高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——3.1函数的概念及其表示（较难）（含答案）

一、单选题
1．已知函数若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
4．函数的值域为
A．[1, ] B．[1,2] C．[ ,2] D．[
5．已知函数．若，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
6．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若，则x的值是
E．的解集为
8．设函数其中表示中的最小者．下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数
B．当时，有
C．当时，
D．当时，
三、填空题
9．已知，若，则的最小值为________．
10．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是_____.
11．若集合，，其中，，，，是从定义域A到值域B的一个函数，则_____．
12．设函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，则的面积关于的函数解析式为______.
四、解答题
13．已知函数，当时，的取值范围是.
（1）求的值；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数有3个零点，求实数的取值范围.
14．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，
（1）求函数的“不动点”和“稳定点”；
（2）求证：；
（3）若，且，求实数的取值范围．
15．已知函数.
（1）求的值；
（2）写出函数的单调递减区间（无需证明）；
（3）若实数满足，则称为的二阶不动点，求函数的二阶不动点的个数.
16．已知函数的定义域为，对于定义域内的任意实数，有成立，且时，.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）已知（实数），求实数的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】作出和的图象，由题意可得不等式等价为的图象在图象的下方，通过图象观察可得所求范围．
【详解】作出函数的图象，以及函数|的图象，
由的图象关于直线对称，
对任意的恒成立，
即为的图象在的图象的下方，
由图象可得时，的图象在的图象的下方，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用数形结合思想方法，以及图象平移特点，属于中档题．
2．D
【分析】根据的范围，进而求得的范围，进行分类讨论，代入即可得解.
【详解】因为，
所以，
，
（1）当时，，
若要，只需要 ，
即，
所以；
（2）当时，，
若要，
只需要，即，
所以.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题考查了分段函数和复合函数的求参问题，考查了分类讨论思想和一定的计算能力，属于较难题.
3．D
【分析】等价于或，由有唯一解可得有两个不同的根，转化为的图象有两个交点，利用数形结合可得结果.
【详解】可变形为，
即或，
由题可知函数的定义域为，当时，
函数单调递增；当时，函数单调递减，
画出函数的大致图象，如图所示，
当且仅当时，，
因为方程恰有三个不同的实数根，
所以恰有两个不同的实数根，
即的图象有两个交点，
由图可知时，的图象有两个交点，
所以实数的取值范围为，故选D．
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、方程的根与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
4．D
【分析】因为函数，平方求出的取值范围，再根据函数的性质求出的值域.
【详解】函数定义域为： ，
因为，
又，
所以的值域为.
故选D.
【点睛】本题考查函数的值域，此题也可用三角换元求解.求函数值域常用方法：单调性法，换元法，判别式法，反函数法，几何法，平方法等.
5．D
【分析】画出的图像，根据求得的取值范围，再结合图像求得的取值范围.
【详解】画出函数图像如下图所示，由于，结合图像可知，且，，令，解得，令，解得.结合图像可知的取值范围是.
故选D.
【点睛】本小题主要考查分段函数图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
6．C
【分析】根据函数单调性可列关于、、的方程组，然后转化为关于或的函数可解决此题．
【详解】由题意得在，上单调递减，
因为函数的值域为，，
所以，
，
，，，，
，
，，结合可得：，，
，．
故选：．
7．BD
【解析】根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集.
【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误；
当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；
当时，，故C错误；
当时，，解得（舍去），当时，，解得
或（舍去），故D正确；
当时，，解得，当时，，解得，因此的解集为；故E错误.
故选：BD.
【点睛】此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解.
8．ABC
【分析】根据题意画出的大致图像,然后依据图像逐个检验即可．
【详解】画的图象如图所示：
对A选项，所以恒成立，故选项A正确；
对B选项，当 时, , 可以看做是向右平移两个单位，经过平移知恒成立, 故选项B正确；
对C选项，由图知, 当 时,, 可令 , 由 和 的图象知, 当 时, 在 的上方, 所以当 时, , 即 成立, 故选项正确；
对D选项，根据函数图像向右平移2个单位的图像不完全在原来函数图像上方知选项错误.
故选:
9．
【分析】由已知分段函数的图像和性质以及，可计算，进而分别构造，，再由双勾函数性质求最值即可.
【详解】解：已知分段函数在两端区间内都是单调函数，若，则必然分属两段内，
不妨设，则，即
当时，令，由双勾函数性质可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，此时不符合题意），
当时，令，由双勾函数性质可知在区间上单调递减，
所以，此时.
故的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查在分段函数的图象下由函数值相等转化自变量关系，还考查了构造函数求最值，属于难题.
