一、单选题
1.在如今这个5G时代,6G研究已方兴未艾.2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办.会上传出消息,未来6G速率有望达到1Tbps,并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技,有望打造出空天地融合的立体网络,预计6G数据传输速率有望比5G快100倍,时延达到亚毫秒级水平.香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.若不改变带宽W,而将信噪比从9提升至161,则最大信息传递率C会提升到原来的( )参考数据:.
A.2.4倍 B.2.3倍 C.2.2倍 D.2.1倍
2.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸
A.215 份 B.350 份
C.400 份 D.250 份
3.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ( )
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
4.对于函数,若,则称为函数的“不动点”;若,则称为函数的“稳定点”.如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”,那么实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若函数满足,且时,,已知函数则函数在区间内的零点个数为( )
A.14 B.13 C.12 D.11
6.已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时,且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A:电量呈线性衰减,每小时耗电300毫安时;模式B:电量呈指数衰减,即:从当前时刻算起,t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式,并在m小时后切换为B模式,若使其在待机10小时后有超过5%的电量,则m的取值范围是( )
A.(5,6) B.(6,7) C.(7,8) D.(8,9)
二、多选题
7.已知关于x的方程,则下列说法正确的是( )
A.当时,方程的两个实数根之和为0 B.方程无实数根的一个必要条件是
C.方程有两个正根的充要条件是 D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是
8.设函数对任意实数b,关于x的方程总有实数根,则a的取值可以是( )
A.0 B.l C.2 D.3
三、填空题
9.定义在R上的偶函数满足,当时,,则函数的零点的个数为___________.
10.已知函数,若、、、、满足,则的取值范围为______.
11.已知函数,若均不相等,且,则的取值范围是___________
12.已知函数若函数有四个零点,从小到大依次为a,b,c,d,则的取值范围为___________.
四、解答题
13.已知函数.
(1)若对任意的x∈R+,不等式f(x)>0恒成立,求m的取值范围;
(2)试讨论函数f(x)零点的个数.
14.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?
15.近日,某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数与空气污染指数的关系为:,其中空气污染指数与时刻(小时)和的算术平均数成反比,且比例系数为,是与气象有关的参数,.
(1)求空气污染指数的解析式和最大值;
(2)若用每天环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数,该市规定:每天的综合污染指数最大值不得超过1.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?请说明理由.
16.重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于成本的.经试销发现,销售量(件)与销售单价(元)符合函数,且时,;时,.
(1)求函数的解析式;
(2)若该服装店获得利润为元,试写出利润与销售单价之间的关系式;销售单价定为多少元时,服装店可获得最大利润,最大利润是多少元?
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.C
【分析】按照题中所给公式分别求出当时和当时的最大信息传递率即可求出答案.
【详解】当时,最大信息传递率
当时,最大信息传递率
.
故选:C.
2.C
【分析】设每天从报社买进份报纸时,根据题意求得函数的解析式,结合一次函数的性质,即可求解.
【详解】设每天从报社买进(,)份报纸时,每月所获利润为元,具体情况如下表.
数量/份 单价/元 金额/元
买进 2
卖出 3
退回
则推销员每月所获得的利润
又由在上单调递增,
所以当时,取得最大值8700.
故选C.
即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元.故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题,其中解答中认真审题,列出函数的解析式,结合一次函数的单调性求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
3.B
【分析】根据题意可得,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为天,根据,解得即可得结果.
【详解】因为,,,所以,所以,
设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为天,
则,所以,所以,
所以天.
故选:B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用,考查了指数式化对数式,属于基础题.
4.D
【分析】函数的“不动点”一定是“稳定点”,而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”,即不存在非“不动点”的“稳定点”,所以有解,但方程组无解,然后利用判别式即得.
【详解】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”,而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”,即不存在非“不动点”的“稳定点”,
所以有解,但方程组无解,
由,得有解,
所以,解得
由得
两式相减,得,
因为,所以,
消去,得,
因为方程无解或仅有两个相等的实根,
所以,解得,
故a的取值范围是
故选:D.
5.C
【分析】由,知函数是周期为2的函数,进而根据与函数的图象得到交点个数.
【详解】解:因为,所以函数是周期为2函数,
因为时,,所以作出它的图象,则的图象如图所示:(注意拓展它的区间)
再作出函数的图象,
容易得出到交点为12个.
故选:C.
【点睛】结论点睛:本题考查函数方程思想,数形结合思想,注意周期函数的一些常见结论:若,则周期为;若,则周期为;若,则周期为;另外要注意作图要细致,属于中档题.
6.D
【分析】根据题意得模式A:,模式B:,其中p为初始电量,再根据题意列不等式求解即可.
【详解】解:模式A:,模式B:,其中p为初始电量.
A模式用了m小时,电量为,
m小时后B模式用了小时,
∴
,令,∴,
∴,
因为,,
∴,∴
故选:D
7.BCD
【分析】方程没有实数根,所以选项A错误;由题得,是的必要条件,所以选项B正确;由题得,所以方程有两个正根的充要条件是,所以选项C正确;由题得,所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是,所以选项D正确.
