第5节 力的分解
人教版教参补充题
1.一个质量为的物体受到三个共点力的作用，这三个力的大小和方向刚好构成如图3-5-1所示的三角形，则这个物体所受的合力是（ ）
A B . D.0
解析：由三角形定则可知，与的合力为，因此选项B正确。
答案：B
2.力的合成和分解在生产和生活中有着重要作用，下列说法中正确的是（ ）
A.高大的桥要造很长的引桥，减小斜面的倾角，是为了减小汽车重力沿桥面向下的分力，达到行车方便和安全的目的
B.幼儿园的滑梯很陡，为的是增加小孩滑滑梯时受到的重力，从而使小孩下滑得更快
C.运动员做引体向上（缓慢上升）动作时，双臂张开很大的角度时要比双臂竖直平行时觉得手臂用力大，是因为张开时手臂产生的合力增大
D.帆船能够逆风行驶，说明从力的效果来看，风力一定能分解出沿船前进方向的分力
解析：幼儿园的滑梯很陡，为的是增加小孩子所受重力沿滑梯向下的分力，选项B说法错误；运动员做引体向上（缓慢上升）动作时，双臂张开很大的角度时要比双臂竖直平行时觉得手臂用力大，是因为合力一定时，分力随两分力之间夹角的增大而增大，选项C说法错误，选项A、D说法正确。
答案：AD
3.如图3-5-2所示，光滑半球形容器固定在水平面上，为球心，一质量为的小滑块，在水平力的作用下静止在点。设滑块所受支持力为（支持力的方向垂直于接触面，即指向圆心），与水平方向的夹角为。下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D
解析：对物体的受力分析如图3-5-3所示，由力的平衡可知，=、=，选项A正确、选项B、C、D错误。
答案：A
4.如图3-5-4所示，一物块用两根无弹性的轻绳悬在空中，现保持绳的位置不变，让绳在竖直平面内由水平方向向上转动，则在绳由水平转至竖直的过程中，绳的拉力大小变化情况是（ ）
A.一直变大 B.一直变小
C.先变大后变小 D.先变小后变大
解析：对结点受力分析如图3-5-5所示，由图可以看出绳的拉力先减小后增大，选项D正确。
答案：D
5.一个质点在和两个力作用下，沿与成30°角的直线运动，已知=10 N，要使为最小值，应等于 N，与运动方向间的夹角是 。
解析：如图3-5-6所示，当与垂直时，质点沿直线运动且的值最小，因此应等于5 N，与运动方向间的夹角是60°。
答案：5 60°
6.生活中离不开刀刃劈物体，如图3-5-7所示是刀刃的横截面，是作用在刀背上的力，若刀刃的横截面是等腰三角形，劈的夹角为，求刀刃劈物体时对物体侧向推力的大小。
解析：将力沿其两个作用效果的方向分解如图3-5-8所示，则有，由边角关系知，=90°，又因为，解得，。
答案：两侧向推力大小相等，。
7.如图3-5-9所示，若斜面的倾角为30°，小车重10，若把重力沿垂直于墙面和垂直于斜面两个方向分解，则重力垂直于墙面的分力大小为多少牛？垂直于斜面的分力大小为多少牛？
解析：对小车所受重力分解如图3-5-10所示，则有重力垂直于墙面的分力=30°= N，
重力垂直于斜面的分力== N。
答案： N N
其他版本的题目
广东教育版
一质量为200 kg的物体，置于倾角为30°的斜面上，求物体所受重力沿斜面和垂直于斜面方向的分力。（取=10 ）
解析：把重力分解为沿斜面的分力和垂直于斜面的分力，如图3-5-11所示。
由几何关系可知
sin
cos
代入数据得
sin =200×10×sin 30° N=1 000 N
cos =200×10×cos 30° N=1 732 N
即沿斜面的分力大小为1 000 N，垂直于斜面的分力大小为1 732 N。
答案：1 000 N 1 732 N
上海科技教育版