10．（﹣∞，]；
【分析】因为，可得，分段求解析式，结合图象可得结论．
【详解】解：因为，，
，时，，，
，时，，，，；
当，时，由解得或，
若对任意，，都有，则．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用以及数形结合思想的应用，属中档题．
11．7
【分析】，，是从定义域A到值域B的一个函数，所以中的每一个元素在的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故与或相等，然后结合其他条件，分情况讨论进行求解．
【详解】解：由对应法则知，，，，
又，
∴，
∴
解得或(舍)
所以
于是，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了函数的定义，函数定义的本质是集合之间的对应关系，即一一对应或多对一的对应关系，掌握好函数的定义是解决本题的关键．
12．（且）
【分析】首先根据函数的图像与轴有两个交点，利用判别式求得的取值范围，利用韦达定理求得，然后利用三角形面积公式求得关于的函数解析式.
【详解】由于函数的图像与轴有两个交点，故，解得.要使能围成三角形，还需.函数对应的一元二次方程为，其两根满足，所以.所以（且）.
故填：（且）.
【点睛】本小题主要考查二次函数的性质，考查一元二次方程根于系数关系，考查三角形面积的计算，属于中档题.
13．(1) . (2) ；(3)
【分析】（1）讨论k的取值范围，说明在上的单调性，求出对应的值域，即可求出k的值；
（2）转换为对恒成立，换元求出的最小值即可；
（3）令，则，等价转换为有两个不等的实数解，且两解，满足，，利用根的分布，求出的取值范围.
【详解】解：（1）当时，在上是增函数，，与已知不符.
当且时，，当且仅当时，取等号.
在是减函数，在上是增函数.
当时，，，
此时，符合题意.
当时，由题意知，或，，求得而，不合题意.
∴.
（2）可化为，
∴.
∵，∴，
∴，时，取最小值0.
∴即的取值范围是.
（3）由题意知，，
令，则，函数有3个零点，
化为有两个不等的实数解，且两解，满足，，
设，则或，
∴即的取值范围是.
【点睛】本题考查根据函数的定义域与值域求参数、不等式恒成立求参数的取值范围、利用根的分布求参数的取值范围，其中涉及到换元法、等价转换等思想．属于难题．
14．（1）“不动点”为4，“稳定点”为4；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）由即可求出“不动点”，求方程中的值，即为“稳定点”；
（2）若，有这是不动点的定义，此时得出，，如果，则直接满足；
（3）先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.
【详解】（1）由，解得，
由有，解得，
所以函数的“不动点”为4，“稳定点”为4；
（2）证明：若，则，显然成立；
若，设，有，则有，
所以，故，
综上，；
（3）因为，所以方程有实根，即有实根，
所以或，解得，
又由得：，即，
由（1）知，故方程左边含有因式，
所以，又，
所以方程要么无实根，要么根是方程的解，
当方程无实根时，或，即，
当方程有实根时，则方程的根是方程的解，
则有，代入方程得，故，
将代入方程，得，所以.
综上：的取值范围是.
【点睛】关键点睛：作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求；求稳定点，就去求，完全根据定义去处理问题.需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.
15．（1）；（2），；（3）3个.
【分析】（1）根据分段函数解析式，直接代入相应的表达式进行计算即可.
（2）分，情况讨论，并根据所得解析式直接判断即可.
（3）写出的解析式，然后分，，进行讨论，并计算判断.
【详解】（1）因为，
所以，所以.
（2）因为，
当时，，递减区间为：；
当时，，递减区间为；
因此函数的单调递减区间为：，.
（3）由题可得：
当时，由，，解得或
即函数在上有唯一的二阶不动点.
当时，由，得到方程的根为，即函数在上有唯一的二阶不动点.
当时，由，由，，解得或
即函数在上有唯一的二阶不动点.
综上所述，函数的二阶不动点有3个.
【点睛】思路点睛：第（1）问要代入相对应的解析式；第（2）在于分类讨论并掌握常见函数的单调性；第（3）问在于写出函数的解析式，并进行分类讨论.
16．（1）4 （2）5.6 （3）
【解析】（1）根据定义可知,依次代入各段定义域,即可求得当时函数的解析式,即可求得最大值.
（2）先判断出,并求得当时的解析式,根据函数单调性,代入即可求解.
（3）求得当时的解析式,根据,代入解析式,并结合,即可求得的最小值及的最小值.
【详解】（1）因为函数的定义域为,对于定义域内的任意实数,有成立,
则
当时,.值域为
当时,,值域为
当时,,值域为
综上可知,当时,函数的最大值为.
（2）由（1）可知
当时,
且函数为单调递增函数
所以最大值为
故最大值为
（3）由（1）可知,当时,
而,所以
则设,则
所以,
,则
所以的最小值为
【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法,抽象函数解析式关系的应用,根据函数的单调性求最值,复杂方程的解法,属于难题.
答案第1页，共2页
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