高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——3.4函数的应用（一）（较易）（含答案）

一、单选题
1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为
A． B． C． D．
2．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
3．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：
级数 一级 二级 三级
每月应纳税所得额元（含税）
税率 3 10 20
现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ）A．1800 B．1000 C．790 D．560
4．已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）
A． B． C． D．
5．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站处建仓库，则为万元，为万元，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．有最大值 D．无最小值
6．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润收入成本)，该企业一个月应生产该商品数量为
A．万件 B．万件 C．万件 D．万件
二、多选题
7．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
8．“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：
（1）如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；
（2）如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；
（3）如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；
（4）如果购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠.
某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（ ）
A．如果购物时一次性全部付款99元，则购物总额为104元
B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元
C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元
D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元
三、填空题
9．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为______米．
10．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3(含3)，3到10(含10)每走1加价1.5元，10后每走1加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20，他应交费________元.
11．已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为______.
12．函数零点的个数为_____________.
四、解答题
13．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.
（1）求的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
14．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.
(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
15．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
16．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车 雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车 雪橇 高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【详解】试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．
考点：函数的解析式及常用方法．
【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式问题，其中解答中涉及到取整函数的概念，函数解析式的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中主要是读懂题意，在根据数学知识即可得到答案，对于选择题要选择最恰当的方法，试题有一定的难度，属于中档试题．
2．D
【分析】设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可．
【详解】解：设每生产单位试剂的成本为，
因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，
职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，
满足，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．
故选：D．
3．C
【解析】由题意分段计算李某的个人所得税额；
【详解】解：李某月应纳税所得额（含税）为：元，
不超过3000的部分税额为元，
超过3000元至12000元的部分税额为元，
所以李某月应缴纳的个税金额为元．
故选：．
【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，属于基础题．
4．A
【解析】令解不等式可得答案.
【详解】根据题意可得，解得，
则炮弹飞行高度高于的时间长为（s）.
故选：A.
5．D
【分析】根据题意求出、关于的表达式，可判断AB选项的正误；利用基本不等式可判断C选项的正误；利用函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，设，可得，所以，，则，A错；
对于B选项，设，可得，所以，，则，B错；
对于C选项，因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，令，则函数在上为减函数，
故无最小值，D对.
故选：D.
6．B
【分析】根据题中条件，结合利润收入成本，列出利润的表达式，再由配方法即可得出结果.
【详解】由题意可得，获得最大利润时的收入是万元，成本是，所以此时的利润为，当且仅当时，取最大值.
故选B
【点睛】本题主要考查函数的应用，根据题意列出函数的表达式，进而可求出结果，属于基础题型.
7．BD
【分析】根据图表逐项判断即可
【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；
由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.
故选：BD
8．BD
【分析】设购物总额为元，应付款元，根据题意求出的解析式，再根据解析式对四个选项逐个分析可得答案.
【详解】设购物总额为元，应付款元，
则，
即，
对于A，若元，则只能是，解得元，即购物总额为元，故A不正确；
对于B，当元时，元，即应付款为205.2元，故B正确；
对于C，当元时，元，即应付款为元，故C不正确；
对于D，若元，则只能是，解得元，即购物总额为元，故D正确.
故选：BD
9．
【分析】根据题意，建立适当的坐标系，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可得到答案．
【详解】以左边的树根为原点，地面水平线为 ，左边树为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线的对称轴为直线.过点，
故可设抛物线方程为，
当时，，解得.
.
绳子的最低点距地面的距离为米.
【点睛】本题考查点的坐标的求法以及二次函数的实际应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，属于中档题．
10．26.5
【分析】根据题意求出收费钱数y关于行车路程x的解析式，即可求解.
【详解】设x为行车路程，y为收费钱数，则，
∴当x=20时，.
故答案为：26.5.
11．1
【解析】根据定义得到，然后利用分段函数的性质求解.
【详解】由题意得：，
当或时，，
当时，，
综上：函数的最小值为1，
故答案为：1
12．2
【分析】函数零点的个数即方程实数根的个数，求出方程的实根即可得出答案.
【详解】函数零点的个数，即方程实数根的个数.
由，即或
由得或.
由无实数根.
所以函数的零点有2个.
故答案为：2
【点睛】本题考查求函数的零点个数问题，根据题目条件求出函数的零点即可，属于基础题.
13．（1）；（2）分钟.
【分析】(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解；
(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.
【详解】（1）由题意知，（k为常数），
因，则，
所以；
（2）由得，
即，
①当时，，当且仅当等号成立；
②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，
由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
14．(1)，
(2)投资债券类产品万元，股票类投资为万元，收益最大为万元
【分析】（1）设函数解析式，，代入即可求出的值，即可得函数解析式；
（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，则，代入解析式，换元求最值即可.
（1）
依题意：可设，，
∵，，
∴，.
（2）
设投资债券类产品万元，
则股票类投资为万元，年收益为万元，
依题意得：，
即，令，
则，，
则，，
所以当，即万元时，
收益最大，万元.
15．(1)
(2)百辆，最大利润为万
【分析】（1）根据题意分情况列式即可；
（2）根据分段函数的性质分别计算最值.
（1）
由题意得当时，，
当时，，
所以,
（2）
由（1）得当时，，
当时，，
当时，
，当且仅当，即时等号成立，
，时，，，
时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.
16．(1)
(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元
【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.
（1）
当时，；
当时，.
所以
（2）
当时，.
当时，取得最大值，且最大值为950.
当时，当且仅当时，等号成立.
因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页