华东师大版九年级数学上册23.4中位线 解答专项练习题（含答案）

2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《23.4中位线》解答专项练习题（附答案）
1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，E为BC的中点．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB＝4，AC＝6，求DE的长．
2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
3．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
4．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．
（1）求证：BD＝DE；
（2）求DM的长．
5．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．点O是△ABC内的动点，点G，F分别是OB，OC的中点．
（1）求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是正方形，请直接给出OA应满足的条件是　 　．
6．如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，且BD是△ABC的角平分线．求证：BE＝AF．
7．△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．
8．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．
9．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
10．如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE．M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连接M、N、P．
（1）求证：MN＝PN．
（2）∠MNP的大小是　 　度．
11．如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB＝90°，设AD＝x，BC＝y，且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0．
（1）求AD和BC的长；
（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；
（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由．
12．如图：已知梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AD，BC的中点，连接DF并延长交AB的延长线于点G，请解答下列问题：
（1）△BFG≌△CFD吗？为什么？
（2）试说明EF＝（AB+CD）且EF∥AB，EF∥CD．
13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是对角线BD、AC的中点，EF＝3，BC＝10，求AD的长．
14．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，点F在AB上．CF＝BF，且CE⊥BC交AD于E，连接EF．已知EF⊥CE，
（1）若CF＝10，CE＝8，求BC的长．
（2）若点E是AD的中点，求证：AF+DC＝BF．
15．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长．
16．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CN⊥AD于E交AB于N，F是AC的中点，FE的延长线交BC于M．试判断BM＝MC的正确性．如果正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由．
17．如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．
求证：（1）DE∥BC；（2）．
18．如图，△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且CA＝CD，∠ACB的平分线交AD于点F，E是AB的中点．
（1）求证：EF∥BD；
（2）若∠ACB＝60°，AC＝8，BC＝12，求四边形BDFE的面积．
19．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．
20．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
求证：EG、HF互相平分．
21．已知：点D、E分别是△ABC的边BC、AC边的中点．
（1）如图①，若AB＝10，求DE的长；
（2）如图②，点F是边AB上一点，FG∥AD，交ED的延长线于点G，求证：AF＝DG．
22．如图1，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．
（1）求证：EF＝AB．
（2）如图2，在△ABC外作∠EAG＝∠FEA，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．
参考答案
1．（1）证明：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH，
∴BD＝HD，又E为BC的中点．
∴DE∥AC；
（2）解：∵△ADB≌△ADH，
∴AH＝AB＝4，
∴CH＝AC﹣AH＝2，
∵BD＝HD，又E为BC的中点，
∴DE＝CH＝1．
2．解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得 AC＝＝＝4
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝AC＝．
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得 DO＝＝＝．
3．解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF．
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD＝＝2，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DH＝DC＝，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝2×＝2．
4．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°．
在△ADB与△ADE中，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD＝DE．
（2）∵△ADB≌△ADE，
∴AE＝AB＝12，
∴EC＝AC﹣AE＝8．
∵M是BC的中点，BD＝DE，
∴DM＝EC＝4．
5．（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且DE＝BC，
∵G、F是OB、OC的中点，
∴GF∥BC且GF＝BC，
∴DE∥GF且DE＝GF，
∴四边形DGFE是平行四边形；
（2）解：AO＝BC，AO⊥BC时四边形DGFE是正方形，
理由如下：
∵D、G分别是AB、OB的中点，
∴DG∥AO，DG＝AO，
又∵AO＝BC，AO⊥BC，
∴DG⊥GF，DG＝GF，
∴四边形DGFE正方形，
故答案为：AO＝BC，AO⊥BC．
6．证明：连接DE，
∵点D、E、F分别是AC、BC、AB中点．
∴DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF＝DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝AF．
7．证明：连接DE，FG，
∵BD，CE是△ABC的中线，
∴D，E是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
同理：FG∥BC，FG＝BC，
∴DE∥FG，DE＝FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF∥DG，EF＝DG．
8．解：△PMN是等腰三角形．
理由如下：