1.如图3-5-12所示，匈牙利的大力士曾创造过用牙齿拉动载重汽车的纪录。现设一辆载重汽车的质量为17 t，大力士牙齿的拉力为1 900 N，绳子与地面的夹角为30°，则牵引汽车向前的力为。
解析：拉力在水平方向上的分力即为牵引汽车向前的力，则1 900×cos 30° N=1 645 N。
答案：1 645 N
2.一位同学不幸因某次事故造成小腿受伤，在医院中用如图3-5-13所示的装置进行牵引治疗。不计定滑轮的摩擦和绳子质量，则这个牵引装置对他脚的水平牵引力为，作用于脚和腿总的向上的力为 。
解析：牵引装置对他脚的水平牵引力为50 N+50×cos 30°N=93.3 N，
作用于脚和腿总的向上的力为50 N+50×sin 30°N=75 N。
答案：93.3 N 75 N
补充资料
力的分解的几种常见情况
（1）已知两个分力的方向，求两个分力的大小。如图3-5-14所示，已知和、，显然该力的平行四边形是唯一的，即的大小也唯一确定。
（2）已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向。如图3-5-14所示，已知及，显然此平行四边形也是唯一确定的，即另一个分力的大小和方向只有唯一答案。
（3）已知一个分力的大小和另一个分力的方向，即及的大小已知。这时又可能有下列情形：
①，有两个平行四边形，即有两解，如图3-5-15甲所示；但若≥，则只有一个解，如图乙所示。
②＝ ，有一个平行四边形，即唯一解，如图丙所示。
③< ，此时构不成平行四边形，即无解，如图丁所示。
第5节 力的分解
1.理解力的分解的概念，强化“等效替代”的物理思想。
2.理解力的分解是力的合成的逆运算。
3.初步掌握一般情况下力的分解要根据实际需要来确定分力的方向。
4.会用作图法和直角三角形的知识求分力。
5.能区别矢量和标量，知道三角形定则，了解三角形定则与平行四边形定则的实质是一样的。
1.力的分解：如果一个力的作用效果可以用几个力来 ，这几个力称为这一个力的 。求一个力的分力的过程叫做力的分解。力的分解是力的合成的 。同样遵循 ，即以已知力作为 画平行四边形，与已知力共点的平行四边形的 表示两个分力的大小和方向。
2.矢量与标量
像位移、速度、力等这种既有大小，又有方向的物理量叫 量；像时间、质量、温度等只有大小，没有方向的物理量叫 量。矢量与标量的根本区别在于它们的运算法则不同：标量的运算法则为 法（或 法），矢量的运算法则为 定则或 定则。
3.矢量运算法则
（1）平行四边形定则：如图3-5-1甲所示，平行四边形的两个邻边表示两个分矢量和，它们所夹的对角线表示合矢量。线段的长度表示矢量的 ，方向由 表示。
（2）三角形定则：如图3-5-1乙所示，三个矢量和F构成一个三角形，其中首尾连接的矢量为两个分矢量，从一个矢量的箭尾指向另一个矢量的箭头的矢量为 ，矢量三角形三条边的长度和方向分别表示三个矢量的大小和方向。
1.将某个力分解为两个不为零的力，下列情况具有唯一解的是（ ）
A.已知两个分力的方向，并且不在同一条直线上
B.已知一个分力的大小和方向
C.已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D.已知两个分力的大小
2.如图3-5-2所示，一个物体放在水平面上，对物体施加一个倾角为30°斜向上的力，当这个力从零开始增加时，物体所受的摩擦力将（ ）
A.逐渐增大
B.逐渐减小
C.先逐渐增大，后逐渐减小
D.先逐渐减小，后逐渐增大
3.如图3-5-3所示，重物静止，试根据力的作用效果把重物的重力分解，并把分解示意图画在对应的图上。
一、力的分解
（一）合力与分力的关系
演示实验：在演示板上先用一个弹簧测力计（力）把橡皮筋的结点拉到点,然后再用三个或四个弹簧测力计沿不同方向拉结点到点。
