数学北师大版（2019）必修第一册1.4.1一元二次函数教案（2）

第一章　预备知识
第4节　一元二次函数与一元二次不等式
4.1一元二次函数
二次函数是中学数学中一个非常重要的函数，作为考察学生函数性质掌握情况的一个重要载体，其地位非常重要，它贯穿于中学函数学习的始终。在初中阶段，学生已经对二次函数的图象和性质有了初步了解，本节在回顾初中所学知识基础上，对其图象、性质以及图象变换将作进一步的学习研究，为利用二次函数性质解一元二次不等式做好铺垫，也为今后继续深入学习函数的性质打下基础。
(1)知识目标：
熟练掌握二次函数一般形式和顶点形式，及利用配方法化二次函数一般式为顶点式的方法；掌握二次函数与的图象变换方法，并由二次函数图象得到其相关性质。
(2)核心素养目标：
利用函数解决相关数学问题，体会数学内容之间的内在联系，提高学生直观想象与数学运算素养。
（1）熟练利用配方法，将二次函数一般式化为顶点式；
（2）掌握二次函数与的图象变换方法；
（3）二次函数的相关性质。
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复习引入
初中学习了一元二次函数，它图象是一条抛物线。
思考讨论：
（1）二次函数的图象经过怎样的变换得到的图象？
（2）二次函数的图象经过怎样的变换得到的图象？
（3）二次函数的图象经过怎样的变换得到的图象？
提示：(1)的图象
(2)的图象
(3)的图象
即
二、新知识
1、函数称为一元二次函数的一般式，函数称为一元二次函数的顶点式，其中点为抛物线的顶点。
注意：①一元二次函数的一般形式化成顶点式的方法——配方法；
一元二次函数的顶点为
②一元二次函数的图象变为的图象的变换方法：
的图象
即
左右平移的原则：“左加右减”，上下平移的原则：“上加下减”
③一元二次函数还有一种形式：，其中是抛物线与轴两个交点的横坐标，所以这种形式叫一元二次函数的交点式。
2、一元二次函数的性质
（1）一元二次函数的图象是一条抛物线
当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下
抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线
（2）若，抛物线开口向上
在区间上，函数值随自变量的增大而减小，
在区间上，函数值随自变量的增大而增大，
当时，函数取得最小值，记作.
（的情况同学们自行完成）
例1.已知一元二次函数.
（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
解：（1）由配方法
函数的图象
即
（2）函数图象开口向上，对称轴为；
在区间上，函数值随自变量的增大而减小，
在区间上，函数值随自变量的增大而增大，
当时，函数取得最小值3，即.
思考讨论(综合练习)：
(1)设二次函数的图象顶点为，与轴的两个交点间的距离为6，求二次函数的函数式；
(2)已知二次函数图象过点，图象向左平移2个单位后关于轴对称，向下平移1个单位后与轴只有一个交点，求二次函数的函数式.
提示：(1) 二次函数的图象顶点为，
设函数为，即
抛物线与轴的交点的横坐标即方程的根，设为
则，由韦达定理
，得
所以二次函数为.
(2)由题意，变换后的函数图象关于轴对称，又与轴只有一个交点，所以顶点就在原点
设此时的函数为，向上平移1个单位为，再向右平移2个单位为，即为原来的二次函数，
其图象过点，代入，得
故次函数为，即.
三、课堂练习
教材P33，练习1、2.
四、课后作业
教材P40，习题1-4，A组第4、5题.
(1)二次函数图象的平移原则“左加右减，上加下减”；
(2)有关二次函数的性质、二次方程以及二次不等式的问题，常常结合二次函数的图象（抛物线），采用数形结合的数学思想方法来解决.