∵点P是BD的中点，点M是CD的中点，
∴PM＝BC，
同理：PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形．
9．解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝6，GF＝CF，
则BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1．
10．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠ABC＝∠ADE＝60°，∠ACB＝∠AED＝60°．
∴∠ADE＝∠AED＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
∴AD＝AE．
∴BD＝CE．
∵M、N分别为DE、BE的中点，
∴MN＝BD．
∵N、P分别为BE、BC的中点，
∴NP＝CE．
∴MN＝PN．
（2）∵MN∥BD，
∴∠MNE＝∠ABE，
∵∠ENP＝∠NBP+∠NPB，
∵PN∥EC，
∴∠NPB＝∠C＝60°
∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠EBC+∠NPB＝60°+60°＝120°，
故答案为：120．
11．解：（1）∵AD＝x，BC＝y，且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0，
∴AD＝3，BC＝4．
（2）AD∥BC，
理由是：∵在△AEB中，∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
又∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∴AD∥BC．
（3）能．
如图，过E作EF∥AD，交AB于F，
∵AD∥BC（已证），EF∥AD，
∴AD∥EF∥BC，
则∠DAE＝∠AEF，∠EBC＝∠BEF，
∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠EAF＝∠AEF，∠EBF＝∠BEF，
∴AF＝EF＝FB，
又∵EF∥AD∥BC，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF＝＝，
∴AB＝7．
12．解：（1）△BFG≌△CFD，
∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠G，∠C＝∠FBG，
在△BFG和△CFD中，
，
∴△BFG≌△CFD；
（2）∵△BFG≌△CFD，
∴BG＝CD，
∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴EF＝AG，EF∥AB，又AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴EF＝（AB+CD）且EF∥AB，EF∥CD．
13．解：连接AE，并延长交BC于点G，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BGE，
∵E是BD中点，
∴DE＝BE，
在△ADE和△GBE中，
，
∴△ADE≌△GBE（AAS），
∴BG＝AD，AE＝EG，
∵F是AC的中点，
∴CG＝2EF＝2×3＝6，
∴AD＝BG＝BC﹣CG＝10﹣6＝4．
14．解：（1）过点F作FH⊥BC于点H，
∵CE⊥BC，EF⊥CE，
∴四边形CEFH是矩形，
∴CH＝EF，
在Rt△CEF中，CF＝10，CE＝8，
∴EF＝6，
∴CH＝6，
∵CF＝BF，
∴BC＝2CH＝12；
（2）连接EH，交CF于点G，
∵四边形CEFH是矩形，
∴CG＝GF，EG＝GH，
∴EG是梯形ADCF的中位线，GH是△BCF的中位线，
∴EG＝（AF+DC），GH＝BF，
∴AF+DC＝BF．
15．解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，
∴FG∥DB，GH∥EC．
∴∠DBE＝∠FGE，∠EGH＝∠AEG．
∠FGH＝∠FGE+∠EGH＝∠ABE+∠BEA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°．
（2）如图所示：连接FM、HM．
∵M、H分别是BC和DC的中点，
∴MH∥BD，MH＝．
同理：GF∥BD，GF＝．
∴四边形FGHM为平行四边形．
∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，
∴GH＝＝3，，
由（1）可知：∠FGH＝90°，
∴四边形FGHM为矩形．
∴∠GHM＝90°．
∴GM＝＝5．
16．解：结论BM＝MC正确．
证明过程如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠NAE＝∠CAE．
∵CE⊥AD，
∴∠AEN＝∠AEC＝90°．
∵AE＝AE，
∴△ANE≌△ACE．
∴NE＝CE．
∵F为AC的中点，
∴AF＝CF．
∴EF∥AB．
∵AF＝CF，
∴BM＝MC．
17．证明：（1）延长AD、AE，交BC于F、G；
∵BE⊥AG，
∴∠AEB＝∠BEG＝90°；
∵BE平分∠ABG，
∴∠ABE＝∠GBE；
∴∠BAE＝∠BGE；
∴△ABG是等腰三角形；
∴AB＝BG，E是AG中点；
同理可得：AC＝CF，D是AF中点；
∴DE是△AFG的中位线；
∴DE∥BC．
（2）由（1）知DE是△AFG的中位线，
∴DE＝FG；
∵FG＝BG+CF﹣BC，且AB＝BG，AC＝CF；
∴FG＝AB+AC﹣BC，即DE＝（AB+AC﹣BC）．
18．（1）证明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，
∴CF是AD边的中线，
∵E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BD；
（2）解：∵∠ACB＝60°，CA＝CD，
∴△CAD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，AD＝DC＝AC＝8，
∴BD＝BC﹣CD＝12﹣8＝4，
过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∴AM＝AD＝×8＝4，
S△ABD＝BD AM＝×4×4＝8，
∵EF∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴S△AEF＝×8＝2，
四边形BDFE的面积＝S△ABD﹣S△AEF＝8﹣2＝6．
19．（1）证明：如图1中，
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，
∴△ABD是等腰三角形，
∴BE＝DE，
∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．
（2）结论：EF＝（AB﹣AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠APE，
∴AB＝AP，
∵AE⊥BP，
∴E为BP的中点，
∴BE＝PE，
∵点F为BC的中点，
∴BF＝FC，
∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．
20．证明：连接EH，GH，GF，
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴AB∥EH∥GF，GH∥BC，∴GH∥BF．
∴四边形EHGF为平行四边形．
∵GE，HF分别为其对角线，
∴EG、HF互相平分．
21．（1）解：∵点D、E分别是△ABC的边BC、AC边的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∵AB＝10，
∴DE＝5；
（2）证明：∵DE∥AB，FG∥AD，
∴四边形AFGD是平行四边形，
∴AF＝DG．
22．（1）证明：如图1，∵DB＝BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴∠AEB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴EF＝AB．
（2）证明：如图2，∵AF＝AB，EF＝AB，
∴AF＝EF，
∴∠EAB＝∠FEA，
∵∠EAG＝∠FEA，
∴∠EAB＝∠EAG，
∵BE⊥CD，
∴∠AEB＝∠AEG＝90°，
在△ABE和△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（ASA）．