高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——3.2函数的基本性质（一般）（有答案）

一、单选题
1．函数在的图像大致为
A． B． C． D．
2．已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的图象关于直线对称
C．是奇函数 D．的图象关于点对称
3．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，都是上的奇函数，不等式与的解集分别为，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的可能取值是（ ）
A．－4 B．－1 C． D．2
8．已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（ ）
A．在上单调递减 B．
C． D．
三、填空题
9．已知是上的减函数，则实数的取值范围为______．
10．设函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则______．
11．已知函数为奇函数，则函数在区间上的最大值为______.
12．已知，，且，则的最大值是______．
四、解答题
13．已知函数f(x)对于任意x， y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0， f(1)＝－.
（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）求证：f(x)在R上是减函数；
（3）求f(x)在[－3， 3]上的最大值和最小值．
14．设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，．
（1）当时，求函数的解析式；
（2）若时，都有，求的取值范围．
15．定义在上的函数满足：①；②当时，；③对任意实数，都有.
（1）证明：当时，；
（2）判断在上的单调性；
（3）解不等式.
16．已知函数对一切实数都有，且当时，，又.
（1）试判定该函数的奇偶性；
（2）试判断该函数在上的单调性；
（3）求在上的最大值和最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
2．C
【分析】由周期函数的概念易知函数的周期为2，根据图象平移可得的图象关于点对称，进而可得奇偶性.
【详解】由可得2是函数的周期，
因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
所以，，所以是奇函数，
故选：C.
3．D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
4．C
【分析】把所解不等式利用有理数乘法的符号法则转化成不等式组，再借助奇函数的性质及给定的条件即可作答.
【详解】不等式化为：或，
由已知，解得，而，于是得，
因函数，都是上的奇函数，解得，即，变形为，从而得，
综上得或，
所以不等式的解集是.
故选：C
5．A
【分析】可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
【详解】根据题意可知，
可转化为，
所以在[0，+∞)上是增函数，又，
所以为奇函数，所以在R上为增函数，
因为，，
所以，
所以，
解得，
即x的取值范围是.
故选：A.
【关键点点睛】本题的关键是将不等式化为，从而构造函数，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.
6．D
【分析】根据题意，做出草图，再分，，三种情况讨论求解即可.
【详解】根据题意，画出函数示意图：
当时，，即；
当时，，即；
当时，显然成立，
综上.
故选：D
7．AC
【分析】把“求的解集”转化为“求的解集”，进而转化为观察两个函数图象的特征，即可求出不等式的解集．
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，由题意，画出函数在上的图象（如图），在同一坐标系内画出的图象，因为，所以，又，所以的图象与的图象交于和两点，即为，由图象可得，只需或，故A，C可能取到
故选：AC．
8．BCD
【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.
【详解】方法一：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，
由题意，得，关于直线对称，
易得奇函数的一个周期为4，，故C正确，
由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）
且的一个周期为4，所以，故D正确．
备注：，即，所以，
等式两边对x求导得，，
令，得，所以．
方法二：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C，将中的x代换为，
得，所以，
可得，两式相减得，，
则，，…，，
叠加得，
又由，得，
所以，故正确，
对于D，将的两边对x求导，得，
令得，，
将的两边对x求导，得，所以，
将的两边对x求导，得，
所以，故正确．
故选：BCD
9．
【分析】由题知，解不等式组即可得答案.
【详解】解：当时，为减函数，故
又因为是上的减函数，
所以，解得.
所以实数的取值范围为
故答案为：
10．
【分析】求出，即得解.
【详解】由题得，
令得.
，
.
所以.
故答案为：
11．
【分析】用奇偶性的定义，求出m，并判断函数的单调性即可.
【详解】函数的定义域为R，且函数为奇函数，
，即 ，解得m=2，
所以；
又在 时，若x增加，则导致增加，从而 增加，
所以 增加， 所以函数在区间上是增函数，
函数在区间上的最大值为，
故答案为：
12．
【分析】利用，，且，求出的范围，将消元得，利用二次函数的最值及倒数法则即可求得的最大值.
【详解】解：因为，，且，所以，
，
当时，取最小值，
所以取最大值，
故的最大值是.
故答案为：.
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）最大值是2，最小值是－2.
【分析】（1）由已知令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，由此可得证．
（2）在R上任取x1， x2，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)．再由已知判断f(x1)＞f(x2)，根据函数的单调性的定义可得证；
（3）由（2）得f(x)在R上是减函数，由此可求得函数的最值.
【详解】（1）证明：因为函数f(x)对于任意x， y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
（2）证明：在R上任取x1， x2，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
又因为当x＞0时，f(x)＜0，而x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，因此f(x)在R上是减函数．
（3）解：因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3， 3]上是减函数，所以f(x)在[－3， 3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2， f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3， 3]上的最大值是2，最小值是－2.
14．（1）；（2）
【分析】（1）根据函数的奇偶性确定函数在相应对称区间上的解析式即可；
（2）根据（1）中函数的解析式，运用构造新函数法求解不等式恒成立问题，从而求解出参数的取值范围.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，当时，．
当时，，则，整理得，
所以时，；
（2）由（1）知，当时，．
所以在 上恒成立，
化简为在上恒成立
设，所以其对称轴为：
当时，即时，上述不等式恒成立问题转化为 ，解得；
当时，即时，上述不等式恒成立问题转化为 ，
解得或
所以的取值范围为：.
15．（1）证明见解析；（2）在上是增函数；（3）.
【分析】（1）赋值法可直接求出结果；
（2）利用单调性得定义即可判断；
（3）根据题意原不等式等价于，然后利用函数得单调性解不等式即可.
【详解】（1）令，则，又，所以.
当时，，在中，令，
则，所以，又因为时，，故.
（2）设，且，则，所以且.
于是，故在上是增函数.
（3）由题意知，所以原不等式等价于.
由（2），在上是增函数得到，，，故此不等式的解集是.
16．（1）奇函数；（2）在上是减函数；（3）最大值是是，最小值是.
【分析】（1）令可得，再令可得答案；
（2）任取，得，由可得答案；
（3）由在上是减函数得最小，最大，利用和奇偶性可得答案.
【详解】（1）令，得，∴，
令，得，∴，∴为奇函数.
（2）任取，则，
∴，∴，
即在上是减函数.
（3）∵在上是减函数，
∴最小，最大，
又，
∴，
∴在上的最大值是是，最小值是.
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