1.这个实验说明了什么呢？
结论： 。
拓展：几个力共同作用的效果如果跟原来一个力产生的效果相同，那么这几个力就叫做原来那一个力的分力。求几个力的合力的过程叫做力的合成；而求一个已知力的分力的过程叫做力的分解。力的分解是力的合成的 ，力的分解也遵循 。
2.我们知道不论有多少个共点力都可以用一个合力来等效替代，即力的合成是唯一的。那么力的分解是否也是唯一的呢？
现象：通过实验我们发现，可以用多组不同的力来达到同样的效果。
结论：既然可以用多组不同的力来达到同样的效果，也就是说力的合成是 ，但力的分解 。
3.力的分解遵循平行四边形定则，如果没有其他限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形，那么我们要如何分解一个力呢？
结论：力的分解的方法：
（1） ；
（2） 。
（二）感知分力的方向
1.实验过程：如图3-5-4甲所示，将橡皮筋套在中指上，将铁钉与橡皮筋连接，钉尖端卡在手心处，用另一只手向下拉铁钉与橡皮筋的连接处，体会一下向下的拉力产生的效果？
总结：（1）拉力有沿 的拉力与沿 的压力。
（2）图3-5-4乙中拉力分解成和，压铁钉，拉伸橡皮筋。
说明：尽管力的分解没有确定的结果，但在解决具体的物理问题时，一般都按力的作用效果来分解。
2.问题分析：（播放录像：牛耕地、人拉旅行箱等）
（1）牛对犁的拉力的作用效果是怎样的？应如何分解这个力呢？
结论：有两个作用效果：一是 ；二是 。
（2）人拉旅行箱时，人的拉力的作用效果是怎样的？应如何分解这个力呢？
结论：有两个作用效果：一是 ；二是 。
例1 把一个物体放在倾角为的斜面上。物体受到重力，大小为，方向竖直向下，如图3-5-6甲所示（物体还受到其他力的作用，图中没有画出）。现在需要沿平行于斜面的方向和垂直于斜面的方向对物体的运动分别进行研究，为此建立直角坐标系如图乙所示。现在把重力沿两个坐标轴的方向分解为和如图丙所示，求两个分力的大小。
说明：向学生强调两个力的作用点均在物体上，因此对于不能说成是对斜面的压力，而应是使物体压紧斜面的力。
例2 如图3-5-7所示，一重力为的光滑小球放在倾角为的光滑斜面和竖直的挡板之间，则小球对斜面的压力和对挡板的压力分别为多大？
归纳总结：求一个已知力的实际分力的方法步骤：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
例3 如图3-5-8所示的三脚架，段水平，段与竖直方向成53°角，端挂有一个重3 N的物体，点受到一个＝3 N，方向向下的作用力，试将此力分解，求其两个分力的大小及方向。
说明：通过以上实例探究及分析，我们基本知道如何求分力，一般是根据力的作用效果确定分力的方向，再作力的平行四边形或力的三角形，由几何关系求出分力。
二、矢量相加的定则
1.力是矢量，求两个力的合力时，能不能简单地把两个力的大小相加呢？
结论：
不能简单地把两个力的大小相加，而要按 来确定合力的大小和方向。凡是矢量在合成与分解时都要遵循 。
2.什么是三角形定则？如何根据平行四边形的性质推导出矢量合成的三角形定则。
结论：
三角形定则：求两个互成角度的共点力、的合力，可以把表示、的线段 相接地画出，把、的另外两端连接起来，则此连线就表示 ，如图3-5-9（b）所示。显然，三角形定则是平行四边形定则的简化，本质相同。
例4 已知和作用于同一点，如图3-5-10所示，试求它们的合力。
说明：（1）在求三个或三个以上的共点力的合力时，可采用矢量相加的三角形定则。如图3-5-11（a）所示，求、、、这四个共点力的合力，可不必用平行四边形定则将它们逐个合成，而是将表示这些力的矢量依次首尾相接，那么从第一个力矢量的始端到最后一个力矢量的末端的矢量就表示这几个共点力的合力，如图3-5-11（b）所示。
