有理数的混合运算及乘方与科学计数法

第四讲 有理数的乘方及混合运算
【知识要点】
一、乘方的定义：求n个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。
二、一般地，一个大于10的数可以表示成ａ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数方法叫科学记数法。
1 、用科学计数法表示一个数时应注意：
（1）10的指数n为原数的整数位数或减1（2）a的取值范围是1≤|a|<10即a是整数 数位只有一位的数。
2 、把在用科学记数法还原为原数时，还原后的数的整数位数比n多1，当a中的数字不够时，剩余的用0补足。
三、有理数混合运算法则:1,先乘方，再乘除，最后加减；2，同级运算，从左到右进行；3，如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号、依次进行。
四、正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
五、有理数运算的常见简便方法
（1）一般把同号的数加在一起．
（2）遇有分数可把同分母的数结合起来相加．
（3）遇有小数应当把相加得整数的小数结合起来．
（4）代数和为零的数加在一起．
（5）遇到因数是分数时，可把便于约分的因数结合在一起．
（6）遇到因数是小数时，可把相乘得整数的因数结合在一起．
（7）遇到n个分母不同的分数的代数和乘以一个数时，若通分较繁，可用分配律简化计算．
（8）遇到n个积的代数和，而每一个积里恰好有相同的因数，可逆用分配律佝计算简化．
（9）在有理数乘法运算中，常把小数化成分数，带分数化成假分数，以简化运算．
（10）借助于倒数可以把有理数除法等价地变换为较易计算的有理数乘法．
（11）利用负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，化简结果．
【典型例题】
1.填空：负数的奇次方是＿＿＿＿，负数的偶次方是＿＿＿＿.
2.把下列各数写成数的乘积的形式并计算结果：
（1）53＝＿＿＿＿＿＿=＿ （2）(－7)4＝＿＿＿＿＿=＿＿ （3）(－)5＝＿＿＿＿＿＿＿＿=＿＿
2.直接写出计算结果：　　　　　　　　　　
（1）(－2)×(－2)＝ （2）(－2)×(－2)×(－2)＝
（3）(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝ （4）(－2)×(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝
（5）2×3= （6）= （7）= (8) (9)
(10) (11) （12） (14)= (15)=
4.计算：
（1）(－1)10×2＋(－2)3÷4； （2）(－5)3－3÷(－)4；
（3）； （4）.
5、下面有四种说法，其中正确的是 （ ）
A.一个有理数奇次幂为负，偶次幂为正
B.三数之积为正，则三数一定都是正数
C.两个有理数的加、减、乘、除（除数不为零）、乘方结果仍是有理数
D.一个数倒数的相反数，与它相反数的倒数不相等
6、下列判断错误的是 （ ）
（A）任何数的绝对值一定是正数； （B）一个负数的绝对值一定是正数；
（C）一个正数的绝对值一定是正数； （D）任何数的绝对值都不是负数；
7、若且，下面的几个关系.①；②；③2b>1;④2a>1，其中正确的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8、下列四个说法：（1）任何有理数都有相反数；（2）一个有理数和它的相反数之间至少还有一个有理数；（3）任何有理数都有倒数；（4）一个有理数如果有倒数，则它们之间至少还有一个有理数；（5）数轴上点
都表示有理数；（6）任何一个有理数的平方必是正数。上述命题中，说法正确的是 ；
9、100万个边长为4cm的小立方体放在一起,它们的总面积为 米2.( 用科学记数法表示)
10、人类的遗传基因就是DNA,人类的DNA是很长的键, 最短的22 号染色体也长达30000000个核苷酸,30000000用科学记数法表示是 ( )
A.3×108 B.3×107 C.3×106 D.0.3×103
11、下列各数是用科学记数法表示的有 .
