华东师大版九年级数学上册23.4中位线 同步达标测试题（含答案）

2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《23.4中位线》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P为△ABC外一点，连接AP、BP，点M、N分别为AP、BP的中点，若MN＝2，则BC的长为（　　）
A．2 B． C． D．5
2．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°则∠PFE的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．35°
3．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　）
A．0.5 B．1 C．3.5 D．7
4．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF＝（　　）度．
A．25 B．30 C．45 D．35
5．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
7．如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
8．如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
10．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二．填空题（共10小题，满分40分）
11．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 　 　时，有EF⊥GH．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E分别是边CA，CB的中点，∠CAB的平分线与DE交于点F，则CF的长为 　 　．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为 　 　．
14．如图，将边长为4的等边△ABC沿射线BC平移得到△DEF，点G，H分别为AC，DF的中点，连接GH，点P为GH的中点，连接AP，CP．当△APC为直角三角形时，BE＝　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE、BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．若∠A＝80°，则∠GFH＝　 　°．
16．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　．
17．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF＝3，△OAB的周长是14，则AC+BD＝　 　．
18．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，那么＝　 　．
19．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E、F分别为AB、AD的中点，BC＝2，CD＝，则EF的长为 　 　．
20．如图，已知四边形ABCD中，∠A＝90°，M、N分别是AB、BC上的点，E、F分别是DN、MN的中点，如果AD＝6，AM＝2，则EF的长为 　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
21．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．
22．如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G．
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM＝2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长．
23．如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．
求证：（1）DE∥BC；（2）．
24．已知：点D、E分别是△ABC的边BC、AC边的中点．
（1）如图①，若AB＝10，求DE的长；
（2）如图②，点F是边AB上一点，FG∥AD，交ED的延长线于点G，求证：AF＝DG．
25．如图1，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．
（1）求证：EF＝AB．
（2）如图2，在△ABC外作∠EAG＝∠FEA，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵点M、N分别为AP、BP的中点，
∴AB＝2MN，
∵MN＝2，
∴AB＝4，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝，
故选：C．
2．解：∵P是BD的中点，E是DC的中点，
∴PF是△DBC的中位线，
∴PF＝BC，PF∥BC，
∴∠FPD＝∠CBD＝30°，
同理，EP＝AD，EP∥AD，
∴∠EPD＝180°﹣∠ADB＝80°．
∴∠EPF＝110°，
∵AD＝BC，
∴EP＝FP，
∴∠PFE＝×（180°﹣110°）＝35°，
故选：D．
3．解：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△GAF和△CAF中，
，
∴△GAF≌△CAF（ASA），
∴AG＝AC＝3，CF＝FG，
∴BG＝AB﹣AG＝1，
∵CF＝FG，CE＝EB，
∴EF＝BG＝0.5，
故选：A．
4．解：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△ADB的中位线，
∴EG＝AB，EG∥AB，
∴∠EGD＝∠ABD＝20°，
同理可得：FG＝CD，FG∥CD，
∴∠DGF＝180°﹣∠BDC＝110°，
∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝130°，
∵AB＝CD，
∴EG＝FG，
∴∠GEF＝×（180°﹣130°）＝25°，
故选：A．
5．解：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH（ASA）．
∴AH＝AB＝4，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝3，
∵BD＝DH，BE＝EC，
∴DE＝HC＝，
故选：D．
6．解：延长CF交AB于G，
∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG＝AC＝4，FG＝CF，
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1，
故选：A．
7．解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，
∴DE＝2MN＝3，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，
故选：A．
8．解：连接EC，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，故①正确；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠FAE，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC，故②正确；
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴∠DAE＝90°，故④正确；
∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，
∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；
即正确的个数是3个，
故选：C．
9．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，
∵BD∥CH，
∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，
∵∠A＝90°，
∴∠ECH＝∠A＝90°，
在△DNB和△HNC中，
，
∴△DNB≌△HNC（ASA），
∴CH＝BD＝4，DN＝NH，
在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，
∴EH＝＝＝5，
∵DM＝ME，DN＝NH，
∴MN＝EH＝2.5，
故选：A．
10．解：延长AF、BC交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
在△ACF和△GCF中，
，
∴△ACF≌△GCF（ASA），
∴CG＝AC＝7，AF＝FG，
∴BG＝CG﹣CB＝3，
∵AE＝EB，AF＝FG，
∴EF＝BG＝1.5，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分40分）
11．解：连接EG、GF、FH、HE，
∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，
∴EG＝AB，FH＝AB，EH＝CD，FG＝CD，
当AB＝CD时，EG＝FH＝EH＝FG，
则四边形EGFH为菱形，
∴EF⊥GH，
故答案为：AB＝CD．
12．解：延长CF交AB于G，过G作GH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵点D，E分别是边CA，CB的中点，
∴DE∥AB，AD＝CD，
∴∠AFD＝∠FAB，
∵AF是∠CAB的平分线，
∴∠CAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∴AD＝DF＝CD，
∴∠AFC＝90°，
在△ACF和△AGF中，
，
∴△ACF≌△AGF（ASA），
∴AG＝AC＝6，CF＝GF，
∴BG＝4，
∵∠C＝90°，GH⊥BC，
∴AC∥GH，
∴GH＝，BH＝，
∴CH＝BC﹣BH＝，
∴CG＝＝，
∴CF＝CG＝，
故答案为：．
13．解：连接DF，AF，EF，
在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵点G是DE的中点，点F是BC的中点，
∴AG＝DG＝EG，AF＝BF，AF⊥BC，∠DAF＝45°，
∴∠DAF＝∠B＝45°，
∵FG＝AG，
∴FG＝DG＝EG，
∴△DFE是直角三角形，且∠DFE＝90°，
∵∠DFA+∠AFE＝∠BFE+∠AFE＝90°，
∴∠DFA＝∠EFB，
在△AFD和△BFE中，
，
∴△AFD≌△BFE（ASA），
∴AD＝BE＝2，
∴AE＝4，
在Rt△ADE中，DE＝＝2，
故答案为：2．
14．解：①当∠APC＝90°时．
∵∠APC＝90°，M为AC中点．
∴PG＝AG＝CG＝AC＝2．
∵PG＝2，点P是线段GH的中点．
∴GH＝2PG＝4．
即△ABC向右平移4．
∴BE＝4．
②当∠ACP＝90°时．
∵GH∥BF．
∴∠PGC＝∠ACB＝60°．
∴∠GPC＝30．
∵G为AC中点，AC＝4．
∴CG＝2．
在Rt△GCP中，∠GCP＝90°，∠GPC＝30°．
∴GC＝PG．
∴PG＝2CG＝4．
∵点P是线段GH的中点．
∴GH＝8
即△ABC向右平移8．
综上所述，BE＝4或8，
故答案为：4或8．
15．解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵G、F分别为ED、EB的中点，
∴GF∥DB，
∴∠GFE＝∠ABE，
同理，FH∥EC，
∴∠FHB＝∠C，
∵∠EFH是△FBH的一个外角，
∴∠EFH＝∠EBC+∠FHB＝∠EBC+∠C，
∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝∠ABE+∠EBC+∠C＝∠ABC+∠C＝100°，
故答案为：100．
16．解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH＝OA＝（6﹣2）＝2．
∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝4，
同理△PHE中，HE＝PH＝2．
∴HG＝HE+EG＝2+2＝4．
∴在Rt△PHG中，PG＝．
故答案是2
17．解：如图，∵点E、F分别是线段AO、BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴AB＝2EF．
又∵EF＝3，
∴AB＝6．
∵△OAB的周长是14，
∴AB+OA+OB＝14，即6+OA+OB＝14，
∴OA+OB＝8．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA，BD＝2OB．
∴AC+BD＝2（OA+OB）＝16．
故答案是：16．
18．解：连接AM，设DN＝x，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
又∵M是DE中点，
∴DM＝DE，
∴DM＝BC，
又∵DM∥BC，
∴DN：BN＝DM：BC，
∴DN：BN＝1：4
∴x：（x+AB）＝1：4，
∴AB＝6x，
∴AN＝2x，
∴S△DMN＝S△ADM，
又∵S△ADM＝S△ADE；S△ADE＝S△ABC，
∴S△DMN＝S△ABC．
∴S△DMN：S△ABC＝1：24．
19．解：连接BD，
在Rt△BCD中，∠C＝90°，BC＝2，CD＝，
则BD＝＝，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝，
故答案为：．
20．解：如图，连接DM，
∵E、F分别是DN、MN的中点，
∴EF＝DM．
∵∠A＝90°，AD＝6，AM＝2，
∴DM＝＝＝2．
∴EF＝．
故答案是：．
三．解答题（共5小题，满分40分）
21．解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF＝BD，
同理：ME∥AC，ME＝AC，
∵AC＝BD
∴ME＝MF
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OGH，
同理，∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG
∴OG＝OH．
22．解：（1）四边形DEFG是平行四边形，
理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点，
∴EF＝BC，EF∥BC，
同理DG＝BC，DG∥BC，
∴EF＝DG，EF∥DG，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠BOC＝90°，
∵M为EF的中点，OM＝2，
∴EF＝2OM＝4，
∴BC＝2EF＝8．
23．证明：（1）延长AD、AE，交BC于F、G；
∵BE⊥AG，
∴∠AEB＝∠BEG＝90°；
∵BE平分∠ABG，
∴∠ABE＝∠GBE；
∴∠BAE＝∠BGE；
∴△ABG是等腰三角形；
∴AB＝BG，E是AG中点；
同理可得：AC＝CF，D是AF中点；
∴DE是△AFG的中位线；
∴DE∥BC．
（2）由（1）知DE是△AFG的中位线，
∴DE＝FG；
∵FG＝BG+CF﹣BC，且AB＝BG，AC＝CF；
∴FG＝AB+AC﹣BC，即DE＝（AB+AC﹣BC）．
24．（1）解：∵点D、E分别是△ABC的边BC、AC边的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∵AB＝10，
∴DE＝5；
（2）证明：∵DE∥AB，FG∥AD，
∴四边形AFGD是平行四边形，
∴AF＝DG．
25．（1）证明：如图1，∵DB＝BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴∠AEB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴EF＝AB．
（2）证明：如图2，∵AF＝AB，EF＝AB，
∴AF＝EF，
∴∠EAB＝∠FEA，
∵∠EAG＝∠FEA，
∴∠EAB＝∠EAG，
∵BE⊥CD，
∴∠AEB＝∠AEG＝90°，
在△ABE和△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（ASA）．