高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——3.4函数的应用（一）（一般）（有答案）

一、单选题
1．若矩形的一边长为，周长为，则当矩形面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
2．某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额：
（1）如果标价总额不超过200元，则不给予优惠；
（2）如果标价总额超过200元但不超过500元，则按标价总额给予9折优惠；
（3）如果标价总额超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.
某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（ ）
A．550元 B．560元 C．570元 D．580元
3．为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）成正比（）；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作
A．30 B．40 C．60 D．90
4．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为（　　）
A．4小时 B．小时
C．小时 D．5小时
5．已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足．则求该城市旅游日收益的最小值是（ ）
A．480 B．120 C．441 D．141
6．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
二、多选题
7．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站10km处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是（ ）
A． B． C．有最小值4 D．无最小值
8．符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数是增函数
C．方程有无数个实数根 D．的最大值为1，最小值为0
三、填空题
9．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:
①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)
10．已知函数，若函数与轴有个交点，则实数的取值范围是_________．
11．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格与时间满足关系，销售量与时间满足关系则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值为______.
12．如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块对角线上，分别在边上，其他地方建停车场和路，设米.
则矩形的面积关于的函数解析式为_________.
四、解答题
13．如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米．
（1）求矩形所占面积S（单位：平方米）关于x的函数解析式；
（2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？
14．某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
15．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品 新技术 新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
16．已知，讨论函数的零点的个数．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】求出矩形的面积关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质可求得矩形面积的最值及其对应的值.
【详解】矩形另一边长为，且有，
面积为，所以，当时，取最大值．
故选：C.
【点睛】本题考查二次函数模型的应用，涉及二次函数最值的求解，考查计算能力，属于中等题.
2．C
【分析】先判断第一次购物不超过200，第二次不超过500，计算得到共购物650元，再计算得到答案.
【详解】若第一次购物超过200，则付款大于，故第一次购物不超过200元；
若第二次购物超过500，则付款大于，故第二次购物不超过500元；
第二次购物 合计
付款为
故选：
【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3．C
【解析】计算函数解析式，取，计算得到答案.
【详解】根据图像：函数过点，故，
当时，取，解得小时分钟.
故选：.
【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．C
【分析】根据图像求出函数的解析式，再将函数值0.25代入函数解析式，构造不等式，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起止时刻，它们之间的差值为服药一次治疗疾病的有效时间.
【详解】由题意，当时，函数图象是一个线段，由于过原点与点，故其解析式为，；
当时，函数的解析式为，此时在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得，解得，故函数的解析式为，.
所以，令，即，
解得，∴.∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式及解指数不等式，利用函数图像求出函数的解析式是解题的关键，考查学生的计算能力，属于一般题.
5．C
【分析】分别考虑当的情况，利用旅游人数乘以人均消费计算出旅游日收益：当时，利用基本不等式求解出旅游日收益的最小值，当时，直接根据函数的单调性分析出旅游日收益的最小值，由此求得最终结果.
【详解】记旅游日收益为，
当时，,，
所以，所以
所以，取等号时；
当时，，，
所以，显然在上单调递减，
所以，
由上可知：旅游日收益的最小值为万元，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题属于分段函数的实际应用问题，解答本题的关键在于对的合理分类，并通过函数的单调性以及基本不等式等方法完成函数最值的分析；解答函数的实际应用问题时，一定要注意分析定义域.
6．A
【分析】由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答．
【详解】由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．
【点睛】数形结合是解决此题的关键，本题关键是抓住斜率为解题的突破口．
7．BCD
【分析】对A，B，根据题意设，利用待定系数法分别求出关于的解析式，即可判断，对C，利用基本不等式即可判断；对D，根据在上的单调性即可判断.
【详解】解：对A，设，
由题意知：函数过点，
即，
，故A错误；
对B，，
由题意得：函数过点，
即，
解得：，
，故B正确；
对C，，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对D，在上单调递减，
故无最小值，故D正确.
故选：BCD.
8．AC
【分析】作出函数的图象，结合函数的图象对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可．
【详解】作出的图象如图：
对于A，由题意可知，所以A正确；
对于B，函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，函数在定义域上是周期函数，不是增函数，所以B错误；
对于C，函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以方程有无数个根，所以C正确；
对于D，由图可知，函数无最大值，最小值为0，所以D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是画出函数的图象，意在考查学生数形结合的数学思想的运用. 函数的图象是研究函数的一个重要手段，要在解题中灵活运用.
9．②③##③②
【分析】画出的图象，即可判断四个选项的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误.
故答案为：②③
10．
【解析】先将函数与轴有个交点，转化成与的交点问题，再作出分段函数的图像，利用数形结合求得范围即可.
【详解】依题意，函数与轴有个交点， 即与有3个交点，
作分段函数的图像如下，
由图可知，的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
11．176
【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得日销售额的最大值，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，设日销售额为，
①当，时，，故当或11时，最大值为；
②当，时，，
故当时，最大值为，
综合①②知，当或11时，日销售额最大，最大值为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中结合分段函数的解析式和二次函数图象与性质，分别求得函数的最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
12．
【解析】根据题目结合图形，将矩形的边用表示，代入面积公式即可表示出函数解析式，此题应注意的取值范围.
【详解】解：在直角中，
所以，
∴，
∴，
所以矩形的面积关于的函数解析式为.
【点睛】二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略：
（1）在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解；
（2）对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小；
（3）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值.
13．（1）；（2）休闲区的长和宽应分别为米，米.
【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；
（2）根据基本不等式求S最小值，再根据等号取法确定休闲区的长和宽.
【详解】（1）因为休闲区的长为x米，休闲区的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为米；从而矩形长与宽分别为米米，
因此矩形所占面积，
（2）
当且仅当时取等号，此时
因此要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽应分别为米，米.
【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．(1)小时
(2)小时
【分析】（1）根据，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于4，分段求解即可.
（1）
设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，
即血液含药量须不低于4微克，可得，
解得，
所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．
（2）
设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；
若，药物浓度，
解得，
若，药物浓度，
化简得，所以；
若，药物浓度，
解得，所以；
综上，
所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．
15．(1)
(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元
【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，
（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案
（1）
由题意知，当时，，所以a=300.
当时，；
当时，.
所以，
（2）
当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；
当时，，
当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.
因为，
所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.
16．答案见解析
【分析】利用数形结合的思想，将方程的零点个数问题，转化为图象交点个数问题
【详解】作出函数的图象（如图），则函数和函数的图象的交点个数即为函数的零点的个数．
当时，没有零点；
当或时，有2个零点；
当时，有3个零点；
当时，有4个零点．
答案第1页，共2页
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