7.4.1 二项分布-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 课件（19张PPT）

(共19张PPT)
7.4.1 二项分布
重点：n重伯努利实验，二项分布及其数字特征；
难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布。
通过具体实例，了解伯努利试验与n重伯努利试验；
通过具体实例，了解二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题
问题1：伯努利试验
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
(1）同一个伯努利试验重复做n次；
(2) 各次试验的结果相互独立.
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).
追问1：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验 如果是，那么其中的伯努利试验是什
么 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？
1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
随机试验 是否为n重伯努利试验 伯努利试验 P(A) 重复试验的次数
1
2
3
是
是
是
抛掷一枚质地均匀的硬币
某飞碟运动员进行射击
从一批产品中随机抽取一件
0.5
0.8
0.95
10
3
20
追问2 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同
伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.
进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.
问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：
试验结果 X的值
3
2
2
1
2
1
1
0
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得
P(X=3)=P()=
为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82×0.2，并且与哪两次中靶无关.因此，3次射击恰好2次中靶的概率为.同理可求中靶0次、1次、3次的概率.
于是，中靶次数X的分布列为：
追问1：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？
写出中靶次数X的分布列.
(1)表示中靶次数X等于2的结果有： , ,, , , ,共6个。
(2)中靶次数X的分布列为：
概念新授
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作X~B(n,p).
1.二项分布中，各个参数的意义？
n：重复试验的次数；k：事件A发生的次数；p：在一次试验中，事件A发生的概率.
2.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：
一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；
二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.
概念新授
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作X~B(n,p).
思考1：二项分布与两点分布有何关系
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.
思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？
如果把p看成b，1-p看成a，则就是二项式的展开式的通项，由此才称为二项分布。
即
例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.
解：设A=“正面朝上”，则P(A）=0.5.用X表示事件A发生的次数，X~B(10,0.5).
(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是
;
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是
例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。
解：设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且P(A)=P()=0.5.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10，0.5）.于是，X的分布列为
,10.
X的概率分布图如下图所示：
例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为
.
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0，3：1或3：2因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为.
例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3，0.6).
甲最终获胜的概率为=P(X=2)+P(X=3)= =0.648.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B(5，0.6).甲最终获胜的概率为
+
=0.68256
因为，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）.
方法归纳
问题3：假设随机变量X服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？
问题3：假设随机变量X服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？
一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).
课堂小结
1.二项分布的定义：
2.确定一个二项分布模型的步骤:
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作X~B(n,p).
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）.
3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).