（2）对同一直线上的矢量进行加减时，可沿着矢量所在直线选定一个正方向，规定凡是方向跟正方向相同的矢量都取 ，凡是方向跟正方向相反的矢量都取 ，这样便可将矢量运算简化为
运算。矢量的正负仅表示矢量的方向，不表示矢量的大小。如-10 N的力比5 N的力大，而不能机械地套用数学中正数一定大于负数的结论。不在同一条直线上的矢量，则不能用正、负表示 。
1.关于力的分解，下列说法正确的是（ ）
A.力的分解的本质就是用同时作用于物体的几个力产生的效果代替一个力的作用效果
B.分力的大小一定大于合力的大小
C.力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则
D.一个力往往根据它产生的效果来进行分解
2.请将图3-5-12中电线对点的拉力按其作用效果进行分解。
1.高大的桥为什么要造很长的引桥？
2.公园的滑梯为什么较陡？
3.早期的石匠用钢钎劈石头，他们选用较细的钢钎在被劈的大石块上凿一个深孔，然后把一根较粗的钢钎安放于孔内，如图3-5-13所示用铁锤沿钢钎的方向用力一砸，石块就会被劈开。钢钎对石块产生什么作用效果？坚硬的石块为何能被小小的钢钎劈开？
第5节 力的分解
一、力的分解
1下列说法中正确的是（ ）
A.一个2 N的力能分解为7 N和4 N的两个分力
B.一个2 N的力能分解为7 N和9 N的两个分力
C.一个6 N的力能分解为3 N和4 N的两个分力
D.一个8 N的力能分解为4 N和3 N的两个分力
2.重物静止在倾角为的斜面上，将分解为垂直斜面向下的力和沿斜面向下的力，则（ ）
就是物体对斜面的压力
B.物体对斜面的压力方向与相同，大小为
就是物体受到的摩擦力
D.物体所受静摩擦力方向与相同，大小为
3.把一个力分解为两个力时，下列说法中正确的是（ ）
A.一个分力变大时，另一个分力一定会变小
B.两个分力可同时变大、同时变小
C.不论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的2倍
D.不论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
4.如图3-5-1所示，在倾角为的斜面上，放一质量为的小球，小球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力是（ ）
A. B.
C. D.
5.物体静止在斜面上，当斜面倾角变小时，下列说法正确的是（ ）
A.物体对斜面压力增大
B.物体对斜面静摩擦力增大，方向沿斜面向下
C.物体不会沿斜面下滑
D.物体对斜面静摩擦力减小，方向沿斜面向上
6.将一个大小为25 N的力分解成两个分力，其中一个分力的大小是20 N，则
（1）求另一个分力的最小值和最大值；
（2）如果另一个分力的方向跟合力成53°角，则它的大小可能是多大？
7.（1）如图3-5-2甲所示，小球挂在墙上，绳与墙的夹角为。绳对球的拉力产生什么样的作用效果，
可以分解为哪两个方向的分力来代替？
（2）如图乙所示，如果这个小球处于静止状态，重力产生什么样的作用效果，可以分解为哪两个方向的分力来代替？
8.如图3-5-3所示，锅炉被安装在等高的混凝土地基上，＝90°，锅炉重 N。试求两处受到的压力大小。
9.如图3-5-4所示，重50 N的重物，用两根长均为＝30 cm的细绳悬在水平天花板上，悬点、间距离为48 cm，试求：两细绳中张力的大小。
二、矢量相加的定则
10.如图3-5-5所示,有五个力作用于一点，构成一个正六边形的两个邻边和三条对角线，设=10 N，则这五个力的合力大小为（ ）
