值函数”．
(1)若，函数和函数的均值函数是偶函数，求实数a的值；
(2)若,，且不存在函数和函数的“均值函数”，求实数k的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案.
【详解】由题意， 在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，
即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，
又，所以，则当时，有最大值.
2．D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】解法一：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
解法二：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
3．C
【分析】根据的图象对称性的定义，得到对于任意的实数恒成立，结合函数的单调性，对称性，的值域分析，可得对于且使得和取值在(时)或 (时)之外的所有实数的值恒成立，进而得到有无穷多实数根，从而求得.
【详解】∵，
∴函数关于直线对称，
由的图象关于直线对称，
则，
即对于任意的实数恒成立，
由于在和上时(或和上时))分别单调递减和单调递增，且对称轴为直线，
又∵和取值范围都是实数集,且除了时相等，其余情况下不相等，
∴对于且使得和取值在(时)或 (时)之外的所有实数的值恒成立，
∴有无穷多实数根，故,
故选：C.
4．B
【分析】由函数为奇函数和关于对称，可得函数周期为4，进而可得结果.
【详解】为奇函数，
，函数关于对称
所以函数周期为4，
故选：B
【点睛】关键点点睛：抽象函数有对称中心和对称轴，可推出周期.本题考查了逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.
5．C
【分析】若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案.
【详解】当时，单调递减，，
当时，单调递减，，
故在上单调递减，
由，得的对称轴为，
若对任意的，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
，
即，
即，
故实数的最大值为.
故选：C.
6．D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
7．BC
【解析】由已知得函数是偶函数，在上是单调增函数，将问题转化为对任意的恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线（即轴）对称，所以函数是偶函数.
又时，成立，所以函数在上是单调增函数.
且对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，
当时，恒成立，当时，，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，因此，
故选：BC.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.
8．ABD
【分析】令可推导得，结合的值可知A正确；令可推导得，结合可推导知B正确；根据单调性可知C错误；当时，根据的对称中心及其在时的值域可确定时满足，知D正确.
【详解】对于A，令，则，即，
又，；
令得：，，，，
则由可知：当时，，A正确；
对于B，令，则，即，
，
由A的推导过程知：，，B正确；
对于C，为上的增函数，
当时，，则；当时，，则，
不存在非零实数，使得任意，，C错误；
对于D，当时，；
由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；
当时，为上的增函数，，，，
；
由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定的对称中心，同时采用赋值的方式确定所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定所具有的其他性质.
9．
【分析】根据题意分析出为奇函数，从而由得，
然后结合即可求出.
【详解】因为的图象关于中心对称，所以的图象关于中心对称，
所以为奇函数，所以由得，
又因为函数是R上的减函数，
所以，化简得.
又，所以，
所以，而，故.
故答案为：.
10．①②④
【分析】令替换即可得出的周期为4；计算，再令得出为奇函数，用替换可得的对称轴；根据奇函数的对称性和对称轴得出在的单调性；根据和，即可得出.
【详解】由，可得，
所以函数的周期为4，所以①正确；
由，可得，解得，
在令，可得，所以，
即，所以函数为奇函数，
所以，即，
所以的图象关于对称，所以②正确；
因为在上是增函数，
又由，所以函数关于直线对称，
所以函数在为减函数，所以③错误；
由，可知，
因为，所以，所以④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性的综合应用及判定，属于中档试题.
11．c【分析】利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将a转化为，利用单调性比较大小即可.
【详解】因为定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，
令x=y=0，则f（0）－f（0）=f（0），解得f（0）=0，
设x因为x∈（－1，0）时f（x）<0，
所以，即f（x）－f（y）<0，
所以f（x）故函数f（x）在（－1，1）上为单调递增函数，
因为，
所以，
取，则，
则，
因为，
所以，即c故答案为：c12．
【解析】先确定函数单调性，再根据单调性化简不等式f(x＋a)＞f(2a－x2)，然后利用恒成立问题，根据二次函数最值分类求解.
【详解】在上单调递增，在上单调递增，
，
所以，在上单调递增，
因为不等式f(x＋a)＞f(2a－x2)在区间[a－1，a＋1]上恒成立，
所以，
在区间[a－1，a＋1]上恒成立，
当时，
，
，
，
当时，
，
，
，
当时，
，
，
或，
，
综上：或
故答案为：.
【点睛】本题主要考查分段函数单调性、不等式恒成立、二次函数最值，还考查了分类讨论思想和运算求解能力，属较难题.
13．(1)当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数；(2) ；(3)答案见解析.
【分析】(1)将给定函数按a值是否为0分类，再结合奇偶函数定义即可判断；
(2)根据a与区间的关系分类讨论求解即可；
(3)由给定条件借助函数图象即可得，的取值范围.
【详解】(1)当时，，则，是R上的奇函数，
当时，，，则有，且，即既不是奇函数，也不是偶函数，
所以，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数；
(2)因，则当时，，当且仅当时取“=”，即，
当时，，显然，即在上递增，，
当时，，对称轴，当时，，当时，，
综上得：
(3)当时，函数，函数在区间上既有最大值又有最小值，
当时，函数图象如上左图，由解得：，
则有，，
当时，函数图象如上右图，由解得：，
则有，，.
【点睛】思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑．
14．(1)5
(2)答案见解析
【分析】（1）由奇函数的定义即可求解；
（2）由题可得函数的图象可得函数的单调增区间，再通过分类讨论结合二次函数的图象及性质即求.
（1）
当时，，
此时，，
因为函数为奇函数，
所以，即，
解得；
（2）
由（1）知，如图所示：
如图所示，图象两侧虚线对应的对称轴分别为和，
当时，，；
∴函数在 上的值域为；
当时， ，，
∴函数在 上的值域为；
当时， ， ，
∴函数在 上的值域为；
当时， ，
∴函数在 上的值域为.
15．（1）；（2）当时，；当时，；（3）存在，最大值3，最小值1，差为2.
【分析】（1）根据题意，设点，结合两点之间的距离公式和均值不等式，即可求解；
（2）根据题意，可知在有解，令，则等价于在上恒成立，再结合开口向下的二次函数的图象性质，讨论即可求解；
（3）根据题意，结合的图象性质，可知，进而可求解.
【详解】（1）设点，
则点P到定点Q（0，2）的距离，
当时，，不合题意；
当时，由，得，
又因，所以，即，
解得.
（2）由不等式在有解，
得在有解，
令，则，
此时在有解，等价于在上恒成立，
令，，
因，所以在端点处取得最小值，
①当，即时，，故；
②当，即时，，故.
综上，当时，；当时，.
（3）由题意得，结合图象可知，在上单调递减，在上单调递增，且，，
因在区间上，的值域为[6，7]，
所以，，区间长度的最大值与最小值的差为，
故存在，且最大值3，最小值1，差为2.
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题可知函数为偶函数，即求；
（2）由题可知不存在使，又，所以时，即可，再利用二次函数的性质即得.
（1）
由题意可得为偶函数，
∴函数关于y轴对称，
∴即.
（2）
∵，
由得，
若不存在函数和函数的“均值函数”，则在上恒成立，
令，，对称轴为，
当时，显然不合题意，
当时，则，
解得，
综上实数k的取值范围为.
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