高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——4.1指数（一般）（含答案）

一、单选题
1．不等式的解为
A． B． C． D．
2．已知函数若，则实数的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A．（） B．
C．（） D．（）
4．若有意义，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
5．若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．为定值 D．
8．对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知，则________．
10．函数的值域为______．
11．已知集合，，且，则______．
12．已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为__________．
四、解答题
13．已知函数
(1)计算；；的值；
(2)结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般性结论，并证明这个结论；
(3)求的值．
14．化简
（1）
（2）
15．已知函数，．
（1）证明：是奇函数；
（2）分别计算，的值，由此概括出涉及函数和对所有不等于0的实数都成立的一个等式，并证明．
16．化简求值.
（1）；
（2）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】将不等式化为，再利用函数的单调性即可解出．
【详解】等价于
∴
解得．故选B．
【点睛】本题主要考查分数指数幂与根式的转化，以及幂函数单调性的应用．
2．B
【分析】根据分段函数分段处理的原则，求出，
代入即可求解.
【详解】由题意可知，，，
又因为，所以，解得.
故选：B.
3．C
【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可.
【详解】A中，（），故A错误；
B中，，故B错误；
C中，（），故C正确；
D中，（），故D错误．
故选：C．
4．C
【分析】由题意得到关于x的不等式，求解不等式即可确定实数的取值范围.
【详解】要使 有意义，需使，解得，表示为区间形式即.
故选C.
【点睛】本题主要考查分数指数幂的运算法则，根式有意义时自变量范围的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．A
【分析】将已知等式条件两边平方可得，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值.
【详解】由题设，，即，
又，且，
所以.
故选：A.
6．B
【分析】由，，即可求得，从而判断A；
由，，即可求得，从而判断B；
由，可求得，再由，即可求得，从而判断C；
由，即可求得，从而判断D.
【详解】解：A选项：，
∴，
又，
∴，
∴，
故A错误；
B选项：，
∴，故B正确；
C选项：，，，
，
，故C错误；
D选项：，
故D错误，
故选：B.
7．ACD
【分析】可利用奇偶性定义求出两个解析式，A项根据奇偶性定义判断；B项可利用解析式求解；C项利用解析式计算可求解；D项分析f(x)正负情况，化简求解.
【详解】因为，所以，又是奇函数，是偶函数，所以，解得，.
对于A，，故为偶函数，A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，；
当时，，，所以，故D正确.
故选：ACD.
8．ACD
【解析】由指数幂的运算性质判断A，B，由指数函数的单调性判断C，由指数幂和根式的互化结合基本不等式判断D．
【详解】对于A，，，，正确；
对于B，，，，错误；
对于C，在定义域中单调递增，，正确；
对于D，，又，则，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查指数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将指数幂形式化为根式，即，利用指数幂的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
9．-4.
【分析】根据题意，平方求得，进而得到，再根据幂函数的单调性，得到，即可求解．
【详解】由，则，解得，
又由
因为，根据幂函数的单调性，可得，即，
所以，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了幂函数的性质及其应用，其中解答中根据题意，求得，进而得到，再利用幂函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10．
【分析】利用换元法，将函数转化为指数函数和二次函数，利用二次函数和指数函数的性质即可得到结论.
【详解】令，
则当时，取得最小值，为1；
当时，取得最大值，为5，
，
即所求函数的值域为，
故答案为.
【点睛】该题考查的是有关二次与指数函数的复合函数在给定区间上的值域的问题，涉及到的知识点有二次函数在某个区间上的值域，利用指数函数的单调性求函数的值域，属于简单题目.
11．3
【分析】由题意首先利用集合A中元素的互异性可确定，然后结合集合相等的充分必要条件求得实数a,b的值即可确定a+b的值.
【详解】由集合中元素的互异性，可知 ，，所以，
所以 ， ，
又，所以，，即，，所以.
【点睛】本题主要考查集合相等的充分必要条件及其应用，集合元素的互异性及其应用，指数幂的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．
【详解】函数的对称轴为，且在上单调递减，在上单调递增，由函数在区间上的值域为，知 即
即答案为
13．(1)1；1；1；
(2)；证明见解析；
(3)
【分析】（1）利用函数解析式代入法去求解即可解决；
（2）结合（1）的结果，归纳出，利用函数解析式代入即可证明；
（3）利用（2）的结论及的值即可求得的值．
（1）
；
；
（2）
结合（1）的结果，归纳出，证明如下：
（3）
由（2）可知，则
14．（1）；（2）4
【分析】（1）利用根式和分数指数幂的互化运算即可得解；
（2）结合指数的运算性质即可得解.
【详解】（1）由题知，原式；
（2）原式
【点睛】方法点睛：本题考查指数幂的运算，解题时一定要先把小数或带分数化成假分数，再利用分数指数幂的运算，化简求值，考查学生的计算能力，属于基础题.
15．(1)证明见解析；(2)，；，证明见解析.
【分析】(1) 根据函数的奇偶性定义，只需计算，判断其与的关系即可；
(2) 根据函数，的解析式，利用分数指数幂的运算，分别求出和的值，然后根据等式的规律得出结论，并进行证明即可.
【详解】（1）函数的定义域，关于原点对称，
又，
所以函数是奇函数.
（2），
，
由此概括出对所有不等于零的实数有：，证明如下：
，
因此，等式成立.
16．(1)24；(2).
【分析】(1)根据指数幂的运算性质进行运算；
(2)根据根式与分数指数幂的互化来进行运算.
【详解】(1) ；
(2)
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页