高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——3.4函数的应用（一）（较难）（含答案）

一、多选题
1．已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ）
A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根
B．当时，恒有
C．若当时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
2．已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数x成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．常值函数为回旋函数的充要条件是；
B．若为回旋函数，则；
C．函数不是回旋函数；
D．若是的回旋函数，则在上至少有2015个零点.
二、填空题
3．若二次函数的图像和直线无交点，现有下列结论：
①方程一定没有实数根；②若，则不等式对一切实数都成立；
③若，则必存在实数，使；④若，则不等式对一切实数都成立；⑤函数的图像与直线也一定没有交点，其中正确的结论是__________．(写出所有正确结论的编号)
4．已知函数满足，函数，若函数与的图象共有12个交点，记作，则的值为______.
5．定义区间(a，b)，[a，b]，(a，b]，[a，b]的长度为d＝b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：(1，2)[3，5]的长度d=(2-1)+(5-3)=3，设f(x)=[x] {x}，g(x)=x-1，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，若用d表示不等式f(x)≥g(x)解集区间的长度，则当时x∈[-2009，2009]，d＝____．
6．已知函数，其中常数，给出下列结论：
①是上的奇函数；
②当时，对任意恒成立；
③的图象关于和对称；
④若对，使得，则．
其中正确的结论是 ．（请填上你认为所有正确结论的序号）
三、解答题
7．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
（1）设一次订购件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
8．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
9．设函数且．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，试判断函数的单调性．并求使不等式对一切恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上的最小值为，求的值．
10．已知函数，.
（1）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围.
（2）若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．AC
【分析】根据奇函数，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案
【详解】函数是奇函数，故在R上的解析式为：
绘制该函数的图象如所示：
对A：如下图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；
对B：当时，函数不是减函数，故B错误；
对C：如下图直线，与函数图交于，
故当的最小值为1时有，故C正确
对D：时，函数的零点有、、；
若使得其与的所有零点之和为0，
则或，如图直线、，故D错误
故选：AC
【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立
2．ACD
【解析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令，则必有 ，令，则，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得，再根据零点存在性定理，推得零点的个数.
【详解】A.若，则，则，解得：，故A正确；
B.若指数函数为回旋函数，则，即，则，故B不正确；
C.若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，令，则必有 ，令，则，显然不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C正确；
D. 若是的回旋函数，则，对任意的实数都成立，即有，则与异号，由零点存在性定理得，在区间上必有一个零点，可令，则函数在上至少存在2015个零点，故D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.
3．①②④⑤
【分析】函数的图像与直线没有交点，所以或恒成立.因为或恒成立，然后再逐一判断即可得出答案.
【详解】因为函数的图像与直线没有交点，
所以或恒成立.
因为或恒成立，
所以没有实数根，故①正确；
若，则不等式对一切实数x都成立，故②正确；
若，则不等式对一切实数x都成立，
所以不存在实数，使，故③错误；
若，则，可得，因此不等式对一切实数都成立，故④正确；
由函数与的图像关于y轴对称，
所以和直线也一定没有交点. 故⑤正确，
故答案为:①②④⑤.
4．72
【分析】考虑的对称中心，根据对称性确定交点间的关系，由此计算待求式子的值.
【详解】因为，所以关于点成中心对称，又因为，所以也关于点成中心对称，所以与的图象的交点也关于点成中心对称，不妨认为，所以有，所以.
【点睛】本题考查函数对称性的应用，难度较难.若函数满足，则的图象关于点中心对称.
5．2011
【分析】化简函数f(x)=[x]x-[x]2，对不等式f(x)≥g(x)分类讨论，求出解集而得.
