高中 数学北师大版（2019）必修第一册8.2数学建模的主要步骤教案

数学建模的主要步骤
【教学目标】
知道数学建模的主要步骤.
【教学重难点】
实际问题的数学模型.
【教学过程】
一、基础知识
数学建模活动的主要步骤如下：
二、实例探究
【提出问题】
在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15s，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？
【建立模型】
经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设：
（1）通过路口的车辆长度都相等；
（2）等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；
（3）绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
（4）前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；
（5）车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞.
将车辆长度记作l，车距记作d，经过实际调查，取l=5m，d=2m较为合理.
另据调查，一般的汽车按照十字路口的加速状态，10s内可从静止加速到21m/s，加速度记作a，计算可得a=2.1m/s2，为了简化，这里取a=2m/s2.汽车加速到最高限速后，便以这个最高限速行驶.
资料显示，城市十字路口的限速v*=40km/h～11.1 m/s.
延时时间记作T，经观察，取T=1s较为合理，用tn表示第n辆汽车开始启动的时间，则tn=nT.用tn*表示第n辆车到达最高限速的时间，则汽车做匀加速运动的时间是
用Sn(t)表示时刻t第n辆汽车所在的位置，停车线位置记作0，则Sn(0)=-(n-1)(l+d).这样，实际问题就可以表述为数学问题：求满足Sn（15）>0的n的最大值，其中
【求解模型】
代入各个量的参数值，可以计算出绿灯亮至15s时若干辆汽车的位置，如表：
汽车 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
位置/m 124.6 106.5 88.4 70.3 52.2 34.1 16.0 -2.1
由表可见，绿灯亮至15s时，第7辆车已经驶过停车线16.0m，而第8辆车还距停车线2.1m，没有通过.因此，15s的绿灯最多可以通过7辆汽车.
【检验结果】
到十字路口实地调查，对结论做检验.若没有明显误差，就可以使用这个模型.否则，再修改假设，重新建模.
三、课后作业
到十字路口实地调查，对结论做检验.若没有明显误差，就可以使用这个模型.否则，再修改假设，重新建模.