高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——3.3幂函数（一般）（有答案）

一、单选题
1．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
2．已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．，且
5．已知，则函数的图像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列选项中正确的是（ ）
A．和在上的单调性相同
B．和在上的单调性相反
C．和在上的单调性相同
D．和在上的单调性相反
8．下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象是一条直线
B．若函数在上单调递减，则
C．若，则
D．函数的单调递减区间为
三、填空题
9．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.
10．已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______．
11．已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．
12．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．
四、解答题
13．已知幂函数(，)在区间上单调递减.
（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
14．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．
（1）求实数k的值；
（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
15．已知（）的图像关于y轴对称且在上随着x值的增大而减小，求的解析式及其定义域、值域，并比较与的大小.
16．（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．
（2）求函数的值域．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．
【详解】∵函数是幂函数，
∴，解得：m= -2或m=3．
∵对任意，，且，满足，
∴函数为增函数，
∴，
∴m=3（m= -2舍去）
∴为增函数．
对任意，，且，
则，∴
∴．
故选：A
【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x前的系数为1；
(2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．
2．C
【分析】由条件得，两个函数均关于点(0,3)对称，从而求得交点的横坐标和及纵坐标和.
【详解】由可知的图象关于点对称，
又因为的图象也关于点对称，
所以两个函数的图象的交点关于点对称，
即，，
所以，
故选：．
3．C
【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
4．B
【分析】根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，，为偶函数，故错误；
对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确；
对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；
对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
5．A
【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.
【详解】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.
故选：A
6．A
【分析】构造函数，容易判断为奇函数，且在R上单调递增，进而将原不等式转化为，最后根据单调性求得答案.
【详解】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a >1－2a，∴ a >．
故选：A.
7．BC
【分析】通过解方程组求出再判断单调性即得解.
【详解】解：由题得（1），
又 （2），
解（1）（2）得
在上单调递减（因为幂函数是上的增函数），
因为在上的单调性相反（单调递增单调递减），在上都是单调递减，
故选：BC
8．BC
【分析】根据即可判断A；
根据函数在上单调递减，得，从而可判断B；
令，则，从而求得函数的解析式，从而可判断C；
求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可判断D.
【详解】解：对于A，函数的图象是由分散的点组成的，故A错误；
对于B，因为函数在上单调递减，所以，解得，故B正确；
对于C，因为，令，则，
则，所以，所以，故C正确；
对于D，由函数，得，解得或，
即函数的定义域为，
令，函数在上递减，在上递增，
又函数为增函数，
所以函数在上递减，在上递增，故D错误.
故选：BC.
9．
【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.
【详解】因函数是幂函数，则，解得或，
当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，
当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，
不等式化为：，即，解得：，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
10．7或##或7
【分析】由幂函数的性质求解即可
【详解】令，．
由幂函数的性质，可知的图像关于原点对称或者关于y轴对称．
又因为函数在区间上的最大值为5，最小值为2，
所以，当的图像关于原点对称时，
在区间上的最大值为7，最小值为4，
在区间上的最大值为，最小值为，
于是在区间上的最大值为，最小值为．
所以在区间上的最大值与最小值的和为；
同理可得，当的图像关于y轴对称时，
在区间上的最大值为5，最小值为2．
所以在区间上的最大值与最小值的和为；
因此，在区间上的最大值与最小值的和为7或．
故答案为：7或．
11．
【分析】根据幂函数的性质求出的值，根据幂函数的单调性得到关于的不等式解出即可.
【详解】幂函数在上是减函数，
，解得，
，或．
当时，为偶函数满足条件，
当时，为奇函数不满足条件，
则不等式等价为，即，
在R上为增函数，
，解得：.
故答案为：.
12．
【分析】根据幂函数所过的点求出解析式，利用奇偶性和单调性去掉转化为关于的不等式即可求解.
【详解】设幂函数，其图象过点，
所以，即，解得：，所以，
因为，
所以为奇函数，且在和上单调递减，
所以可化为，
可得，解得：，
所以的范围为，
故答案为：．
13．（1）；（2）.
【分析】(1)利用幂函数的定义及性质结合已知条件列式计算即得；
(2)构造函数，再求出函数在指定区间上的最小值即可得解.
【详解】（1）因幂函数在区间上单调递减，所以，解得
又，，则，此时，，即，
所以的解析式是；
（2）由(1)得，于是得不等式在上恒成立，
令，由(当且仅当，即时等号成立)，即，
所以实数的取值范围是.
14．（1）2；（2）a＝0，b＝1．
【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值；
（2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解.
【详解】（1）为幂函数，
∴，解得或，
又在区间内的函数图象是上升的，
，
∴k＝2；
（2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且，
∴，即，
，∴a＝0，b＝1．
【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数最值的求法，是一道基础题.
15．，定义域为，值域为，.
【分析】根据幂函数的单调性及奇偶性确定函数解析式，再根据函数解析式求定义域及值域，利用单调性比较函数值的大小.
【详解】由题意可知，，
解得，
由图像关于y轴对称知为偶数，
所以m可取-1，
所以.
定义域为，值域为.
又，在上单调递增，
所以.
16．（1）作图见解析，定义域为；（2）.
【分析】（1）根据函数解析式，求出图象上的五个点坐标，描点即可画出图象，观察解析式即可得出定义域；
（2）设，从而有，即可得出的值域.
【详解】解：（1）由于，
则，，，
所以过点，
故的图象，如图所示，函数的定义域为；
（2）由题可知，
设，则，
当时取等号，故的值域为．
答案第1页，共2页
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