【详解】f(x)=[x] {x}=[x] (x-[x])=[x]x-[x]2，g(x)=x-1，
f(x)≥g(x) [x]x-[x]2>x-1，即([x]-1)x≥[x]2-1，
当x∈[0，1)时，[x]=0，上式可化为x≤1，∴x∈[0，1)；
当x∈[1，2)时，[x]=1，上式可化为0≥0，∴x∈[1，2)；
当x∈[2，2009]时，[x]-1>0，上式可化为x≥[x]+1，而x<[x]+1，∴x∈ ；
当x∈[-2019，0)时，[x]<0，上式可化为x≤[x]+1恒成立，∴x∈[-2009，0）；
∴f(x)≥g(x)在-2009≤x≤2009时的解集为[-2009，2)，故d＝2011.
故答案为：2011
【点睛】解决问题的关键是读懂取整函数[x]的意义及符号{x}=x-[x]的意义.
6．①②
【分析】作出 的图象, 由图象对各选项进行判断即可. 当 时, , 当
时, , 当 时, , 由图易知①正确, ③错误;
的图象是由 向右平移 个单位, 故可得②正确; 对于④主要需注意求 范围, 考虑在 0 附近的值以及临界值的取舍.
【详解】试题分析: , 其图象如下图所示, 由于图象关于原点对称, 故①正确;
时, , 故可得 的图象是由 向右平移 个单位, 故可得②正确;
观察图可知③错误;
对于④：当 , 即 时 , 故当 从负方向接近于 0 时, 不满足题意, 当 , 即 时, , 同 上可知不满足题意, 当 , 即 时, 要使得和 时相对应时, 需满足 ,即 , 故④错误.
故答案为：①②.
【点睛】本题考查分段函数的图象，单调性，奇偶性等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，属于难题.
7．（1）
（2）当一次订购550件服装时，该厂获得的利润最大，最大利润为6050元
【详解】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．
（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60-（x-100）×0.02=62-0.02x．
（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x-40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62-0.02x）x-40x=22x-0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．
解：(1)当0当100∴p＝
(2)设利润为y元，则
当0当100∴y＝
当0当100y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，
∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.显然6 050>2 000.
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．
8．（1）
（2）甲户用水量为5x＝7.5吨，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
【详解】试题分析：（1）当，即时，，所以.-------1分
当,,
即,.------3分
当,即时,
综上:-------5分
(2)由(1)知:当时, ;当时, ;当时, .所以若甲、乙两户共交水费26.4元时, ------7分
所以,解得:；-------9分
所以甲户用水量为7.5吨,应缴水费元;乙户用水量为4.5吨，应缴水费元．-------10分
考点：分段函数的实际应用题．
点评：本题主要考查分段函数函数模型的构建及利用函数模型解决实际问题，属于基础题．
9．(1)奇函数
(2)
(3)
【分析】(1)用证明奇偶性的定义，可证得为奇函数.
(2)利用题目条件求出的范围，再将转化为不等式恒成立问题求解即可.
(3)用换元法转化为新函数（二次函数），再分类讨论参数，分别求出函数的最小值为2.从而求出的值.
(1)
的定义域为，关于原点对称，且)，
为奇函数．
(2)
且．
，，
又，且，
，
故在上单调递减，
不等式化为，
，即恒成立，
，
解得；
(3)
，，即，
解得或舍去)，
，
令，由(1)可知为增函数，
，，
令，
若，当时，，；
若时，当时，，解得，无解；
综上，.
10．（1）或或；（2）或.
【分析】（1）求出的最大值，可知恒成立，可得，，进而构造函数，只需，求解即可；
（2）可求得在上的值域为，可知，且对任意，总存在唯一，使得成立，进而分，和三种情况分别讨论，从而可求出的取值范围.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，，故，
要使对任意，，不等式恒成立，只需，
所以，即.
记，因为，所以只需，即，
解得或或.
故的取值范围为或或.
（2）当时，；
当时，，因为，当且仅当时，等号成立，所以，
所以函数在上的值域为.
因为对任意，总存在唯一，使得成立.
故，且对任意，总存在唯一，使得成立，
以下分三种情况讨论：
①当，即时，则，解得；
②当，即时，则，解得；
③当，即时，或，
所以，
综上，的取值范围为或.
【点睛】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查不等式恒成立问题，考查方程存在解问题，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
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