高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——4.1指数（较难）（含答案）

一、多选题
1．已知函数，，对任意，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
3．计算：
（1）；
（2）．
4．设为数列前项的和，，数列的通项公式.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，则称为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列，求的值；
（3）是否存在正整数、、使得成立，若存在，求出、、；若不存在，说明理由.
5．已知函数是R上的偶函数.
（1）求常数m的值；
（2）若，求x的值；
（3）求证：对任意，都有.
6．已知且，，当时，均有，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．BCD
【分析】对选项A，根据指数的运算性质即可；对选项B，可判断出是奇函数，即可判断；对选项C，通过作差法比较即可；对选项D，根据函数的单调性和奇偶性转化不等式，再通过判别式即可判断.
【详解】对选项A，，，故选项A错误；
对选项B，，，则，故选项B正确；
对选项C，
不妨设，则，故，故选项C正确；
对选项D，因为是奇函数，在上递减
则要使恒成立
只需：
只需：
只需：
而，故，故选项D正确
故选：BCD
2．AC
【分析】根据指数运算法则判断A，B选项，利用作差法结合函数的单调性与基本不等式可判断选项C，D.
【详解】A选项：成立，A选项正确；
B选项：，，B选项错误；
C选项：由，故在上单调递增，假设，则，故，即，C选项正确；
D选项：，又，由基本不等式可知，且当时，当时，故当时，原式，即成立，当时，原式，即，故D选项错误；
故选：AC.
3．（1）12；（2）
【分析】（1）根据指数幂性质化简每一个指数幂即可计算；
（2）根据指数幂乘积的运算性质依次化简求值即可得解.
【详解】（1）；
（2）=464
【点睛】此题考查根据指数幂的性质进行指数幂的基本运算，属于基础题，需要熟练掌握运算性质，对计算能力要求较高，考查基本素质.
4．（1）；（2），数列和的值为；（3）存在，，，.
【分析】（1）根据，得时，，两式相减得到，再求出时，的值，利用等比数列通项公式，得到答案；（2）根据，可得，，，，求出的通项，根据无穷等比数列的求和公式，即可求出答案；（3）假设存在整数、、使得成立，从而得到，根据等式两边的奇偶，得到，进而得到和的值.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
两式相减，得到，
即
时，，解得
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2），.
可得，，，
所以得到
所以
所以
.
（3）假设存在整数、、使得成立，
则
即
即
等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数
又因，所以只能有，
故
可得
即
等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数
又因，所以只能有
故
可得，所以
所以只存在一组正整数、、，使得成立.
【点睛】本题考查了数列递推关系，等比数列的通项公式与求和公式，指数幂的运算性质，指数方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
5．（1）（2）或.（3）见解析
【解析】（1）是偶函数，则有，根据这个等式可解得m的值；（2）将代入函数，解关于x的方程，即得；（2）若对任意，都有，等价于，将代入，进行化简验证即得。
【详解】解：（1）由是R上的偶函数.
∴，即：，解得.
（2）由，得，解得或，即或.
（3）因为
所以，
即.
【点睛】本题考查通过函数的奇偶性求参数，以及证明不等式成立，需要掌握指数函数的运算性质。
6．
【分析】由题意可知，当时，恒成立，即在上恒成立，令，，结合函数图象，分情况列出不等式，解不等式，求出实数的取值范围.
【详解】由题意，知当时，．
令，，作出和的图象如图所示，
由于，
则当时，，即，所以；
当时，，即，所以．
综上，实数的取值范围是.
【点睛】该题考查的是有关根据不等式在相应区间上恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有数形结合和分类讨论的思想，属于中档题目.
答案第1页，共2页
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