高中数学人教A版（2019）必修第一册分层课时作业——4.2指数函数（一般）（含解析）

一、单选题
1．已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
3．已知，记，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．设函数f（x）＝a－|x|（a＞0且a≠1），f（2）＝4，则（ ）
A．f（－1）＞f（－2） B．f（1）＞f（2）
C．f（2）＜f（－2） D．f（－3）＞f（－2）
5．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在上是增函数
C．的值域是 D．的值域是
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
三、填空题
9．函数的定义域为______________．
10．化简：________．
11．已知函数f（x）＝x+1，g（x）＝2|x+2|+a若对任意x1∈[3，4]，存在x2∈[﹣3，1]，使f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是 _________.
12．对于函数（是自然对数的底数），，，有同学经过一些思考后提出如下命题：
①； ②；
③； ④.
则上述命题中，正确的有______.
四、解答题
13．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若，对于任意恒成立，求实数的取值范围.
14．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；
（2）已知，求函数的最大值和最小值.
15．若函数
（1）求的最小值及取最小值时所对应的值；
（2）若对于任意使恒成立，求实数的范围．
16．函数对任意的实数m，n，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：在上为增函数．
（3）若，解不等式．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B
2．D
【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
3．A
【分析】根据，利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
故选：A
4．D
【分析】由f（2）＝4求出a，容易知道函数为R上的偶函数，然后求出函数的单调区间，进而得到答案.
【详解】由f（2）＝4得a－2＝4，又∵a＞0，∴a＝，f（x）＝2|x|，∴函数f（x）为偶函数，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，则A,B错误，D正确.
而f(-2)=f(2)，故C错误.
故选:D.
5．B
【分析】根据指数函数、二次函数的单调性结合复合函数单调性的“同增异减”求解.
【详解】令，
则是单调递增函数，
当时，是增函数；当时，是减函数，
由复合函数单调性可知，
当时，单调递增，
故选：B
6．C
【解析】分析出函数为上的奇函数，且该函数在上为增函数，进而可得出函数为上的增函数，由化简可得出对任意的恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，
由，
可得，
可知函数为奇函数，又由，
当时，函数和单调递增，
任取，则，，可得，即，
所以，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
由于函数在上连续，则函数在上的增函数，
由，有，
有，可得，
由题意可知，不等式对任意的恒成立，
有，解得．
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
7．BD
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质判断函数的单调性与值域，距离判断B、D，再根据高斯函数的定义求出的解析式，即可判断A、D.
【详解】解：因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，
所以在定义域上单调递增，故B正确；
因为，所以，所以，则，
则，即，故C错误；
令，即，解得，
所以当时，
令，即，解得，
所以当时，当时，
所以，
所以的值域是，故D正确；
显然，即不是偶函数，故A错误；
故选：BD
8．BC
【解析】由判断A；由奇函数的定义证明B；把的解析式变形，由的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出的范围，进一步求得的值域判断D．
【详解】，，
，则不是偶函数，故A错误；
的定义域为，
，
为奇函数，故B正确；
，
又在上单调递增，在上是增函数，故C正确；
，，则，可得，
即．
，故D错误．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.
9．
【分析】换元，得出，求出的范围，由此可得出的取值范围，即可得出函数的定义域.
【详解】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.
因此，函数的定义域为，故答案为.
【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题的关键利用换元法将指数不等式转化为二次不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
10．
【分析】分析式子可以发现，若在结尾乘以一个，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以即可﹒
【详解】原式
故答案为：﹒
11．（﹣∞，3]
【分析】由题意可得，由一次函数、指数函数的单调性求得最值，解不等式可得所求范围．
【详解】若对任意，，存在，，使，
可得，
由在，递增，可得的最小值为（1），
在，上递减，在，递增，可得的最小值为，
所以，
解得．
即的取值范围是，．
故答案为：，．
12．①②④
【解析】根据指数函数的单调性，结合基本不等式，特殊值代入，即可得到答案；
【详解】对①，，故①正确；
对②，，
当时，显然成立；当时，；当时，，
综上可得：成立，故②正确；
对③，取，不成立，故③错误；
对④，，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查指数函数的性质及基本不等式的应用，求解时还要注意特殊值法的运用.
13．（1）；（2）.
【分析】（1）当时，，舍去；
当时，，即，．基础即可得出．
（2）当，时，，即，即．化简解出即可得出．
【详解】解：（1）当时，，舍去；
当时，，即，．
解得，
（2）当，时，，即，
即．
因为，所以．
由，所以．
故的取值范围是．
14．（1）；（2），.
【分析】（1）结合指数函数性质首先求的值，再解指数不等式；
（2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.
【详解】（1）由题意知定点A的坐标为，
∴解得.
∴.
∴由得，.
∴.
∴.
∴.
∴不等式的解集为.
（2）由得令，则，
.
∴当，即，时，，
当，即，时，.
【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．
15．（1）的最小值为，此时；（2）.
【分析】（1）令，求出的最小值即为的最小值，进而可求出取最小值时所对应的值；
（2）由于对于任意使恒成立，等价于时，，
求出在的最大值即可.
【详解】（1）令，且，即，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，，此时，即，所以的最小值为，此时；
（2）对于任意使恒成立，即时，，
令，且，即，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，，此时，即，所以，故实数的范围为.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）令，代入等式，可求得；
（2）令，代入等式，结合，可得到，从而可知是奇函数，然后用定义法可证明在上为增函数；
（3）原不等式可化为，结合函数的单调性，可得出，解不等式即可.
【详解】（1）证明：令，则，∴.
（2）证明：令，则，
∴，∴，
∴对任意的，都有，即是奇函数．
在上任取，，且，则，
∴，即，
∴函数在上为增函数.
（3）原不等式可化为，
由（2）知在上为增函数，可得，即，
∵，∴，解得，
故原不等式的解集为.
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
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