(1)63000=63×103; (2)753000=7.53×103; (3)1300000000=1.3×109
(4)25746300=257463×102; (5)696000=6.96×105
【课堂练习】 一、乘方的意义及运算
1．（－3）4表示 （ ）
A．－3×4 B．4个（－3）相加 C．4个（－3）相乘 D．3个（－4）相乘
2．－24表示 （ ）
A．4个－2相乘 B．4个2相乘的相反数
C．2个－4相乘 D．2个4的相反数
3．下列各组数中，相等的一组是 （ ）
A．（－3）3与－33 B．（－3）2与－32
C．43与34 D．－32和－3+（－3）
4．下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ）
A．23和32 B．－42和（－4）2
C．－23和（－2）3 D．（－）3和－
5．一个数的平方等于它的倒数，这个数一定是（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．1或－1
6．立方数等于它本身的数是________．
7．计算－24=_____，=________．
8．在－32中，底数是________，指数是_______，意义是________．
9．平方等于它本身的数是_________．
10．－的倒数的相反数的3次幂的值为_________．
11．计算：（1）24； （2）（－）3； （3）－．
12．已知│a+2│+（b－4）2=0，求ab的值．
二、有理数乘方运算的符号法则
13．下列判断正确的是（ ）
A．0的任何正整数次幂都是0; B．任何有理数的奇次幂都是负数;
C．任何有理数的偶次幂都是正数; D．一个有理数的平方总大于这个数
14．若两个有理数的平方相等，则 （ ）
A．这两个有理数相等; B．这两个有理数互为相反数;
C．这两个有理数相等或互为相反数; D．都不对
15．n为正整数，（－1）2n+（－1）2n+1的值为（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．－2
16．一个数的偶次幂是正数，这个数是 （ ）
A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．任何有理数
17．下列各组数中，是负数的是 （ ）
A．（－2013）2 B．－（－2013）3 C．－20133 D．（－2013）4
18．计算:（1）－（－3）3； （2）（－）2； （3）（－）3．
19．不做运算，判断下列各运算结果的符号:
（－3）13，（－2）24，（－1.7）2013，（）5，－（－2）23，02012．
把符号位负的写在横线上____________________________
三、有理数的混合运算
20．－22+（－2）2+（－2）3+23的结果是（ ）
A．－8 B．0 C．8 D．－24
21．－16÷（－2）3－22×（－）的值是（ ）
A．0 B．－4 C．－3 D．4
22．计算（－0.1）3－×（－）2=_______．
23．当a=_______时，式子5+（a－2）2的值最小，最小值是______．
24．计算4×（－2）3=______．
25．计算:
（1）（－4）2÷5×（－2）2+8+（－2）2×（－）； （2）（－10）2－5×（－3×2）2+23×10．
26．x与y互为相反数，m与n互为倒数，│a│=1，求a2－（x+y+mn）a+（x+y）2012+（－mn）2013的值．
四、科学计数法
一、选择题
1.用科学记数法记地球上煤的储量,估计为15万亿吨的数为( )吨
A.1.5×1012 B.0.15×1015; C.15×1012 D.1.5×1013
2.某校有在校师生共2000人,如果每人借阅10册书,那么中国国家图书馆共2 亿册书,可以供多少所这样的学校借阅( )
A.1000所 B.10000所 C.100000所 D.2000所
3.我国某年石油产量约为170000000吨,用科学记数法表示为( )
A.1.7×10-7吨 B.1.7×107吨; C.1.7×108吨 D.1.7×109吨
4.用科学记数法表示430000是( )
A.43×104 B.4.3×105 C.4.3×104 D.4.3×106
二、填空题:
5.0.0036×108整数部分有_____位,-87.971整数部分有_____ 位, 光的速度是300000000米/秒是_____位整数.
6.用科学记数法表示 679亿元= 亿元;18547.9亿元= 亿元= 元
7.用科学记数法表示下列各数.
(1) 50302=_______________; (2) 16.71×104=_______________;
(3) -50.01×106=___________________;(4) 0.0051×106=_________________.
8.若月球的质量用科学记数法表示7.34×1015万吨,则原数是 .
9.月球轨道呈椭圆形,近地点平均距离为363300千米,远地点平均距离为405500千米 , 用科学记数法表示 : 近地点平均距离为 , 远地点平均距离为 .
10、5.9406×102的原数是____________________.
11、据国家统计局公布,去年我国增加就业人数7510000人,将这个数用科学记数法表示为 人.
12、实施西部大开发战略是党中央面向21世纪的重大决策,西部地区占我国全部领土面积的三分之二,我国领土面积约为960万平方千米,用科学记数法表示我国西部地区的面积为________平方千米.
13、太阳的半径约为696000千米,用科学记数法表示为 千米.
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