【详解】对于选项A,方程为,方程没有实数根,所以选项A错误;
对于选项B,如果方程没有实数根,则所以,是的必要条件,所以选项B正确;
对于选项C,如果方程有两个正根,则所以,所以方程有两个正根的充要条件是,所以选项C正确;
对于选项D,如果方程有一个正根和一个负根,则所以,所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是,所以选项D正确.
故选:BCD
【点睛】方法点睛:判断充分条件必要条件,常用的方法有:(1)定义法;(2)集合法;(3)转化法.要根据已知条件,灵活选择方法判断得解.
8.AB
【分析】若对任意实数b,关于x的方程总有实数根,
即对任意实数b,函数的图象与直线总有交点,即函数的值域为.
在同一直角坐标系中画出与的图象,数形结合即可求解
【详解】若对任意实数b,关于x的方程总有实数根,
即对任意实数b,函数的图象与直线总有交点,即函数的值域为.
在同一直角坐标系中画出与的图象如图D-8-24.
由函数图象得:当时,函数的值域为,
即a的取值范围是,
故选:AB.
9.3
【分析】因为得出周期为2,当时,,再由函数是偶函数得出的表达式及图象,则两者合在一起,恰好为一个周期,将图象进行延展下去,的零点个数转化为与的图象的交点个数问题.
【详解】因为,所以,是周期为2的偶函数.在同一个坐标系中作出函数与的图象,观察图象知,它们有3个交点,即的零点的个数为3.
【点睛】偶函数已知一段的表达式,则可以通过关于轴对称得出对应一段的表达式,再由函数的周期,可以将图象进行补充完整;考查函数零点个数问题,常见的转化有方程根的个数及图象交点个数问题.
10.
【解析】设,作出函数的图象,可得,利用对称性可得,由可求得,进而可得出,利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】作出函数的图象如下图所示:
设,
当时,,
由图象可知,当时,直线与函数的图象有五个交点,
且点、关于直线对称,可得,同理可得,
由,可求得,
所以,
.
因此,的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
11.
【分析】不妨设,结合函数图像可得,从而得出,即可得出答案.
【详解】不妨设,由图可得,,
所以即,
由得,,所以的取值范围是
故答案为:
12.
【分析】画出图象,根据二次函数的对称性可得,结合对数的运算可得,进而化简原式为,再根据图象分析得,利用基本不等式结合单调性与最值求解即可
【详解】如图,根据题意有,,即,解得,故.又,当时有,故.故,当且仅当,即时取等号.又当时,;当时,,故的取值范围为
故答案为:
13.(1);(2)答案见解析.
【分析】(1)分离参数,将问题转化为求函数最值问题,进而得到答案;
(2)分离参数,作出函数的图象,通过数形结合求得答案.
【详解】(1)当x>0时,,不等式f(x)>0恒成立等价于恒成立,
则恒成立,而,当时,有最大值,所以.
(2)令,得,
在同一坐标系中作出函数与函数的图象(如图,仅作出时的情况).
结合图象可知,
①或,有一个零点;
②或m=0时,有两个零点;
③且m≠0时,有三个零点.
14.(1)f(x)=;(2)475件.
【分析】(1)根据年需求量为500件,由05时,产品只能售出500件和固定成本0.5万元,每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元求解.
(2)根据(1)的结果,分别利用二次函数和一次函数的性质求得值域,再取并集.
【详解】(1)当05时,产品只能售出500件.
所以,
即f(x)=.
(2)当0所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值,
f(x)max=10.781 25(万元).
当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).
故当年产量为475件时,当年所得利润最大.
【点睛】方法点睛:(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型,如本题.(2)求函数最值常利用基本函数法,基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的值域时,应先求每一段上的值域,然后取并集.
15.(1),,;
(2)没有超标;理由见解析.
【分析】(1)根据题意直接写出函数,利用均值不等式求最值即可;
(2)设,换元后原函数转化为分段函数,利用二次函数的性质求出函数的单调区间,分类讨论可得的最大值,即可求解.
(1)
由题意得,,
即
当且仅当时,.
(2)
由(1)得,,设,
令,,
则
由图像知在和上单调递增,在上单调递减,且,,
所以,
令,解得,
令,解得,
所以
当时,,
当时,,
即,所以,
所以目前市中心的综合污染指数没有超标.
16.(1);(2),销售价定为每件元时,可获得最大利润是元.
【分析】(1)根据已知条件所给的的值列方程组即可求和的值,再结合题意找出的范围即可;
(2)根据总利润等于单件利润乘以销售数量,即可得出是关于的二次函数,利用配方法即可求最值.
【详解】(1)因为 ,所以,
由题意得:,解得:,
所以函数的解析式为:,
(2)由题意知:
利润为,
因为,
所以当时,取得最大值,最大值是.
所以利润与销售单价之间的关系式为,
销售价定为每件元时,可获得最大利润是元.
答案第1页,共2页
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