A.10（2+） N
B.20 N
C.30 N
D.0
11.如图3-5-6所示，质量为的木块在推力的作用下，在水平地面上向左运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为，重力加速度为,那么木块所受滑动摩擦力的大小？
12.如图3-5-7所示，在点系住一重物，细绳两端分别固定在墙上，使保持水平，与水平方向成30°角。已知细绳最大只能承受200 N的拉力，那么点悬挂物体的重量最多为多少，这时细绳的哪一段即将被拉断？
参考答案
1. BC 解析：力的分解是力的合成的逆运算，由|－|≤≤＋知，选项B、C正确。
2. B 解析：是重力的两个分力，其作用点均在重物上，选项A、C错误；由力的分解可知，B正确；物体所受斜面的静摩擦力方向沿斜面向上，大小为sin，选项D错误。
3. BD 解析：当两个分力夹角很大时，任何一个分力都可能大于合力的2倍，选项C错误；当两个分力方向相同时，两个分力取最小值，此时＝＋，显然、不能同时小于合力的一半，选项D正确；由于两个分力的大小与两个分力夹角有关，所以一个分力变大，另一个分力可变大，也可变小，选项A错误，选项B正确。
4. B 解析：如图3-5-8所示，小球的重力的两个分力与、大小相等，方向相反，故＝ ，球对挡板的压力＝＝，选项B正确。
5. AC 解析：由重力垂直斜面向下的分力为和沿斜面向下的分力为 知，选项A、C正确。
6. （1）5 N 45 N （2）15 N
解析：（1）由|－|≤≤＋知，
另一个分力的最小值为25 N-20 N=5 N，
另一个分力的最大值为25 N+20 N=45 N。
（2）如图3-5-9所示，由力的分解的规律可知，当另一个分力的方向跟合力成53°角时，另一个分力的值为25°N=15 N。
7. 见解析解析：（1）小球靠在墙上处于静止状态。拉力产生向上提拉小球的效果、向左紧压墙面的效果。分力的方向确定了，分解就是唯一的。的分力，在竖直方向的分力来平衡重力，在水平方向的分力来平衡墙对小球的支持力。如图3-5-10所示分解为=，=。
（2）重力产生两个效果，一个沿的直线上的分力来平衡，一个沿的直线上的分力来平衡，解得=，=。
8. N N 解析：将重力沿方向分解，
则有 45°＝G，
解得 N。
9. 41.7 N 解析：将的重力沿两根细绳方向分解，如图3-5-11所示，
则有=G，，又在几何三角形△中＝0.6，
故＝ N＝41.7 N。
10. C 解析：依据平行四边形定则，可知与的合力与大小相等，与的合力与大小相等。因此选项C正确。
11.
解析：如图3-5-12所示，对木块受力分析并将力沿水平与竖直方向
分解。
由竖直方向的平衡可知，
由可得
木块所受滑动摩擦力的大小为。
12. 100 N 段先断
解析：方法一：根据一个物体受三个力作用处于平衡状态，则三个力的任意两个力的合力大小等于第三个力大小，方向与第三个力方向相反，在图3-5-13甲中可得出和的合力竖直向上，大小等于，由三角函数关系可得出＝°，＝ 30°，且＝。
设达到最大值200 N，可得＝100 N，＝173 N。
由此可看出绳的张力达到最大时，绳的张力还没有达到最大值，在该条件下，段绳子即将断裂。
设达到最大值200 N，可得＝115.5 N，＝231 N200 N。
由此可看出绳的张力达到最大时，绳的张力已经超过其最大能承受的力。在该条件下，段绳子早已断裂。
从以上分析可知，点悬挂物体的重量最多为100 N，这时细绳的段即将被拉断。
方法二：正交分解法
如图乙所示，将拉力按水平方向（轴）和竖直方向（轴）两个方向进行正交分解。由力的平衡条件可得°＝，cos 30°＝。
，绳先断，＝200 N。
可得：＝173 N，＝100 N。
