高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——4.2指数函数（较难）（含解析）

一、单选题
1．定义在上的函数满足，当时，，若在上的最小值为23，则
A．4 B．5 C．6 D．7
2．对于给定的正数，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数，恒有，则
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为1 D．的最小值为1
3．已知函数，令，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数，，若对，都存在，使成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数，(且)，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，记，，则下列说法正确的是（ ）
A．对于函数，有成立
B．对于函数，存在，使得成立
C．对于函数，有成立
D．若是二次函数，且是空集，则为空集
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在R上是增函数 D．的值域是
E．的值域是
三、填空题
9．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是___________
10．已知，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
11．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为______________.
12．已知函数，若对于任意的实数，，，时，恒成立，则实数的取值范围为______.
四、解答题
13．对于函数（且）．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)当时，求函数在上的最大值和最小值．
14．对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为G函数.①对任意的，总有；②当时，总有成立.已知函数与是定义在上的函数.
(1)试问函数是否为G函数？并说明理由；
(2)若函数是G函数，
（i）求实数a的值；
（ii）讨论关于x的方程解的个数情况.
15．设函数，，其中且.
（1）若有最小值，求a的范围；
（2）若，使得成立，求a的范围.
16．（1）是以为定义域的减函数，且对于任意，恒有，写出一个满足条件的函数的解析式；
（2）是以为定义域的奇函数，且对于任意，恒有，写出一个满足条件的函数的解析式；
（3）都是以为定义域的函数，写出一组满足下列条件的函数的解析式，对于下列三组条件，只需选做一组，满分分别是①，②，③；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.
①对于任意，恒有；
②对于任意，恒有；
③对于任意，恒有.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】根据，时，，研究其最小值，再考虑当，、，时，相应函数的最小值，总结规律即可得到结论．
【详解】①当，时，
，
，，
当，时，；
②当，即，时，有，，
，
，，当，时，，
③当，即，，有，，，
，
，
则，即时，取得最小值2；
同理可得当，即，，的最小值为，
当，即，，的最小值为，
当，即，，的最小值为．
故选：．
【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用指数函数和二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．
2．B
【分析】先根据得到与最值的关系，然后利用换元法求解函数的值域，即可确定的取值范围，则的最值可确定.
【详解】因为，所以由定义知，
因为，所以，则函数的定义域为，
令 ，则 ， ，所以 ，因此 .
故选B.
【点睛】指数型函数值域的求解方法：利用换元法令，求解出的值域即为的取值范围，根据指数函数的单调性即可求解出的值域.
3．B
【分析】先根据幂运算以及对数函数的单调性比较出，，的大小，然后根据的几何意义结合图象即可判断出的大小关系.
【详解】因为，，，
，，
所以，
又表示点和原点连线的斜率，
结合函数的图象特征可知．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于对的几何意义的理解，其表示图象上的点与坐标原点连线的斜率，通过所连线段的倾斜程度可判断出对应取值的大小.
4．B
【分析】原问题转化为，再根据二次函数的最值和指数函数的值域建立不等式，解之可得选项.
【详解】若对，都存在，使成立，则需，
又，，所以，
令，因为，所以，所以，
所以，解得，则m的取值范围是，
故选：B.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
5．B
【分析】观察可发现为奇函数，所以将变形为，结合函数单调性解不等式即可
【详解】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得：
故选：B
【点睛】题目比较灵活，考察单调性和奇偶性结合的问题，对学生要求比较高，不可直接计算，需要熟悉类型的函数为奇函数，且单调递减，根据这两个性质引导学生对已知不等式进行变形，从而解决问题
6．D
【分析】先化简和，然后根据解析式的特点可求.
【详解】因为，所以，
.
因为,所以，
当时，，，
此时，，；
当时，；
当时，，，
此时，，；
故选D.
【点睛】本题主要考查指数型函数值域的求解，先化简解析式是求解的前提，然后结合指数函数的性质可求，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
7．ACD
【分析】根据“不动点”和“稳定点”的定义逐个分析判断即可.
【详解】对于函数，，故A正确；
对于函数，，，，故B错误；
对于函数，设方程的解为，则，，即，因为函数在R上单调递减，且，所以函数在R上单调递增，且，又因为，所以是方程的唯一解，则，故C正确；
若是空集，则恒成立或恒成立，若恒成立，用代替可得，同理可得，所以无解，即为空集，故D正确.
故选：ACD.
8．BCE
【解析】计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，进而判断选项E正确，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】根据题意知，.
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
，，
，，D错误，E正确.
故选:BCE.
【点睛】本题考查函数的新定义，考查函数的奇偶性、单调性和值域，研究函数的单调性和值域要注意分离常数，属于较难题.
9．
【分析】题目等价于函数与函数在区间上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解.
【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，
若区间为函数的“稳定区间”，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，
所以；
②若两函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，不等式无解；
综上所述：，
故答案为：.
10．
【解析】根据函数关系，原不等式等价于，转化为通过单调性解题.
【详解】由题设知，，则，
因此，原不等式等价于，
根据指数函数性质在上均为是增函数，
且，，
在上是增函数，∴，即，
又，∴当时，取得最小值，
因此，解得，
又，∴，
故.
故答案为：
【点睛】此题考查函数单调性的综合应用，涉及对函数解析式的处理，将函数值的大小关系转化为自变量取值关系，解决不等式求参数取值范围的问题，综合性比较强.
11．
【分析】由题意可得在的范围包含在的范围内，先运用基本不等式求得在的范围，再讨论，结合函数的单调性可得的范围，解的不等式可得所求范围.
【详解】当时，，
当时，
若时，在上是单调递增函数，
所以，满足则，
所以，
，
又，所以.
若时，则，
在上是单调递增函数，此时，
在上是单调递减函数，此时
满足 则
又，所以，
综上，，
故答案为.
【点睛】本题主要考查了分段函数，考查了任意性和存在性问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于中档题.
12．
【分析】，计算在区间上的最小值为，最大值为，得到，解得答案.
【详解】由题知，，因为，所以，
所以在区间单调递增，故最小值为，最大值为，
对于任意的实数，，，时，恒成立，
所以，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.
13．(1)奇函数
(2)最大值为，最小值为．
【分析】（1）利用奇函数的定义判断可得答案；．
（2）利用单调性的定义判断可得函数为减函数，再由奇偶性可得答案.
（1）
由题意得，
由，得，
∴函数的定义域为，关于原点对称，
又，
∴函数为奇函数；
（2）
任取，且，
则，
∵，当时，，
∴，，，
∴，即，
∴在上单调递减．
又函数为奇函数，其图象关于原点对称，
∴当时，函数的单调递减区间为，，
即函数在区间和上单调递减．
∴当时，，，
当时，，，
∴函数在上的最大值为，
最小值为．
14．(1)是，理由见解析；
(2)（i）1；（ii）详见解析.
【分析】（1）根据G函数的定义求解；
（2）（i）根据函数是G函数，由，总有成立，求得再由②当时，总有成立，由，对时成立，求得求解；（ii）将方程，转化为，令，转化为求解.
(1)
解：函数是为G函数，理由如下：
①对任意的，总有；
②当时，，
所以函数是为G函数，
(2)
（i）因为函数是G函数，
则①，总有成立，
即，对成立，
所以
②当时，总有成立，
即，对时成立
因为，
所以，
因为不同时为1，
所以，
当时，等号成立，
所以，
综上：，
（ii）方程，即为，
令，则方程为，
当或时，方程无解；
当时，方程一个解；
当时，方程有两个解.
15．（1）；（2）或或.
【分析】（1）分类讨论、时有最小值a的范围，求并即可；（2）由题意不等式能成立，利用参变分离(注意讨论的情况)与的不等关系是否能成立，即令：或求a的范围；
【详解】（1）若时，
当时，，令，；
当时，，令，；
∴此时有最小值，则，解得或（舍去），
∴.
若时，
当时，，令，；
当时，，令，；
∴此时不存在最小值.
∴综上，有.
（2）∵，，
∴，，即，
1、当时，不成立；.
2、当时，，令，则，
∴在上单调递减，可知：，
∴，解得.
3、当时，，令，同理可知：在上单调递减，有
∴，解得.
∵且，
∴综上：或或.
【点睛】本题考查了指数函数，分类讨论参数范围，研究指数型复合函数的单调性求最小值存在时参数的范围，根据不等式在区间内能成立，应用参变分离的方法求参数范围；
16．（1）；（2）；（3）答案不唯一，具体见解析.
【解析】（1）根据题意，结合对数函数的运算性质和单调性，即可得出，，满足条件；
（2）根据题意，结合指数函数的运算性质和奇函数的性质，得出分段函数 满足条件；
（3）根据题目要求，结合复合函数的解析式的运算，即可写出满足条件的函数解析式.
【详解】解：（1）对于任意，恒有，
可知对数函数符合条件，即，
而是以为定义域的减函数，则，
所以满足条件的一个函数为：，；
（2）对于任意，恒有，
可知指数函数符合条件，即，
而是以为定义域的奇函数，
所以满足条件的一个函数为：；
（3）已知都是以为定义域的函数，
若选①对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，；
若选②对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，；
若选③对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据要求写出函数解析式，灵活运用对数函数和指数函数的性质是解题关键，属于中档题.
答案第1页，共2页
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